Баева

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МОДЕЛИ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ, ЛОГИСТИКИ И РИСКА

Методическое пособие для вузов

2-е издание, переработанное и дополненное

Составители: Т.В. Азарнова, Н.Б. Баева

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2008

ВВЕДЕНИЕ

Знакомство студентов с широким спектром упражнений и задач, представляющих собой описание фрагментов типовых ситуаций, возникающих при решении задач математического моделирования экономических и производственных процессов, является важным направлением совершенствования практически полезных навыков прикладного математика. Основной задачей данного пособия является создание учебной среды, позволяющей научить студентов использовать разнообразные приемы моделирования при решении реальных задач экономической практики.

Учебное пособие содержит три главы, в которых приведен справочный материал, содержащий описание приемов моделирования, и перечень заданий, выполнение которых в указанном порядке обеспечивает устойчивое овладение данными приемами. Типы заданий охватывают весь круг прикладных макроэкономических и микроэкономических моделей, читаемых в курсе «Моделирование экономических и производственных процессов» для студентов 4 курса дневного и 5 курса вечернего отделения факультета ПММ. Приложение содержит ряд заданий и упражнений для самостоятельной работы студентов и может быть использовано студентами для самоконтроля глубины усвоения основ прикладного моделирования экономических и производственных процессов.

При выполнении заданий, приведенных в данных методических указаниях, следует иметь в виду, что в первую очередь необходимо овладеть приемами, используемыми в § 1 и § 2. Все остальные задания можно выполнять в произвольном порядке. Внутри параграфов задания приведены в порядке возрастания сложности разработки их математических моделей.

3

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 1. Основные понятия и факты

Экономико-математическое моделирование понимается как направление экономической теории, изучающее закономерности построения анализа, интерпретации и применения для решения практически важных задач особых объектов, являющихся образами экономических процессов или явлений. Экономические объекты, процессы или явления будем впредь называть оригиналами. Моделирующее отображение оригиналов представимо в виде композиции двух отображений – огрубляющего и гомоморфного. Сначала огрубляющее отображение выделяет в исходном объекте её составную часть с меньшим числом элементов и связей между ними, а затем гомоморфное отображение переводит подсистему в модель, при этом может произойти дальнейшее огрубление, т. е. число элементов и связей в модели может стать меньше, но при этом не происходит искажения структуры или иных характеристик, сохраняющих сущность оригинала. Итак, иногда модель – это упрощенный образ оригинала, который в процессе изучения замещает оригинал, сохраняя при этом важные для данного изучения, типичные его черты. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией модели. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной» структурой, что делает исследование модели более легким, чем исследование оригинала. Существует много иных дефиниций понятия – «модель», «моделирование». Наиболее известным и используемым многими исследователями является следующее определение, введенное в [1].

Моделью называется объект искусственно созданный или реально существующий, который с заданной степенью схожести воспроизводит оригинал так, что позволяет получить новую информацию об оригинале.

Моделирование – исследование оригинала с помощью модели. Разработка модели, таким образом, составляет этап сложного процес-

са, который содержит и иные этапы – анализ модели, проверка её адекватности оригиналу, выбор исходной информации и проверка её достоверности. Приведем следующую классификацию моделей.

По типу реализации различаются материальные и знаковые модели. Под материальным моделированием понимают моделирование, при котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные функциональные, динамические и геометрические характеристики изучаемого объекта. При этом выделяют физическое и аналоговое моделирование. Физическим называется моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его уменьшенная или увеличенная копия, до-

4

пускающая исследование в лабораторных условиях, с последующим переносом свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих разную физическую природу, но одинаково описываемых формально (схемами, уравнениями и т. п.).

Модели

Рис. 1. Классификация моделей

Идеальное моделирование основано не на материальной аналогии модели и объекта, а на идеальной и носит теоретический характер. Это, как правило, искусственно созданный объект. Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Знаковое моделирование использует в качестве модели условное описание системы оригинала с помощью данного алфавита символов и операций над символами. Наиболее важными в данном классе являются концептуальные и математические модели.

Концептуальная модель представляет собой агрегированный вариант традиционного описания основных закономерностей функционирования изучаемой системы, состоящий из научного текста, сопровождаемого блок-схемой системы, таблицами, графиками и т. п. К достоинствам концептуальных моделей относятся универсальность, гибкость, разнообразие

5

средств выражения и др. Среди недостатков выделяют высокую неоднозначность интерпретации и статичность.

Математической моделью оригинала называется его представление в

виде

S = (V , X ,σ, F ). (*)

Здесь V Em – внешние переменные и параметры; X En – внутренние переменные и параметры; σ = (σ1 ,…,σm1 ) – функции связи внешних и внутренних переменных и параметров; F = (F1 ,…,Fn ) – передаточная функция. Выражение (*) может быть переписано в виде:

Если переменные V и X – функции времени, то задача (**) определяется на t [ t0 ,T ] и становится динамической:

Описанные выше модели называются балансовыми. Весьма распространены модели скалярной оптимизации, векторной оптимизации и тео- ретико-игровые. Их вид приведен ниже.

В зависимости от свойств разрешающего оператора F математические модели динамичных систем классифицируются по разным признакам. Модель называется аналитической, если для оператора F найдено точное аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояния x0 в любой нужный момент t.

В подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического выражения для разрешающего оператора F оказывается затруднительным или в принципе невозможным. Если совокупность уравнений и неравенств непротиворечива (среди них нет взаимоисключающих) и полна (т. е. она содержит всю необходимую информацию для нахождения решений), и с помощью ЭВМ, удается найти их численное решение, в результате чего получается реализация оператора F в виде машинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения

6

переменных состояний х1(t),…, хn(t) на интервале t [t0 ,T ], то в данном

случае мы имеем имитационную модель.

В детерминированной модели значения переменных выражения (*) не меняются во времени. Стохастическая модель каждой переменной x ставится в соответствие с распределением возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое ожидание, M{хi}, среднее квадратическое отклонение σ(x i ) и т. п.

Дискретная модель описывает поведение системы на фиксированной последовательности моментов времени. В непрерывной модели значения переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t рассматриваемого интервала [t0 ,T0 ].

По характеру описания пространственного строения систем модели делятся на точечные, в которых пространственное строение системы не рассматривается, т. е. в качестве переменных фигурируют зависящие только от времени переменные хi(t), i= 1…,n, и пространственные, в которых переменные хi зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Важное место среди методов моделирования занимает структурное представление процессов и явлений. Его мы будем называть структурным моделированием. В следующем параграфе мы рассмотрим сущность структурного моделирования и приведем пример структурно-логической модели.

§ 2. Структурное моделирование

Под структурным моделированием мы понимаем процесс синтеза типовых модельных конструкций в новые модели сложных объектов. Синтез фактически реализуется на основе представления типовых модельных конструкций в виде специальных матриц: технологической, обменной, критериальной, правых частей и т. д. – с их последующим сопряжением в комплексы, цепочки или системы моделей. Простейшей версией структурного моделирования, позволяющей наиболее эффективно реализовать на ЭВМ процесс выработки у пользователей навыков создания новых моделей на основе анализа текстового описания фрагментов экономических ситуаций, является моделирование на основе КОНТУРОВ. КОНТУР формулируется как семантическая сеть, представляющая собой информационную модель избранного оригинала (объекта, процесса, явления), и имеет вид совокупности деревьев, вершины которых соответствуют таким свойствам функционирования оригинала, учет которых может оказаться полезным и необходимым для обусловленного круга задач при его исследовании. Свойства объединяются в группы, создавая тем самым основу для иерархической структуры деревьев. Дуги дерева соответствуют соотношениям, в которых находятся свойства различных уровней агрегирования. Просматривая вет-

7

ви дерева, разработчик модели фиксирует интересующие его узлы, расставляя 0 и 1. Одновременно идет запрос о возможностях дополнения. Если таковые имеются, то добавляется новый узел. После того как построен контур, начинается построение самой модели. Это может быть либо единая модель, либо цепочка моделей. Построение модели по готовому контуру происходит на основе использования логических операций и специальных методов построения шаблонов узлов.

Построенная структурно-логическая модель, таким образом, отображает структуру предметной области, а также адекватно представляет логику углубления знаний и условия выработки устойчивых навыков в создании математических моделей и их использования для решения практических задач и в научных исследованиях. Использование построенной модели невозможно без разработки соответствующего ей информационного, алгоритмического и программного аналога.

Информационный аналог содержит полный набор фактов и правил по моделированию; перечень типовых моделей; набор вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать и проанализировать типовые модели.

Алгоритмический аналог содержит совокупность методов, обеспечивающих реализацию причинно-следственных зависимостей и сквозной расчет всех возможных выходных переменных на основе обусловленного круга входных. В качестве входных переменных здесь принят набор фрагментов экономических ситуаций, оформленных как текстовые задачи; в качестве выходных переменных – соответствующие им математические модели. Методами, обеспечивающими реализацию причинно-следственных связей, здесь считаются способы разработки рабочего варианта модели; алгоритмы получения на ее основе решения; методы анализа полученного результата и способы принятия решения о степени приемлемости построенной модели.

Структурно-логическая модель, сопряженная со своим информационным и алгоритмическим аналогом, помещается в обучающую оболочку, управляющую процессом обучения.

Создание и внедрение технологии структурного моделирования включает в себя следующие этапы:

1)выделение поля структурного моделирования в рассматриваемой предметной области;

2)выделение правил и принципов создания базовых версий компановки (сборки) опорных единиц поля в сложные комплексы, с допустимой степенью сходства воспроизводящих объект моделирования (оригинал);

3)формирование на основе этих правил и принципов из опорных единиц поля возможных вариантов моделей рассматриваемого оригинала

M = {M l,…, MK}, где MK – k-й вариант модели; M – множество вариан-

тов – реализуется на основе использования сценариев компоновки и процедур проверки сформированных комплексов на допустимость;

8

4) выделение из множества M – наилучшей в обусловленном заранее смысле модели. Другими словами, реализация задачи принятия решений, рассматриваемой как кортеж G =<M , Q>, где Q – принцип оптималь-

ности, дающий представление о качестве вариантов (например, правило предпочтения вариантов).

§ 3. Этапы разработки моделей

Разработка экономико-математических моделей – многоэтапный процесс. Основными этапами процесса разработки моделей являются: постановка задачи, концептуализация, спецификация, идентификация, реализация модели, проверка адекватности модели, исследование (анализ) модели, оптимизация, заключительный синтез.

Рассмотрим содержание каждого из этих этапов.

1. Постановка задачи. Формулирование цели и выделение в изучаемом оригинале конечного числа свойств и процессов, наиболее существенных для решения поставленной задачи и необходимых, по мнению исследователя (разработчика модели), для достижения цели. Задание степени сходства модели и оригинала. Суть данного этапа состоит в том, чтобы ограничить и конкретизировать число возможных направлений и аспектов изучения оригинала.

2.Концептуализация. На этом этапе необходимо построить концептуальную модель изучаемого оригинала. Устанавливаются его внешние «входы» и «выходы», определяется состав, структура и некоторые особенности функционирования. Состав оригинала представляется множеством его внутренних неделимых частей и непосредственно взаимодействующих

сними элементов окружающей среды. Структурой называется совокупность всех связей между этими элементами. Под функционированием оригинала понимается процесс изменения свойств его элементов во времени под воздействием внешних факторов и в результате взаимодействий между внутренними элементами.

3.Спецификация. Здесь определяются составы множества входных

переменных V = {v1,…,vk} и переменных состояния X = {x1, …xn} будущей математической модели и по возможности более строго и однозначно (насколько это возможно средствами вербального описания) задается моделирующее отображение системы-оригинала на модель.

4.Идентификация. Задача этого этапа заключается в установлении

математических соотношений σs (v1,…,vk , x1,..., xn ) s =1,..., r между пере-

менными хi = (i = 1 …, n) и vj (j = 1,…, k), образующих структуру модели

σ ={σ1 ,…, σy }.

9

5. Реализация модели. Построение ее разрешающего оператора

Это дает возможность рассчитывать с помощью модели динамику пере-

F затруднено, то строится реализация оператора F в виде программы для ЭВМ.

6.Проверка адекватности модели. На данном этапе устанавливают, в какой степени модель способна воспроизводить интересующие исследователя черты оригинала. Окончательная оценка пригодности модели может быть дана только на основе ее всестороннего анализа, сравнения с данными наблюдений и экспериментов и, самое главное, на основе опыта практического использования модели как инструмента проверки гипотез, прогнозирования, оптимизации и управления моделируемой системой.

7.Исследование модели. Процесс исследования модели включает как характеристику общих черт построения траектории xi(t), i=1,…, n. t0 ≤t ≤tN ,

таких как существование и единственность, ограниченность, периодичность, устойчивость и др., так и более конкретное изучение зависимости решения от

начального состояния ( x10 … xn0 ), структуры модели и от входов vj(t),… vk(t).

«Анализ чувствительности» модели включает совокупность приемов исследования динамических моделей, реализованных на ЭВМ. Результаты анализа чувствительности показывают, какие из начальных условий, какие связи между переменными и параметрами, а также какие из внешних факторов оказывают наиболее сильное (или незначительное) влияние на поведение модели. Это необходимо для того, чтобы исследователь мог решить, какие параметры должны определяться с высокой точностью при наблюдениях, экспериментах и на этапе идентификации, а какие могут задаваться относительно приближенно.

8.Оптимизация. На этом этапе рассматривается возможность регулирования параметров модели с целью оптимизации тех или иных характеристик оригинала, которые могут быть получены в результате реализации модели.

9.Заключительный синтез. Оцениваются полученные результаты – прежде всего, построенная имитационная модель – и намечаются перспективы для будущих исследований.

Математические модели достаточно широко используются при анализе экономических проблем. Поскольку экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения, то при моделировании необходимо учитывать оба данных аспекта. Моделирование

10