Баева

среды B1 , B2 ,..., Bm . На пересечении i -й (i = 1,..., n ) строки и j -го ( j = 1,..., m ) столбца стоит выигрыш ЛПР в случае, если при принятии i -го решения наступит j -е состояние окружающей среды.

Такая постановка задачи может соответствовать, например, следующей ситуации. Некоторая компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт – собирается производить новый продукт: сырную пасту. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков: 6, 7, 8 или 9 – сырной пасты следует производить в течение месяца. Предполагается, что спрос может быть также 6, 7, 8 или 9 ящиков. Вероятности того или иного спроса считаются неизвестными. Затраты на производство одного ящика равны 45 долл. Компания собирается продавать каждый ящик по цене 95 долл. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.

Альтернативными решениями в данной задаче являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые следует производить компании. Состояния природы характеризуются величиной спроса на аналогичное число ящиков.

Спрос

Для построения матрицы выигрышей используется тот факт, что затраты на производство одного ящика 45 долл., и при этом ящик продается по цене 95 долл. Например, если компания продала 7, а произвела 8 ящиков, то

61

выигрыш (прибыль) компании составит 305, а если компания произвела 8 ящиков, а могла бы продать 9, то прибыль составит 400.

Для определения наилучшего решения в подобных ситуациях можно использовать следующие критерии.

Критерий максимакса. Это критерий крайнего оптимизма. При использовании данного критерия лицо, принимающее решение, определяет стратегию, максимизирующую максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш. Для нахождения решения используется следующая схема:

1) в каждой строке матрицы находится максимальный элемент

ai = max aij ;

j=1,n

2) из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется

максимальный a = max ai и принимается решение, на котором достигается

i=1,n

данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Так, для компании «Российский сыр» максимумы, полученные в каждой отдельной строке, соответственно равны 300, 350, 400, 450, и по критерию максимакса следует выпускать 9 ящиков.

Максиминный критерий Вальда. ЛПР, использующее данный критерий, выступает как пессимист, который считает, что какое бы решение не было принято, произойдет самая худшая для этого решения ситуация и при этом нужно выбрать решение, для которого эта худшая ситуации самая хорошая. Поиск такого решения осуществляется по следующей схеме:

1) в каждой строке матрицы находится минимальный элемент

ai = min aij ;

j=1,n

2) из полученных в каждой отдельной строке минимумов ищется

максимальный a = max ai и принимается решение, на котором до-

i=1,n

стигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Для компании «Российский сыр» минимумы, полученные в каждой отдельной строке, соответственно равны 300, 255, 210, 165 и, таким образом, по критерию Вальда принимается решение выпускать 6 ящиков.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Прежде чем восполь-

зоваться данным критерием, лицо, принимающее решение, определяет некоторый параметр 0 ≤ p ≤ 1, характеризующий его отношение к риску. Крайние значения p = 0 и p = 1 соответствуют пессимисту и оптимисту, 0 < p < 1 характеризуют промежуточное отношение к риску. Согласно данному критерию для поиска решения используется следующая схема:

62

ai ( p ) = pai +(1− p )ai ;

2) из полученных в каждой отдельной строке значений ai ( p ) вычис-

ляется максимальное a = max ai , и принимается решение, на котором дос-

i=1,n

тигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Продемонстрируем метод Гурвица на нашем примере при p = 12 .

Значения выражения ai ( p ) = pai +(1− p )ai по строкам соответственно рав-

ны: 300; 302,5; 305; 307,5. Таким образом, в соответствии с данным критерием принимается решение выпускать 9 ящиков.

Критерий минимальных сожалений Сэвиджа. В основе данного крите-

рия лежит предположение о том, что человек после принятия того или иного решения не любит жалеть о чем-то утраченном. Наряду с матрицей выигрышей, Сэвидж предложил использовать матрицу сожалений. Данная матрица строится по матрице выигрышей в соответствии со следующим алгоритмом:

1) в каждом столбце матрицы выигрышей находится максимальный

элемент a j = max aij – это наибольший выигрыш при условии, что в буду-

i=1,m

щем реализуется состояние окружающей среды, соответствующее данному столбцу, т. е. это то, о чем можно сожалеть при данном состоянии окружающей среды;

2) элементы матрицы сожалений вычисляются по формуле сij = a j − aij и показывают сожаление о том, что при состоянии окружаю-

щей среды B j было принято решение Ai .

Матрица сожалений для рассматриваемого демонстрационного примера имеет следующий вид.

Дальнейший поиск решения осуществляется по следующей схеме: 1) в каждой строке матрицы сожалений находится максимальный

элемент ci = maxcij ;

j=1,n

63

2) из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется

минимальный c = min ci и принимается решение, на котором достигается

i=1,n

данный минимум (если данный минимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Для нашего примера максимумы, полученные в каждой отдельной строке, соответственно равны 150, 100, 90, 135, и, таким образом, по критерию Сэвиджа принимается решение выпускать 8 ящиков.

Анализируя исследуемый пример, можно сделать вывод, что различные критерии дают различные рекомендации по выбору решения:

критерий максимакса – производить 9 ящиков; максиминный критерий Вальда – производить 6 ящиков;

критерий пессимизма-оптимизма Гурвица – производить 9 ящиков; критерий минимальных сожалений Сэвиджа – производить 8 ящиков.

Таким образом, в условиях неопределенности, при отсутствии информации о вероятностях состояний среды, принимаемые решения в значительной мере носят субъективный характер. Это объясняется не слабостью предлагаемых методов решения, а неопределенностью, отсутствием информации в рамках самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях – попытаться получить дополнительную информацию путем проведения исследований и экспериментов.

Пример 2. Вернемся к рассмотренной в предыдущем примере ситуации с компанией «Российский сыр», предположив, что после проведения определенных исследований потенциала рынка, компании стало известно, что спрос на 6, 7, 8 или 9 ящиков ожидается соответственно с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. В данных условиях в качестве показателя эффективности принимаемого решения о производстве того или иного количества ящиков продукции (6, 7, 8 или 9 ящиков) можно рассматривать среднее ожидаемое значение прибыли (математическое ожидание прибыли), а в качестве меры риска решения – среднеквадратическое отклонение для прибыли. Данные характеристики для каждого решения соответственно равны:

1) для 6 ящиков:

x6 =0,1 300 +0,3 300 +0,5 300 +0,1 300 =300;

s6 = 0,1 (300−300)2 +0,3 (300−300)2 +0,5 (300−300)2 +0,1 (300−300)2 =0;

2) для 7 ящиков:

x7 = 340,5; s7 =28,5;

3) для 8 ящиков:

x8 = 352,5; s8 =63,73;

4) для 9 ящиков:

x9 = 317; s9 =76.

Анализ полученных параметров эффективности и риска решения показывает, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесооб-

64

разно, поскольку средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8 ящиков (352,5), мера риска – среднеквадратическое отклонение 76 для 9 ящиков больше аналогичного показателя (63,73) для 8 ящиков. А вот целесообразно ли производить 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 – неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков больше, но одновременно и средняя ожидаемая прибыль тоже больше. В некоторых работах в такой ситуации предлагается в качестве критерия выбора использовать коэффициент вариабельности прибыли, т. е. отношение риска к среднему ожидаемому значению. Окончательное решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр», исходя из своего опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Пример 3. Рассмотрим еще один пример более сложной ситуации принятия решений в условиях риска, анализ которой также базируется на среднем ожидаемом значении прибыли. Процесс принятия решения в данном примере осуществляется в несколько этапов, когда последующие решения основываются на результатах предыдущих, поэтому для его анализа используется дерево решений.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернативных решений и состояний среды.

Большая химическая компания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологии независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:

–рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене;

–расходы на рекламу, если компания будет производить и продавать краску;

–время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар.

Размер выигрышей, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного рынка.

65

Без проведения дополнительного исследования для руководства компании вероятность и благоприятного, и неблагоприятного рынков одинакова и равна 0,5. Прежде чем принимать решение о строительстве, руководство должно предварительно решить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, если известно, что исследование обойдется компании в 10 000 долл. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно может уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Прогнозы этой фирмы сбываются не всегда: так, если фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается, а с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия. Если же фирма утверждает, что прогноз неблагоприятный, то это сбывается с вероятностью 0,73. Для решения данной задачи построим дерево решений.

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева средних ожидаемых значений прибыли, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение средних ожидаемых значений прибыли.

Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, тогда средние ожидаемые денежные оценки:

–для крупного предприятия: 0,5×200 000 – 0,5×180 000 = 10 000;

–для малого предприятия: 0,5×100 000 – 0,5×20 000 = 40 000;

–для патента 0,5×10 000 + 0,5×10 000 = 10 000.

Таким образом, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, то максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

Предположим, что решили провести дополнительное обследование конъюнктуры рынка и прогноз фирмы, проводившей обследование, оказался благоприятным, тогда средние ожидаемые денежные оценки (см. рис. 1):

–для крупного предприятия: 0,78×200 000 – 0,22×180 000 = 116 400;

–для малого предприятия: 0,78×100 000 – 0,22× 20 000 = 73 600;

–для патента: 0,5×100 000 + 0,5×10 000 = 10 000.

Данные значения показывают, что при благоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве крупного предприятия.

В случае если после дополнительного обследования конъюнктуры прогноз оказался неблагоприятным, ожидаемые средние денежные оценки:

–для крупного предприятия: 0,27×200 000 – 0,73×180 000 = –7400;

–для малого предприятия:

0,27×100 000 – 0,73×20 000 = 12 400;

66

–для патента:

0,5×10 000 + 0,5×10 000 = 10 000.

Следовательно, при неблагоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

Расчеты проводились на основе дерева целей.

Проведенные по дереву целей расчеты позволяют выяснить, является ли дополнительное обследование выгодным для фирмы. Выгодность исследования зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принимаемое решение.

Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной информации и максимальной денежной оценкой при отсутствии точной информации.

В данном примере ожидаемая денежная оценка при наличии точной информации равна 0,45×116 400 + 0,55×12 400 = 59 200, а максимальная денежная оценка при отсутствии точной информации равна 40 000. Таким образом, ожидаемая ценность точной информации равна: 59 200 – 40 000 = = 19 200, поэтому исследование, которое стоит 10 000 р., выгодно для фирмы.

Пример 4. Финансовые решения в условиях риска. Опишем мо-

дель оптимального многопериодного планирования инвестиций в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспертно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска.

Акционерное общество (АО) заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 долл. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму – через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 долл., а меньшую. Сколько именно – зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в следующей таблице.

67

69

Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями.

1. Начальная сумма инвестиций K должна быть минимальной:

K→ min.

2.Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:

K − A1 −B1 −C1 −D1 =0;

1,015A1 − A2 =0;

1,015A2 +1,035B1 − A3 −B3 =150 000;

1,015A3 +1,06C1 − A4 −C4 =0;

1,015A5 −A6 =0;

1,015A6 +1,035B5 +1,06C4 +1,11D1 =600 000.

3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца):

A1 + 4B1 +9C1 +7D1 ≤ 6 −5A1 −2B1 +3C1 + D1 ≤ 0;

A1 + B1 +C1 + D1

A1 + 4+B1 ++9C1++7D1 ≤ 6 −5A2 −2B1 +3C1 + D1 ≤ 0;

A2 B1 C1 D1

A3 + 4B3 +9C1 +7D1 ≤ 6 −5A3 −2B3 +3C1 + D1 ≤ 0;

A3 + B3 +C1 + D1

A4 + 4B3 +9C4 +7D1 ≤ 6 −5A4 −2B3 +3C4 + D1 ≤ 0;

A4 + B3 +C4 + D1

A5 + 4B5 +9C4 +7D1 ≤ 6 −5A5 −2B5 +3C4 + D1 ≤ 0;

A5 + B5 +C4 + D1

A6 + 4B5 +9C4 +7D1 ≤ 6 −5A6 −2B5 +3C4 + D1 ≤ 0.

A6 + B5 +C4 + D1

4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):

A1 + 2B1 +3C1 +6D1 ≤ 2,5 −1,5A1 −0,5B1 +0,5C1 +3,5D1 ≤ 0;

A1 + B1 +C1 + D1

A2 + B1 + 2C1 +5D1 ≤ 2,5 −1,5A2 −1,5B1 −0,5C1 + 2,5D1 ≤ 0;

A2 + B1 +C1 + D1

70