Частина I. Електродинаміка вакуума розділ 1. Ортогональні системи координат

Положення точки в просторі може бути задано тільки по відношенню до іншої точки, яку приймаємо за початок відліку. Одним з можливих спосо-бів завдання положення точки є векторний спосіб. Визначимо вектор, як спрямований відрізок прямої. (Далі поняття вектора буде розвиватися глиб-ше.) Вектор, спрямований із початку відліку в точку М називається радіус-вектором точки М Очевидно, що завдання радіус-вектора однозначно виз-начає положення точки. Однак, більш зручним є координатний спосіб.

1.1 Приклади координатних систем

а) декартова система координат (ДСК). Положення точки простору задається за допомогою трьох змінних (Рис.1). Ці змінні називаються декартовими координатами точки.Так, декартові координати точки –. Очевидно, що декартові координати змінюються в границях:

Рис. 1. Декартова система координат.

б) циліндрична система координат (ЦСК). Циліндричними координатами точки називаються три змінні (Рис.2), які однозначно визначають положення точки в просторі.- радіус,який з’єднує початок відліку та проекцію точки на площину , - кут між віссю та радіусом .

Рис. 2. Циліндрична система координат.

Кут прийнято називати азимутальним кутом. Циліндричні координати змінюються в межах:

.

Із рисунка видно, що декартові кординати точки пов’язані з ії циліндричними координатами співвідношеннями:

. (1.1)

Обернене перетворення має вигляд:

. (1.2)

в) сферична система координат (ССК). Сферичними координатами точки називаються три змінні (Рис.3), які однозначно визначають положення точки в просторі:- відрізок, який з’єднує початок відліку ССК та точку , тобто, радіус, - кут між віссюта радіусом , - кут між віссю та проекцією радіус-вектора точкина площину (). Кутиіприйнято називати полярним та азімутальним кутами відповідно. Очевидно, що сферичні координати точки змінюються в межах:

.

Зв’язок декартових та сферичних координат визначається співвідношеннями:

. (1.3)

Рис. 3. Сферична система координат.

Обернений зв’язок описується формулами:

(1.4)

1.2 Координатні лінії та базисні орти

Нехай задана довільна система координат. Положення будь-якої точки в ній задається трьома координатами: . Нехай початкове положення точкивизначається координатами:. Будемо рухати точкутак, щоб змінювалась тільки одна з координат, наприклад. Дві інші координати () залишаються незмінними. Точка опише в просторі лінію, яку називатимемо координатною лінією, що відповідає координаті. Фіксуючи інші значення, одержимо нескінчену множину координатних ліній, що відповідають координаті . Аналогічно будуються сімейства координатних ліній для координат. З цього випливає, що через кожну точку простору можна провести три координатні лініі, що відповідають різним координатам.

Вектор, який має одиничну довжину та спрямований за дотичною до координатної лініі в сторону зростання відповідної координати, називається базисним ортом , що відповідає цій координаті. Очевидно, що з кожної точки виходить три базисних орта, що відповідають різним координатам. Ця трійка складає базис. Довільний векторможна представити, причому єдиним чином, у вигляді розкладу за базисними ортами:

, (1.5)

де - скалярні функціі координат, які називаються компонентами вектора у даному базисі. Є справедливим, також, і обернене твердження: завдання компонентів однозначно визначає вектор.

Якщо в кожній точці простору всі базисні орти є взаємно ортогональними, то система координат називається ортонормованою. Ця умова формалізується співвідношеннями між скалярними добутками базисних ортів:

,

де позначає символ Кронекера У тривимірному просторі він дорівнює:

Так само, у розгорнутому вигляді умова ортонормованості базисних векторів має вигляд:

Взагалі кажучи, координатні лінії є кривими. Проте, для деяких систем координат одна або декілька ліній можуть бути прямими. Так, для ДСК всі координатні лінії є прямими. Розглянемо системи координат, які мають найбільш широке поширення.

а) ДСК: в ній використовуються позначення:

.

Всі три координатні лініі – прямі, а базисні орти зберігають свій напрямок в усіх точках простору (див.Рис.1). Ортогональність декартових координат очевидна. Розклад радіус-вектора за базисними ортами має вигляд:

. (1.6)

б) ЦСК: як видно з рисунку (див.Рис.2), координатні лінії, які відповідають координатам і, є прямими, а координатні лінії, вздовж яких змінюється тільки, є колами. В будь-якій точці простору всі базисні орти є взаємно ортогональними, тобто, ЦСК за своїм типом відноситься до криволінійних ортогональних систем координат. Напрямок ортузалишається незмінним,а напрямки ортів і залежать від кута .

Розклад радіус-вектора за базисними ортами має вигляд:

(1.7)

в) ССК: координатні лінії, вздовж яких змінюється тільки , – це промені, які виходять з початку координат (див.Рис.3). Координатні лініі, які відповідають і, належать відповідно до сімейств меридіанів та паралелей на поверхні сфери радіуса, тобто є криволінійними. Ортиє взаємно ортогональними, тобто ССК є криволінійною та ортогональною.Орти і залежать від кутіві, а орт залежить тільки від .

Розклад радіус-вектора за базисними ортами має вигляд:

. (1.8)