РОЗДІЛ 4. ЕЛЕКТРОСТАТИКА

4.1 Загальні положення

У загальному випадку рівняння Максвела у вакуумі мають вигляд:

(4.1)

У випадку, коли поля не залежать від часу система розпадається на дві підсистеми. Перша з них описує постійне електричне поле (електростатика):

(4.2)

.

Друга - постійне магнітне поле (магнітостатика):

(4.3)

Друге з рівнянь (4.2) можна тотожно задовільнити, якщо покласти:

. (4.4)

Тоді маємо одне рівняння, загальний розв’язок якого включає довільні константи. Для визначення цих констант треба використовувати граничні умови. Для нормальних та тангенціальних складових вектора :

;

(4.5)

,

де -поверхнева густина заряду.

Враховуючи (4.4), першому рівнянню системи (4.2) можна придати вигляд:

. (4.6)

Це є рівняння Пуасона. Його розв’язок включає довільні константи. Граничні умови:

(4.7)

,

де - похідна за напрямком, який перпендикулярний до границі.

4.2 Методи розв’язування задач электростатики

До методів точного розв’язування задач електростатики належать такі методи:

1. безпосереднє підсумування;

2. використання теореми Остроградського-Гауса;

3. інтегрування рівняння Пуассона;

4. інтегрування рівнянь Максвела;

Задача. Сфера радіуса рівномірно заряджена. Густина поверхневого заряду . Визначити потенціал і напруженість електричного поля, яке утворюється сферою. Одержати розв’язок усіма методами.

1) безпосереднє підсумування.

а) для просторового розподілу заряду:

(4.8)

де -просторова густина заряду.

б) для поверхневого розподілу заряду:

, (4.9)

де -поверхнева густина заряду.

в) для лінійних зарядів:

, (4.10)

де - лінійна густина зарядів.

г) для точкових зарядів:

. (4.11)

В даній задачі реалізується випадок (б).

Інтегрування виконується по всій поверхні сфери. Відповідно з симетрією задачі інтегрування слід виконувати в сферичних координатах. Справедливі співвідношення:

;

.

Безпосереднім інтегруванням одержуємо:

.

Враховуючи, що , остаточно одержуємо:

. (4.12)

Використовуючи (4.4), та співвідношення: , знаходимо напруженість електричного поля . Вона дорівнює:

. (4.13)

2) використання теореми Остроградського-Гауса:

, (4.14)

де - заряд, якій охоплюється поверхнєю : , .

В нашій задачі розподіл заряду має сферичну симетрію. Тому модуль вектора напруженості електричного поля в точці , може залежити тільки від модуля радіус-вектора :

.

Вектор напруженості може бути направленим тільки вздовж единого характерного напрямку - напрямку радіус-вектора :

.

Поверхню вибираємо у вигляді сфери радіуса (Рис.7). Тоді

.

Якщо , то та . Якщо , то , що приводить до .

3) інтегрування рівняння Пуассона: .

В задачі, яка розглядається є дві області:

1. , (у сфері),

2. , (поза сферою).

Границєю між ними є заряджена сфера і на ній повинні виконуватись граничні умови (4.7), які в даній задачі мають вигляд:

(4.15)

Об'ємна густина заряду в обох цих областях дорівнює нулеві. Тому потенціали і задовольняють рівнянням Лапласса:

, . (4.16)

Оскільки і є функцією тільки відстані, то

,

де -радіальна частина оператора Лапласа.

Рівнянням Лапласа (4.16) відповідають розв'язки:

;

.

Вони включають в себе чотири невідомі константи, для визнячення яких ми маємо дві граничні умови. Два додаткових співвідношення можуть бути вибрані у такій спосіб. Оскільки заряд розташований в обмеженій області простору, то при значення потенціала має бути прирівняним нулеві. Звідци випливає, що .

При , . Оскільки в точці відсутні точкові та лінійні заряди, потенціал у цій точці повинен бути обмеженим. Це можливо тільки при умові, що .

Константи і знаходяться з рівнянь (див.(4.15)):

; ,

і дорівнюють

;

.

Таким чином,

4) Інтегрування рівнянь Максвела.

Рівняння Максвелла (4.2) і граничні умови (4.5) приймають таку конкретну форму:

1) ;

2) ;

3) ;

;;

Завдяки сферичної симетрії у розподілі зарядів

.

Як наслідок, рівняння для ротора напруженості в областях 1 і 2 та граничні умови для тангенціальних складових задовольняються тотожно. Рівняння для дивергенції напруженості

в областях 1 і 2 мають розв’язки:

, .

При напруженість поля повинна бути обмеженою, тому і . Із граничної умови для нормальних складових знаходимо, що, , так що

.

Задача. Сфера радіусарівномірно заряджена з поверхневою густиною . Визначити енергію електричного поля і тиск кулонівських сил на поверхню сфери. Визначимо енергію двома способами.

а) Перший спосіб: , де визначається формулою (54).

Завдяки сферичній симетрії електричного поля інтегрування доцільно виконувати по сферичним слоям для яких . У такий спосіб одержуємо

. (4.17)

б) Другий спосіб: .

Потенціал поля, напруженість якого змінюється згідно (4.13), визначається виразом (4.12), і при приймає значення .

Тоді

.

Для визначення тиску на поверхню сфери розглянемо роботу кулонівських сил при збільшенні радіуса сфери:

,

де - тиск на поверхню сфери. Знак (-) враховує зменшення енергії сфери при зростанні її радіуса.

Звідки

.

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Нескінченно протяжний циліндр радіуса заряджений: а) по об’єму;

б) по поверхні. Заряд, який приходиться на одиницю довжини циліндра дорівнює . Визначити: потенціал і напруженість поля та енергію електричного поля (на одиницю довжини циліндра).Розглянути граничний випадок (заряджена нитка).

2) В середині рівномірно зарядженої кулі радіуса вирізана сферична порожнина радіуса , . Сумарний початковий заряд кулі дорівнює . Визначити характеристики електричного поля (і ) та його енергію.

3) Площина заряджена з густиною

,

де ,, - сталі. Знайдіть потенціал цієї системи зарядів поблизу площини.

4) Об'єм між двома концентричними сферами з радіусами і заряджений з об’ємною густиною:

а) , б) , в) .

Знайти параметри поля (, ), повний заряд і енергію електростатичного поля.

5) На відстані від зарядженої нитки знаходиться рівномірно заряджена сфера радіуса . Густина заряду на сфері та заряд одиниці довжини нитки сталі. Знайти параметри поля (, ) і силу взаємодії між ниткою та сферою.

6) Яким повинен бути розподіл зарядів, щоб потенціал, який вони утворюють мав вигляд:

7) Заряд електрона розподілений в атомі водню, який знаходиться в нормальному стані, з густиною

,

де - боровський радіус атома,

-заряд електрона.

Знайти потенціал і напруженість поля в атомі, вважаючи, що протон знаходиться на початку координат.

8) Потенціал електричного поля дається формулою (потенціал Юкави). Знайти розподіл заряду .

4.3 Мультипольний розклад в електростатиці

Якщо відстань до точки, в якій потрібно визначити електричне поле значно перебільшує розмір системи, яка утворює поле, можна використовувати мультипольний розклад:

, (4.18)

де -повний заряд системи (скаляр);

-дипольний момент системи (вектор);

-квадрупольний момент системи (симетричний, безслідовий тензор другого рангу),

-декартові компоненти радіуса-вектора .

Для системи точкових зарядів:

; , (4.19)

де -декартові координати радіуса-вектора -го заряду.

Для просторового розподілу заряду:

; , (4.20)

де - декартові координати радіуса-вектора .

Задача. Знайти потенціал поля, яке утворюється трьома точковими зарядами: ; ; , розташованими у точках ; ; .

Повний заряд системи:

.

Компоненти вектора дипольного момента:

; ; .

Очевидно, що всі недіагональні компоненти тензора квадрупольного момента дорівнюють нулеві. Напроти:

;

.

Оскільки тензор безслідовий, то

Таким чином, маємо:

Задачі.

1) В попередній задачі визначити напруженість поля .

2) Довести, що при , не залежить від вибору початку координат.

3) Знайти потенціал поля, яке утворюється чотирма точковими зарядами, розташованими у вершинах квадрата. Значення зарядів:

; .

4) Використовуючи мультипольний розклад знайти потенціал поля, яке утворюється відрізком нескінчено тонкої нитки, одиниця довжини якої має заряд . Довжина відрізка .

5) Використовуючи мультипольний розклад знайти потенціал поля, яке утворюється нескінченно тонким кільцем, радіуса .

6) Сфера радіуса заряджена за законом:

а) ; б) .

Знайти мультипольні моменти такого розподілу зарядів.

Знайти характеристики поля (,,).

7) Знайти силу та обертальний момент , які діють на електричний диполь :

а) у зовнішньому полі з напруженостю ;

б) у полі точкового заряду.

8) Диполь закріплений на початку координат. Другий диполь знаходиться у точці і може вільно обертатися. Визначити:

а) енергію взаємодії диполів;

б) рівноважну орієнтацію.

9) Визначити квадрупольний момент еліпсоїда, який рівноважно заряджений з об’ємною густиною .