Баева

j=1

Здесь i – порядковый номер свойств, которыми обладают компоненты и смесь, i =1...m; aij – величина i-го свойства для j-й компоненты; Ri – требование на величину i-го свойства для ед. смеси; (a j ,bj ) – интервал возмож-

ного включения j-й компоненты в смесь; cj – стоимость единицы j-й компоненты.

Если неизвестные сформулированы в виде: xj – объём вложений j-й компоненты в натуральном выражении, то ограничение (1) приведённой выше модели записывается в виде

n

∑xj =b,

j=1

где b – общее количество смеси, которое должно быть получено.

В такие модели, как правило, также включаются ограничения (2–3). Однако bj несёт иную смысловую нагрузку. Здесь bj – количество j-й компоненты, которое есть в наличии.

Если известны условия изготовления компонентов с учётом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединённая задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Усложнение задачи может происходить и за счёт внесения в модель ограничений, связанных с условиями использования смесей. В качестве примера рассмотрим модель составления оптимальных схем внесения удобрений. Введём обозначения:

j – вид культуры, J – число всех видов культур;

i – вид смеси удобрений, I – число всех видов смесей;

q – способвнесенияудобрений, Q – числовсехспособоввнесенияудобрений; r – номер формы, в которой находится действующее вещество в удобрении (легкоили труднорастворимые);

Nr, Pr, Kr – количество азота, фосфора и калия r-й формы, имеющегося на предприятии;

Niqjr, Pijqr, Кijqr – количество действующего вещества азота, фосфора и калия r-й формы, необходимого для внесения по q-му способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли;

m – вид органического удобрения, M – число всех видов органических удобрений;

Hm – количество m-го вида органических удобрений, имеющихся на предприятии;

21

Hijqm – количество органического удобрения m-го вида, вносимое по q-му способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли;

Sjq – площадь посева под j-ю культуру, в которую можно внести удобрения по q-му способу;

aijq – логический коэффициент, равный 1, если можно внести i-ю смесь q-м способом под j-ю культуру, и равный 0 в противном случае;

Cijq – эффективность (прибыль), полученная при внесении i-й смеси q-м способом под j-ю культуру на 1 га земли;

xijq – число гектаров земли, отводимое под j-ю культуру с внесением i-й смеси удобрения q-м способом.

Получим следующую математическую модель:

2.2. Задачи на закрепление приемов моделирования процесса смешивания

Задача 1. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 р., 0,6 р., 0,4 р. и 1,0 р., а единицы веса сплава, соответственно, 2 р., 3 р., 4 р.

Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6 % никеля, не менее 50 % меди и не более 30 % свинца; специальный – не менее 4 % никеля, не менее 70 % меди, не менее 10 % цинка и не более 20 % свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничения.

22

Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса сплава для художественных изделий.

Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение. Обозначим через xij долю i-й компоненты в j-й смеси. Тогда получим следующие ограничения модели:

Ограничения на количество компонентов в смесях:

Целевая функция представляет собой сумму величин прибыли, получаемой с единицы веса каждого сплава:

(2 −0,8x11 −0,6x21 −0,4x31 −1,0x31)+

+(3−0,8x12 −0,6x22 −0,4x32 −1,0x42 )+ (4) +(4−0,8x13 −0,6x23 −0,4x33 −1,0x43 )→ max.

Ограничения (1–3) и целевая функция (4) представляют собой модель для получения искомой информации.

Задача 2. Госпиталь стремится минимизировать стоимость мясного питания (говядина, свинина и баранина). Больничный рацион должен содержать, по крайней мере, 1,5 фунта жирного мяса на человека в неделю. Говядина, которая стоит 1,25 доллара за фунт, содержит 20 % жирной и 80 % постной части. Свинина – 1,5 доллара за фунт и содержит 60 % жирной и 40 % постной части, баранина стоит 1,4 доллара за фунт и состоит из 30 % жирной и 70 % постной части. Госпиталь имеет холодильную площадь не более чем на 900 фунтов мяса. В госпитале на мясной диете 200 пациентов. Сколько фунтов каждого вида мяса необходимо покупать еженедельно для того, чтобы обеспечить необходимую калорийность рациона при минимальной стоимости?

Решение. Пусть xi – количество мяса i-го вида, закупаемого госпиталем. Тогда получим следующие ограничения модели. Ограничение на объем холодильной камеры:

23

Целевая функция – минимизация расходов на закупки:

Целевая функция (4) и ограничения (1–3) образуют искомую модель.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 млн т. Их можно удовлетворить за счёт производства двух продуктов: аммиачной селитры и аммиачной воды. Для их производства необходим аммиак, общий расход которого для удовлетворения соответствующих нужд в плановом году не может превышать 8 млн т. Технологические нормы материальных затрат, удельные текущие расходы и капитальные вложения в производство каждого из продуктов даны в таблице.

Определить план производства селитры и аммиачной воды в плановом году, необходимых для удовлетворения потребности народного хозяйства в азотных удобрениях, с наименьшими суммарными затратами.

Решить задачу при знании нормативной эффективности капиталовложений 0,1.

Проследить, как отражаются на оптимальном плане изменения значений нормативной эффективности капиталовложений от 0,1 до 0,3.

Задача 2. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекингбензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

24

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина составляет соответственно 120 р., 100 р. и 150 р.

Определить план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

Определить оптимальный план смешивания из условия максимального использования компонентов.

Задача 3. Компания по производству удобрений может произвести в текущем месяце 1400 т нитратов, 1600 т фосфатов и 1200 т поташа. Это количество имеется в распоряжении или уже заказано и не может быть получено в большем количестве, пока не пройдут следующие 30 дней. Необходимо определить способы смешивания активных ингредиентов с определёнными инертными ингредиентами, предложение которых не ограничено, в два основных удобрения, которые позволят максимизировать прибыли в текущем месяце.

Двумя основными удобрениями являются тип 1 (5 : 10 : 10) и тип 2 (10 : 10 : 5). Числа в скобках представляют процентное отношение (по весу) нитратов, фосфатов и поташа соответственно (оставшуюся долю составляют инертные ингредиенты).

Цены ингредиентов показаны в таблице.

Затраты смешения, упаковки и продажи одинаковы для обоих смесей и составляют 15 долларов за тонну. Цены на удобрения, по которым компания может их реализовать, в настоящее время составляют 50 долларов за тонну типа 1 и 55 долларов для типа 2.

Необходимо определить, сколько производить каждого типа смеси в этом месяце, чтобы максимизировать общую прибыль.

Задача 4. «Южная алкогольная корпорация» импортирует три сорта виски – ирландское, шотландское и канадское. Виски смешиваются согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного содержания ирландского и канадского в каждой смеси.

25

Стоимость и запасы трёх основных видов виски приведены в таблице.

Составить модель, позволяющую определить, сколько производить каждого типа смеси, чтобы получить максимальную прибыль.

Задача 5. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма 4-х видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества 3-х видов, необходимые для кормления коров. Требуется составить еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в таблице. Содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну.

Вопросы

1.Какое количество корма 1 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы?

2.Какое количество корма 4 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы?

3.Какой общий вес еженедельного рациона коровы (в кг)?

4.Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы (в р.)?

5.На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен содержать не менее 6 кг вещества А?

6.До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным?

Задача 6. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для Павла Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины и в каком количестве следует принимать Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей

26

таблице указаны (в мг) количества витаминов и веществ, которые должен получить Павел за весь курс лечения. Таблица также содержит данные о содержании (в мг на 1 г) витаминов и веществ в поливитаминах и цены в рублях за 1 г поливитаминов.

Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.

Вопросы

1.Какое количество (в г) поливитамина 4 следует принять?

2.Какое общее количество поливитаминов (в г) следует принять?

3.Какова минимальная стоимость курса лечения?

4.До какого значения должна снизится цена на поливитамин 2, чтобы его следовало включить в курс лечения?

Задача 7. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства удобрений в количествах: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четыре типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5 % нитратов, 10 % фосфатов и 5 % поташа. Удобрение 2 содержит 5 % нитратов, 10 % фосфатов и 10 % поташа. Удобрение 3 содержит 10 % нитратов, 10 % фосфатов и 10 % поташа. Удобрение 4 содержит 10 % нитратов, 5 % фосфатов и 5 % поташа.

Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 р. за 1 т. Причем объем спроса на удобрения практически не ограничен.

Стоимость производства 1 т нитратов 360 р., фосфатов 240 р. и поташа 200 р. Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 р. за 1 т.

На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определите, какие удобрения и в каких количествах следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную прибыль.

Вопросы

1.Сколько удобрения 2 следует производить (в т)?

2.Сколько всего следует производить удобрений (в т)?

3.Какова максимальная прибыль (в р.)?

27

4.На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался от закупки удобрений?

Задача 8. На кондитерской фабрике изготовляют 3 вида продуктов – восточные сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль покупается фабрикой по цене 75 р. за 1 кг, фундук – 60 р., арахис – 45 р. Продукт 1 должен содержать не менее 12 % миндаля и не более 18 % фундука, продукт 2 – не менее 25 % миндаля.

Цены готовых продуктов соответственно 70 и 65 р. за 1 кг. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля – 33 кг, фундука – 80 кг, арахиса – 60 кг.

Вопросы

1.Какое количество (в кг) фундука следует использовать при производстве продукта 1?

2.Какое количество (в кг) продукта 2 следует производить ежедневно, чтобы фабрика получила максимальную прибыль?

3.Каков общий объем (в кг) ежедневно производимой продукции?

4.Какова максимальная прибыль (в р.)?

5.На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля

5 кг?

Задача 9. Сочинский винзавод производит три марки сухого вина: «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответственно 68, 57 и 60 р. за 1 л. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 р. за 1 л. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60 % белого вина и не более 20 % красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60 % красного и не менее 15 % белого. Суммарное содержание красного и розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90 %.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную прибыль.

Вопросы

1.Какую максимальную прибыль (в р.) можно получить за 1 день?

2.Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить еже-

дневно?

3.Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный ле-

карь»?

4.Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?

5.Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить еже-

дневно?

28

6. Сколько процентов розового вина должны содержать «Белые но-

чи»?

7.На сколько рублей возрастет прибыль винзавода, если поставки розового вина удастся увеличить до 1300 л в день?

8.На сколько рублей уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л?

§3. Моделирование оптимального раскроя материала

3.1.Простейшая модель оптимального раскроя материала

На многих промышленных предприятиях при массовом производстве продукции необходимо получить наиболее рациональный раскрой материалов (доски, листы металла, трубы, прокат, рулоны ткани и т. д.). План раскроя считается оптимальным, если он обеспечивает наибольший выход заготовок или наименьший объём отходов.

Простейшая модель оптимального раскроя материалов для по-

лучения заданного количества заготовок выглядит следующим образом. На предприятие поступают однотипные рулоны материалов. Надо

найти такой план раскроя рулонов материала по ширине, при котором будут наименьшие отходы.

Введём обозначения:

i – вид заготовки, m – число всех видов заготовок;

j – вариант раскроя рулона по ширине, n – число всех вариантов раскроя; di – необходимое число заготовок i-го вида;

dij – число заготовок i-го вида, которое можно получить из одного рулона материала согласно j-му варианту раскроя;

Сj – отходы материала, полученные из рулона материала согласно j-му варианту раскроя;

A – общее количество рулонов, имеющихся в наличии;

xj – искомое число рулонов, раскраиваемых согласно j-му варианту. Математическая запись модели:

n

∑cj xj →min,

j=1

n

∑dij xj =di, i =1...m,

j=1

n

∑xj ≤ A,

j=1

x j ≥ 0.

29

Это задача линейного программирования, для решения которой можно применить симплекс-метод.

Теперь рассмотрим модель оптимального раскроя партий мате-

риалов для изготовления комплектов.

На предприятие, изготавливающее комплекты, поступает сырьё в виде партий материалов, имеющих свои размеры. Надо получить раскрой материалов, обеспечивающий выпуск максимального числа комплектов. Для формирования модели введём обозначения:

s – номер партии материала, S – число всех партий материалов; i – вид заготовки;

li – число заготовок i-го вида, необходимых для одного комплекта; n – число всех комплектов;

ds – количество материалов одного размера в одной партии s-го вида; j – номер варианта раскроя;

ns – число вариантов раскроя для каждой единицы s-й партии;

dsij – число заготовок i-го вида, получаемых из единицы материала s-й партии согласно j-му варианту раскроя;

xsj – искомое количество единиц материала s-й партии, раскраиваемых согласно j-му варианту.

Поскольку число комплектов минимизируется теми заготовками, которые позволяют составить наименьшее число комплектов, то число полных комплектов равно:

Задача состоит в максимизации числа комплектов

при условии выполнения плана раскроя заготовок

∑ns xsj =ds , s =1...S ,

j=1

атакже неотрицательности компонент

xsj ≥0, s =1...S , j =1...ns .

30