Баева

и передает снимки для компьютерного анализа. В 3000 долл. арендной платы включается также оплата специалистов по компьютерному программированию, которое автоматизирует процесс обработки снимков, передаваемых зондом.

Руководство компании не знает, насколько надежным является работа зонда и прилагающегося к нему компьютерного обеспечения. Идентификация при помощи зонда обязательно увеличит надежность операции. Анализ при помощи зонда ни в коей мере не может дать информацию о том, находится ли на судне золото. Аналогично, если бы это оказался не «Йорк-Таун», то руководство не знает, как оценить вероятность того, что зондирование дает достаточно надежную идентификацию.

С другой стороны, руководству известно, что надежности обеих идентификаций численно равны, т. е. вероятность того, что идентификация при помощи зонда оказывается верной при условии, что судно является «Йорк-Тауном», численно равняется вероятности того, что идентификация является верной при условии, что судно не является «Йорк-Тауном».

Составьте дерево решений. На дереве решений подсчитайте средние ожидаемые значения для каждой ветви. Так как вы еще не получили до сих пор численных значений надежности идентификации с помощью зонда, вы не можете подсчитать условные вероятности в каждом узле выбора на вашем дереве. Однако это нельзя сделать в тех узлах событий, где используется зонд. Какова максимальная цена, которую руководство заплатит за точную идентификацию судна (точность – 100 %)?

По информации людей, которые арендовали ранее зонд и прилагаемое компьютерное обеспечение, вероятность того, что анализ при помощи зонда покажет, что судно есть «Йорк-Таун», составляет 43 %. Эта цифра есть безусловная вероятность, вычисление которой было основано на равенстве численных значений надежности идентификации и предварительном предположении руководства, чтоостанкипринадлежат«Йорк-Тауну» свероятностью1/4.

Руководство St. Thomas Salvage выразило некоторую неуверенность в надежности идентификации при помощи зонда. Оно выяснило у людей, арендовавших зонд ранее, не существует ли какого-либо способа улучшить ситуацию. Ответ был положительным. За определенную плату обе надежности могут быть повышены до 90 %. Это можно достичь многократным погружением и взятием проб с останков судна с последующим химическим анализом и анализом на содержание радиоактивного углерода – 12. Плата за повышение надежности составит: 100 долл. за первый процент, 200 – за следующий, 300 – за следующий и т. д. до 90 %. Повышение надежности измеряется только целыми цифрами, без дробей. Обе надежности (да и нет) увеличиваются в одинаковой степени. Таким образом, чтобы увеличить надежность, например, на 5 %, нужно затратить 100 долл. + + 200 долл. + 300 долл. + 400 долл. + 500 долл. = 1500 долл.

81

Проведите теперь полный анализ дерева решений и выберите оптимальную стратегию поведения руководства компании.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Разные задачи

Задача 1. Управление «Аэрофлота» хочет нанять новых стюардесс на работу в течение 4-х последующих месяцев. Найм осуществляется в начале месяца и продолжается до конца месяца, чтобы обучить стюардесс прежде, чем они приступят к регулярным полётам.

Требуется 110 часов непрерывной работы стюардессы в течение месяца, чтобы обучить каждую из них, и поэтому непрерывные обслуживающие полёты сокращаются на 110 часов для каждой практикантки.

В среднем стюардесса работает по 160 часов в месяц на авиалиниях «Аэрофлота». Ниже приведено количество лётных часов стюардесс, необходимое для постоянного обслуживания в следующие 4 месяца: сентябрь –

9000, октябрь – 8000, ноябрь – 10000, декабрь – 12000.

1 сентября на авиалиниях работало 67 стюардесс. Из прошлого опыта известно, что 10 % стюардесс покидают свою работу каждый месяц. Каждая стюардесса получает 20 000 р. в виде заработной платы. Стоимость подготовки стюардессы 12 000 р.

Составить модель формирования плана найма стюардесс, чтобы обеспечить линии и минимизировать затраты на их обучение и работу.

Задача 2. Инвестиционная компания «Омега» имеет 800 тыс. долл., которые она хочет вложить в некоторые или все из следующих активов: корпоративные облигации, правительственные облигации, высокорисковые корпоративные облигации, обыкновенные акции, привилегированные акции и недвижимость. Эксперт компании по инвестициям оценивает ожидаемую годовую доходность, фактор риска, показывающий вероятность, с которой оцениваемый продукт будет дефицитен. Кроме того, известны сроки, на которые средства могут быть размещены в те или иные активы.

82

Компания стремится увеличить средний инвестиционный срок, по крайней мере, до 7 лет. Правительственное регулирование препятствует вложению более чем 30 % инвестиций компании в высокорисковые облигации и обыкновенные акции. Также компания хочет, чтобы средний фактор риска составлял не более 0,25.

Как инвестиционная компания «Омега» должна разместить 800 тыс. долларов, чтобы максимизировать ожидаемый доход?

Задача 3. Правительственное агентство имеет в распоряжении 100 000 долл. для распределения их между пятью фабриками, расположенными вдоль определённой реки с тем, чтобы помочь им сократить уровень загрязнения в реке в течение следующего года. Все фабрики стремятся полностью использовать фонды, полученные для того, чтобы сократить уровень загрязнений.

Текущее исследование показало следующий уровень загрязнения и стоимость сокращения уровня загрязнения.

Из-за определённых условий окружающей среды абсолютно необходимо, чтобы уровень загрязнений F2 и F5 был сокращён, по крайней мере, на 2,9 и 2,4 млн галлонов соответственно.

Как должны быть распределены деньги по заводам для того, чтобы максимизировать общее сокращение уровня загрязнений в реке в течение следующего года?

Задача 4. Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типов проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундамента и строительства остальной части здания в днях, а также жилая площадь дома и стоимость 1 кв. м жилой площади.

Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство

15зданий.

1)Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней).

83

2)Решить ту же задачу при дополнительном ограничении, число домов должно оказаться не менее 10.

3)Определить годовой план строительства, максимизирующий суммарную площадь при дополнительном условии, что средняя себестоимость 1 кв. м не превышает 180 р.

Задача 5. Предприятие выпускает два продукта (k = 1,2) для удовлетворения спроса bjk, меняющегося по полугодиям (j = 1,2). Изготовление продуктов может производиться на трёх машинах (i = 1,2,3), для которых известно время tik, затрачиваемое i-й машиной на производство k-го продукта, и суммарный резерв времени aij, которым располагает i-я машина в j-м полугодии. Известны также затраты ck на хранение единицы k-го продукта в течение полугодия. Все указанные величины приведены в следующей таблице.

Определить оптимальную производственную программу из условия минимизации затрат на хранение.

Задача 6. В некотором регионе необходимо построить электростанцию большой мощности. Возможны следующие варианты решения данной проблемы: I – построение большого водохранилища и гидроэлектростанции; II – построение тепловой электростанции на основном топливе и резервном; III – сооружение атомной электростанции.

Экономическая эффективность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатационные расходы. На эксплуатационные расходы гидроэлектростанции влияют климатические условия, например такие, как погодные условия, определяющие уровень воды в водохранилищах. Большое число случайных факторов воздействует на экономическую эффективность тепловой станции: цены на мазут и газ, срывы поставок мазута из-за неритмичности работы транспорта в зимнее время, особенно во время снегопадов и продолжительных морозов. Экономическая эффективность атомной электростанции будет зависеть от больших затрат на строительство и от устойчивости агрегатов и системы управления во время эксплуатации.

Случайные факторы, от которых зависит эффективность рассмотренных вариантов, объединим в четыре возможных состояния природы: B1 – цены на газ и мазут низкие; климатические условия благоприятные; B2 – цены на газ и мазут высокие; климатические условия благоприятные; B3 – цены на газ и мазут низкие; климатические условия неблагоприятные;

84

B4 – цены на газ и мазут высокие; климатические условия неблагоприятные.

Полученные проектным институтом расчеты эффективности приведены в следующей таблице.

Какой вариант решения нужно выбрать в условиях неопределенности, используя различные критерии: пессимиста, оптимиста, Гурвица, Сэвиджа?

По данным многолетней статистики цен и состояний климатических условий были получены следующие вероятности состояний: B1 – 0,15; B2 – 0,3; B3 – 0,2; B4 – 0,35. Определить оптимальный вариант строительства с учетом данных вероятностей.

Задача 7. Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. долл., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. долл. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. долл. прибыли, 10 тыс. долл. убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое провела экспертная группа, обошлось фирме в 15 тыс. долл. Экспертная группа считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. Статистика предсказаний данной экспертной группы показывает, что их положительные прогнозы сбываются в 80 случаях из 100, а отрицательные – в 85 случаях из 100.

Используя дерево решений, проанализируйте: следовало ли заказывать дополнительное исследование экспертной группе; какую максимальную цену может заплатить фирма экспертной группе за проделанное исследование, какой вариант решения нужно (крупную или небольшую партию) выбрать фирме.

85

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1.Замков А.А. Математические методы в экономике / А.А. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М. : ДИС, 1998. – 364 с.

2.Гранберг А.Г. Математические методы в социалистической экономике / А.Г. Гранберг. – М. : Экономика, 1978. – 350 с.

3.Жак С.В. Математическая модель менеджмента и маркетинга / С.В. Жак. – Ростов н/Д : ЛаПо, 1997. – 307 с.

4.Коссов В.В. Межотраслевой баланс / В.В. Коссов – М. : Экономи-

ка, 1979. – 270 с.

5.Петухов А.А. Опыт математического моделирования экономики / А.А. Петухов, И.Г. Поспелов, А.А. Шананин. – М. : Энергоатомиздат, 1996. – 544 с.

6.Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб. пособие для вузов / Федосеев В.В. [и др.]. – М. : ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

7.Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : учеб. пособие / А.М. Дубров [и др.]. – М. : Финансы и статистика, 2001. – 224 с.

8.Лагоша Б.А. Методы и задачи моделирования рисковых ситуаций

вэкономике и бизнесе / Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев. – М. : МЭСИ, 1998. – 220 с.

9.Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе / С.И. Шелобаев. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.

Дополнительная литература

1.Экономико-математическое моделирование : учебник / под ред. И.Н. Дрогобницкого. – 2-е изд., стереотип. – М. : Экзамен, 2006. – 798 с.

2.Математическое моделирование: Методы, описание и исследование сложных систем / под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Пет-

рова. – М. : Наука, 1989. – 266 с.

3.Моделирование экономических и производственных процессов : метод. указания для решения задач / сост. Н.Б. Баева, И.В. Замятин, Т.В. Азарнова, А.Я. Аснина. – Воронеж, 2002. – 47 с. – № 809.

4.Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов : пособие для студентов 3–4 курсов дневного и вечернего отделений / Н.Б. Баева. – Во-

ронеж, 2003. – 26 с. – № 588.

5.Хозяйственный риск и методы его измерения / Т. Бочкаи [и др.]. – М. : Экономика, 1979.

6.Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: учеб. пособие / М.Ю. Афанасьев. – ТЕИС, 2002. – 312 с.

7.Математические методы в планировании отраслей и предприятий / под. ред. И.Г. Попова. – М. : Экономика, 1973. – 374 с.

86

87