Баева

Если через z обозначить число комплектов, то сформированная модель сводится к следующей задаче линейного программирования:

3.2. Задачи на закрепление материала

Задача 1. Листы материала размером 6 × 13 надо раскроить так, чтобы получились заготовки двух типов: 800 заготовок размером 4 × 5 м и 400 штук заготовок размером 2 × 3 м. При этом расход материала должен быть минимальным. Способы раскроя материала и количество заготовок каждого типа, полученных при раскрое одного листа, даны в таблице.

Решение. Пусть xi – количество заготовок, раскроенных i-м способом. Тогда ограничение на количество заготовок:

Требование неотрицательности переменных:

Целевая функция – минимизация количества расходуемых листов:

Ограничения (1–2) и целевая функция (3) образуют искомую модель.

31

Задача 2. Требуется определить все рациональные способы раскроя прямоугольника кожи размером 100 × 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см и указать величину отходов для каждого способа.

Для данного материала и указанных заготовок существует шесть различных рациональных способов раскроя.

Задача 3. При изготовлении парников используется материал в виде металлических стержней длиной 200 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см.

32

Вопросы

1.Сколько существует рациональных способов раскроя?

2.Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

3.Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении

заказа?

Решение. Определяем все рациональные способы раскроя материала на заготовки. Таких способов оказывается пять.

Используем модель A для одного вида материала, тогда xj – количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.

Для ответа на первый вопрос задачи получаем следующую модель линейного программирования с критерием – минимум общего количества используемого материала.

Решая задачу, получаем следующий результат.

Ответы на вопросы

1.Существует пять рациональных способов раскроя.

2.Следует разрезать 134 единицы материала.

3.При выполнении заказа следует использовать три из пяти рациональных способа раскроя.

33

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. На складе предприятия имеются заготовки (стальные бруски) длиной 8,1 м. Из этих заготовок необходимо изготовить 100 комплектов более коротких заготовок. При этом в один комплект входят два бруска длиной 3 м и по одному бруску длиной 2 м и 1,5 м. Необходимо раскроить исходный материал так, чтобы получить требуемое количество комплектов коротких заготовок с минимальными отходами. Количество коротких заготовок, которое получается из одного исходного бруска при различных способах раскроя, и величины отходов по каждому способу раскроя заданы в таблице.

Задача 2. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материалов, причём первая партия содержит 400 листов, а вторая 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры изготавливаются комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами.

Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице.

Требуется раскроить материал так, чтобы получить максимальное число комплектов.

Задача 3. Из прямоугольника железа размером 100 × 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь 4 заго-

34

товки со стороной 50 см, 6 заготовок со стороной 40 см и 12 заготовок со стороной 20 см. На складе находятся 100 листов материала.

Вопросы

1.Сколько существует рациональных способов раскроя?

2.Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать при изготовлении следующей партии коробок?

3.Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку? Задача 4. Существует три рациональных способа раскроя единицы материала A на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым способом, показано в сле-

дующей таблице.

Изготовленные заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входит 4 заготовки первого типа, 3 заготовки второго типа и 7 заготовок третьего типа. На складе имеется 100 единиц материала первого типа и 300 единиц материала второго типа.

Вопросы

1.Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

2.Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала при предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?

3.Сколько единиц материала 1 раскраивается по третьему способу?

4.Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?

Задача 5. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, выход деталей каждого вида из одного погонного метра ткани указан в следующей таблице.

35

На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани 2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.

Вопросы

1.Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?

2.Какая часть (в %) ткани 1 должна раскраиваться по способу 1?

3.На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению

спервоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество двух артикулов тканей?

Задача 6. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальными.

Вопросы

1.Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?

2.Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?

3.Какова величина отходов (в см)? Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.

4.Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом

случае?

5.На сколько увеличится количество отходов (в см)?

Задача 7. Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 1 : 5 : 3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

Вопросы

1.Сколько существует рациональных способов раскроя?

2.Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3.Какова при этом величина отходов (в см)?

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА

§ 1. Моделирование процессов перевозок и назначения

1.1. Простейшие модели

Одним из распространённых процессов, при математическом мо-

делировании которых с успехом используется транспортная задача и её модификации, является процесс перевозки и распределения продукции, сырья, трудовых и материальных ресурсов. Другими словами, речь идёт о моделировании процессов перевозки продукции с m пунктов производства в n пунктов потребления так, чтобы при этом был выполнен баланс производства и потребления и затрачены минимальные средства на транспортировку.

36

Математически этот процесс может быть описан следующим образом:

Здесь ai – объём запасов i-го продукта на складах (или в пунктах производ-

ства), ai>0;

bj – объём потребления j-го объекта, bj>0;

xij – количество продукции, перевозимое с i-го склада j-му потреби-

телю;

cij – стоимость перевозки единицы груза с i-го склада j-му потреби-

телю.

Отметим, что задача (1) – (4) является сбалансированной, если

Если последнее условие не выполняется, причём объём потребления превосходит объём запасов, то ограничение (2) записывается в виде:

m

∑xij ≤bj , j =1...n.

i=1

Если же предложение превосходит потребление, то ограничение (1) записывается в виде:

n

∑xij ≤ai , i =1...m.

j=1

Нередко появляются дополнительные требования на пропускную возможность коммуникации, в этом случае появляется дополнительное ограничение:

где dij – пропускная способность пути от i-го поставщика к j-му потребителю.

Простой модификацией данной модели является модель процес-

са назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы

37

оценивается коэффициентами cij матрицы С. При моделировании таких процессов xij вводится как булевская переменная i-й

Ограничения в этом случае записываются в виде:

m

∑ xij = 1, j = 1...n

i=1

или

∑n xij ≤1, i = 1...m ,

j=1

вслучае если m > n, т. е. специалистов больше, чем мест работы. Функция цели имеет вид:

n m

∑∑cijxij → min. j=1 i=1

К этому же типу моделей примыкают модели задач развития и размещения, заключающихся в одновременном отыскании объёма выпуска изделий на пунктах производства и вопроса прикрепления пунктов производства к пунктам потребления. Данные модели называются моделями развития и размещения и имеют следующий вид:

m

∑xij = xj, j =1...n,

i=1

n

∑xij =ai ,i =1...m,

j=1

D j ≤xj ≤D j , j =1...n, xij ≥0,i =1..m, j =1...n,

где cj – затраты производства единицы продукции у j-го производителя; xj – объём производства j-го производителя;

D j , D j – верхняя и нижняя границы для выпуска продукции;

cij – затраты на транспортировку ед. продукции от j-го производителя к i-му потребителю;

xij – количество продукции, перевозимой от j-го производителя к i-му потребителю;

ai – потребности i-го заказчика.

38

В заключение приведём модель развития и размещения в общем виде, в случае когда перевозится R видов продукции.

Найти оптимальный вариант развития транспортной сети, удовлетворяющий перевозке грузов к потребителям.

Введём обозначения:

q – номер варианта развития сети, Q – число всех вариантов развития сети;

g – вид груза, G – число всех видов груза;

i, j – пункты, между которыми осуществляется перевозка;

s – вид лимитированного ресурса; S – число всех видов лимитированных ресурсов;

Rsij – количество выделенных ресурсов s-го вида для развития транспортного участка между пунктами i и j;

Rsijgq – потребность в s-м виде ресурсов для перевозки g-го вида грузов по участку i, j согласно q-му варианту развития сети;

c gijq – текущие затраты на перевозку g-го вида груза из пункта i в

пункт j согласно q-му варианту развития сети;

Kij – выделенные капитальные вложения для развития участка сети от пункта i к пункту j;

K gijq – капитальные вложения, выделенные согласно q-му варианту

развития сети для перевозки g-го груза от пункта i к пункту j;

E – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений в транспорт;

aij – пропускная способность участка I, j;

a gijq – план перевозок g-го вида продукции, перевозимого от пункта

Iк пункту j согласно q-му варианту;

xgijq – искомая величина, равная 1, если на участке от пункта I к

пункту j выбирается q-й вариант развития сети по перевозкам g-го вида груза, и равная 0 в противном случае.

Математическая модель:

– минимизация приведённых затрат;

Q

∑ xgijq ≤1, i = 1...n, j = 1...m, g = 1...G

q=1

–выбирается лишь один вариант развития;

– ограничение на объёмы выделенных ресурсов;

39

– ограничение на план перевозок

x qgij (x qgij − 1)= 0 g , i , j, q.

Данная задача решается методами целочисленного программирования.

1.2. Закрепление приемов построения моделей

Задача 1. Известен выпуск продукции на трёх заводах: 460, 340 и 300 тонн соответственно. Требования четырёх потребителей на эту продукцию составляют: 350, 200, 450 и 100 тонн. Известны также затраты на производство 1 единицы продукции на каждом заводе: 9, 8 и 2 р. соответственно, а также матрица транспортных расходов на доставку 1 единицы продукции от i-го завода k-му потребителю:

Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам из условия минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку.

Сравнить с оптимальным планом, построенным из условия минимизации только транспортных расходов.

Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-го завода k-му потребителю. Данная транспортная задача является сбаланси-

рованной (460 + 340 + 300 = 350 + 200 + 450 + 100). Тогда ограничения на выпуск продукции будут выглядеть следующим образом:

40