Для студентов / Методички / (1)Методичка - ВЕД / ЧI_Р2

РОЗДІЛ 2. СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ПОЛЯ

2.1 Основні положення та означення

Якщо в кожній точці простору М задано значення скалярної величини , то кажуть, що задано скалярне поле. Скалярне поле можна представити як функцію координат точки простору

Наведемо приклади скалярних полів:

1. Об’ємна густина електричного заряду ;

2. Поле температур

3. Скалярний потенціал гравітаційного поля

Важливою характеристикою скалярних полів є поверхні рівня. Це по-верхні, на яких скалярна величина, що характеризує поле, залишається ста-лою:

(2.1)

При різних значеннях константи , утворюється сімейство поверхнів рівня. Розглянемо, наприклад, скалярний потенціал гравітаційного поля мате-ріальної точки:

.

Поверхнями рівня є концентричні сфери, центр яких співподає з матеріаль-ною точкою.

Деякі фізичні величини разом з чисельним значенням характеризуються, також, напрямком в просторі. Наприклад, швидкість, сила, напруженості електричного та магнітного полів. Такі величини називаються векторними величинами, їх можна представити за допомогою векторів.

Якщо в кожній точці простору задан вектор , то кажуть, що задано векторне поле. Далі, говорючи про векторне поле, якщо не буде оговорено обернене, будемо мати на увазі векторне поле, що відповідає реальній фізич-ній величині (поле швидкостей, поле сил и т.д.).

Вектор однозначно визначається його компонентами в заданому базисі.

Скалярним добутком двох векторів і є добуток модулів цих векто-рів та косінуса кута між ними. Прийнято позначення: або .

Векторним добутком двох векторів і називається вектор , який задовольняє таким вимогам:

1. Він перпендикулярний до площини, утвореної векторами і ;

2. За модулем дорівнює добутку модулей векторів і помноженому на сінус кута між ними;

3. Спрямований у той бік, з якого найкоротше повертання від першого вектора до другого можна бачити проти годинникової стрілки. Інакше кажу-чи, вектор є спрямованим за напрямком руху штопора, якщо останній обертається за годинниковою стрілкою.

Прийнято позначення: або .

Нехай є яка-небудь ДСК. Перетворення, яке замінює напрямки осей ці-єї системи на протилежні, називається інверсією. В залежності від поведінки відносно операції інверсії вектори поділяються на два типи. До векторів пер-шого типу відносяться ті, знаки проекцій яких на вісі СК змінюються на про-тилежні внаслідок операції інверсії. Такі вектори називаються полярними векторами. Очевидно, що радіус-вектор є полярним вектором. Відповідно, полярними векторами є швидкість, прискорення, сила і т. д. До векторів дру-гого типу відносяться ті, знаки проекцій яких на вісі СК при операції інверсії не змінюються. Такі вектори називаються аксіальними векторами або псевдо-векторами. Так, векторний добуток двох полярних векторів є аксіальним век-тором. Дійсно, нехай , де і полярні вектори. Тоді, при інверсії відбудеться заміна . Оскільки ані площина, в якій розта-шовані вектори і , ані напрямок найкоротшого повертання від до не змінюються, вектор залишається незмінним. Легко бачити, що векторний добуток полярного і аксіального векторів є полярним вектором.

Предметом нашої особливої уваги будуть електричне і магнітне поля. Фізичними джерелами електричного поля є електричні заряди. Якщо в елек-тричне поле помістити точковий заряд, на нього з боку електричного поля буде діяти сила , тобто електричне поле є силовим полем.

2.2 Електричне та магнітне поле

Вектором напруженості електричного поля в даній точці називаєть-ся векторна величина, яка характеризує елекричне поле і дорівнює силі, що діє на одиничний позитивний заряд, розташований в даній точці поля. Для заряда значення сили і напруженості поля пов’язані співвідношенням:

(2.2)

Оскільки вектор є полярним вектором, вектор напруженості електричного поля - полярний вектор.

Фізичними джерелами магнітного поля є електричні струми. Елемен-том струма будемо називати добуток сили струму в провіднику на век-торний елемент довжини провідника :

. (2.3)

Напрямок співподає з напрямком струму в провіднику.

Якщо в деякій точці магнітного поля знаходиться елемент тока , то збоку поля на нього діє сила.

Вектором напруженості магнітного поля в даній точці називається вектор, який характерізує магнітне поле і визначає силу, що діє з боку поля на елемент тока, розташований в даній точці поля, за формулою:

. (2.4)

Оскільки вектори і є полярними векторами, вектор напружено-сті магнітного поля - аксіальний вектор.

Структура векторного поля передається за допомогою ліній поля. Лінії поля – це лінії, дотичні до яких в кожній точці співподають з напрямком век-тора поля. Лінії поля спрямовані в ту ж сторону, що і вектор поля. Лінії поля проводять таким чином, щоб їх густота була пропорційна модулю вектора поля. Розглянемо, наприклад, поле швидкостей (Рис.5). В області (1) модуль швидкості більше, ніж в області (2). Тому густота ліній поля швидкостей в області (1) більше ніж в області (2).

Рис.5. Поле швидкостей.

Якщо поле, яке зображується, є силовим, лінії поля називаються сило-вими лініями. Приклади силових полів наведено на Рис.6. З Рис.6. можна бачити, що силові лінії електричного поля починаються на позитивних зарядах, та закінчуються на негативних. На відміну від електричного поля, силові лінії магнітного поля замкнені.

Рис. 6.

а) силові лінії електричного поля, яке утворюється нерухомим електричним зарядом.

b) поле електричного диполя.

c) силові лінії магнітного поля, яке утворюється прямим нескінченим струмом.

12