1.4 Метричні співвідношення

Нехай - елемент довжини координатної лініі . Тоді, величина називається коефіцієнтом Ламе, який відповідає координаті

Розглянемо конкретні приклади:

а) ДСК:

так що

(1.9)

б) ЦСК:

таким чином, коефіцієнти Ламе:

(1.10)

в) ССК:

коефіцієнти Ламе дорівнюють:

. (1.11)

Добуток довжини елемента дуги та орта, дотичного до дуги в даній то-чці будемо називати векторним елементом дуги та позначати: . Тоді:

.

Часто в задачах доводиться використовувати елементи площин , перпендикулярних до координатної лініі. Для ортогональних СК він дорівнює добутку елементів довжин двох інших координатних ліній, тобто:

(1.12)

В ДСК, ЦСК і ССК елементи площин дорівнюють

а) ДСК:

(1.13)

б) ЦСК:

(1.14)

в) ССК:

(1.15)

Добуток елемента площі і орта, нормального до неї в даній точці будемо називати векторним елементом площі та позначати:.

Елемент об’єма дорівнює добутку елементів довжин :

.

Розглянемо конкретні СК:

а) ДСК:

. (1.16)

б) ЦСК:

. (1.17)

в) ССК:

(1.18)

1.4 Обчислення довжин, площ та об’ємів

Метричні співвідношення можуть бути використані для обчислення де-яких характеристик геометричних об’єктів.

Приклади:

а) обчислення довжин. Нехай точки 1 і 2 з’єднані кривою, яка співпо-дає з координатною лінією . Тоді довжина кривої дорівнює інтегралу:

Зокрема, коло можна розглядати як координатну лінію в циліндричних ко-ординатах. Тоді,

,

де вимірюється у радіанах: .

б) обчислення площі. Поверхня в кожній точці перпендикулярна до відповідної координатної лініі . На поверхні сфери ()

Площа сфери:

.

Обчислимо площу бокової поверхні круглого конуса (Рис.4).

Тут , тому:

Площа бокової поверхні з , дорівнює:

,

Рис. 4. Круглий конус.

де -радіус основи конуса.

Для бокової поверхні циліндра:

тому:

в) обчислення об’ємів. Об’єм тіла обчислюється за формулою:

.

Так, об’єм кульового шара з радіусами ідорівнює:

.

Об’єм циліндра та конуса відповідно дорівнюють:

.