Лабораторная работа 8 (2 часа) Основные операции в MathCad. Упражнение 1. Дифференцирование выражений по указанной переменной.

Используется команда Символика – Переменная – Дифференцировать.

Исходное выражение Результат вычисления

sin(x) cos(x)

log(a·x^b)

(x-1)·x·cos(x) x·cos(x)+(x-1)·cos(x)-(x-1)·x·sin(x)

x·e^x exp(x)+x·exp(x)

(1-e^x)·sin(x) -exp(x)·sin(x)+(1-exp(x))·cos(x)

Упражнение 2. Интегрирование выражений по указанной переменной.

Используется команда Символика – Переменная – Интегрировать.

Исходное выражение Результат вычисления

sin(x) -cos(x)

a·xⁿ

ln(x)³ ln(x)³·x-3·x·ln(x)²+6·x·ln(x) -6·x

x²·sinh(x) x²·cosh(x)-2·x·sinh(x)+2·cosh(x)

x·e^-x -x·exp(-x)-exp(-x)

Упражнение 3. Решение алгебраических уравнений.

Команда Символика – Переменная - Разрешить используется для решения алгебраических уравнений. Должно быть задано выражение и выделена переменная х.

Исходное выражение Результат операции

a·x²+b·x+с

2·x²+3·x-5

x³-6·x²+11·x-6

x⁴+9·x³+31·x²+59·x+60

(x+4)·(x+3)·(x²+2·x+5)

Упражнение 4. Подстановка выражений и чисел на место переменных.

Команда Символика – Переменная - Подставить используется для получения нового выражения путем подстановки вместо указанной переменной некоторого другого выражения. Эта команда позволяет найти численное значение функции некоторой переменной путем замены ее аргумента числовым значением.

Исходное выражение Результат операции

1. y-a (использовать команду Copy)

x³+2·x²+1 (y-a)³+2·(y-a)²+1

2. 2 (использовать команду Copy)

x³+2·x²+1 17

Упражнение 5. Разложение выражений в ряд Тейлора.

Используется команда Символика – Переменная – Разложить в ряд. Разложение выражения в ряд Тейлора проводится относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n. Такое разложение относительно точки х = х₀ функции f(x) имеет вид:

f(x)=f(x₀)++++… +.

Если разложение выполняется относительно точки х = 0, то такой ряд называется рядом Маклорена, и он имеет вид:

f(x) = f(0) + + + + …. +.

По умолчанию n принимает значение равное 6. В разложении указывается остаточная погрешность.

Вычисление ряда Тейлора для функции .

Исходное выражение Результат операции

1-·x²+·x⁴+0(x⁵)

Построение графиков функций:

Разложения в ряд Тейлора используется для вычисления определенного интеграла, который в явном виде не берется.

Например, интеграл можно вычислить методом Симпсона, используя знак вывода=

Данный интеграл можно вычислить также путем замены подынтегральной функции ее разложением в ряд Тейлора.

Разложение функции e^cos(x) в ряд Тейлора с 10 членами имеет вид:

e^cos(x)=exp(1)+·exp(1)·x²+·exp(1)·x⁴+·exp(1)·x⁶+ ·exp(1)·x⁸ + 0(x¹⁰).

C помощью операций Copy (копирование в буфер обмена) и Paste (вставка из буфера обмена) подставим первые четыре члена разложения в качестве подынтегральной функции, в результате получим:

)dx = 1.305.