aaa24092012

Задача №10

На какую высоту должен быть запущен искусственный спутник Земли, чтобы период его вращения был равен периоду вращения Земли во-

Рис. 44

Решение

На спутник, двигающийся по круговой орбите, действует сила притяжения Земли F (рис. 44):

mM F G R h 2 ,

где m- масса спутника, M - масса Земли, G 6.67,10-11 Í ì 2 /êã2 - гравита-

ционная постоянная, R- радиус Земли, h - высота спутника над поверхностью Земли.

Эта сила является центростремительной

F m 2

R h

и по второму закону Ньютона:

Отсюда

2 GM .

R h

60

отсюда

поверхности со скоростями 1 6ì ñ и 2 4 ì ñ, направленными под углом

900 друг к другу (рис. 45). Найти импульс системы этих шариков.

Решение

Импульс системы шариков изобразится вектором OC (рис. 46), который равен сумме векторов OA и OB. Модуль импульса системы шари-

ков найдем по теореме Пифагора: m1 1 2 m2 2 2 0,017 êã ì ñ.

Задача №12

Шарик массой m подлетает к стене со скоростью по направлению нормали к стене (рис. 47) и ударяется об нее.

-

Рис. 47

1. Указать величину и направление импульса, который стенка сообщила шарику, если: а) удар был абсолютно упругим; б) удар был абсолютно

61

неупругим. 2. С какой средней силой действовал шарик на стенку, если в обоих случаях удар длился t секунд?

Решение

1. Изменение импульса шарика при ударе о стенку равно произведению силы, действующей на шарик, на время ее действия:

m 2 m 1 Ft,

где m 1 è m 2 - импульсы шарика до и после удара. Так как в результате удара импульс шарика изменил направление на обратное (рис. 47), сохранив модуль 1 2 , то изменение импульса шарика равно 2m и

направлено от стенки, т.е. Ft 2m (рис. 48). Модуль средней силы, с

которой шарик действует на стенку: F 2m .

2. Так как скорость шарика после удара 2 0 , Ft m . Модуль

средней силы, с которой шарик действует на стенку: F m . t

Задача №13

Шарик массой m упруго ударяется о стенку под углом к ее поверхности со скоростью (рис. 49) и отскакивает от нее без потери скорости; угол падения равен углу отражения. Определить величину и направление изменения импульса шарика.

62

Поэтому полный импульс изменился за счет изменения проекции импульса по оси x:

p px2 px1 2px1 2m x1 2m sin .

Знак «-» указывает на то, что вектор p направлен от стены.

Задача №14

Пуля массой m попадает в деревянный брусок массой M , подвешенный на нити длиной (баллистический маятник), и застревает в нем. Определить, на какой угол отклонится маятник, если скорость пули .

Решение

Начальную скорость v маятника можно определить исходя из закона сохранения импульса (рис. 51):

r

m M m V ,

В проекции на ось x:

m M m v,

откуда

m

v M m .

α

v

Рис. 51

Высоту h, на которую поднимется маятник после удара пули, найдем из закона сохранения энергии:

M m v2 M m gh,

2

64

откуда

h v2 .

2g

Теперь легко определить угол :

Задача №15

Два упругих шара, массы которых m1 0.1êã и m2 0.3êã, подвешены на одинаковых нитях длиной 0.5м (рис. 52). Первый шарик отклони-

ли от положения равновесия на угол 900 и отпустили (рис. 53). На какую высоту поднимется второй шарик после удара?

α

m1 m2

Решение

Закон сохранения энергии для первого шара: m1gl m12 2 ,

откуда 2 2gl , где - скорость первого шара после спуска с высоты

(рис. 54). Законы сохранения энергии при соударении шаров:

m1 2 m1 12 m2 22 ,

2 2 2

откуда m1 1 1 m2 22 , где 1 и 2 - скорости шаров после удара. Закон сохранения импульса:

m1 m2 2 m1 1 ,

65

дит путь S , изменение кинетической энергии тела с пулей равно работе силы трения:

Eê2 - Åê1 Àò ð ,

66

нок m1 4 êã, а масса мальчика m2 20êã? Трением о лед полозьев санок и ног мальчика пренебречь.

Решение

Работа мальчика равна изменению кинетической энергии системы «мальчик - санки»

мальчика. Отсюда

m1 0 ,

2 m2

и работа

Задача №18

Санки съезжают с горы, имеющей высоту H и угол наклона , и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 55). Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен . Найти расстояние S , которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку, до полной остановки.

Рис. 55

67

- работа силы трения на наклонном участке;

Aò ð2 Fòð2S mgS

- работа силы трения на горизонтальном участке. Тогда

mgH mgHctg mgS ,

откуда

S H(1 ctg ) .

Задача №19

Моторы электровоза при движении со скоростью 72êì /÷ потреб-

ляют мощность N 800êÂò . Коэффициент полезного действия силовой

установки электровоза 0,8. Определить силу тяги мотора.

Задача №20

Найти массу m воздуха, заполняющего аудиторию высотой h 5 ì и

площадью пола S 200 ì 2 ,при нормальном атмосферном давлении и тем-

пературе t 17 0C. Молярная масса воздуха 0,029êã/ì î ëü.

Решение

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона

pV m RT ,

Ò t 273 17 273 290 K - температура воздуха по шкале Кельвина.

m pSh 1203 êã . RT

68

Задача №21

Найти плотность ρ водорода при температуре t 15 0C и давлении p 97,3êÏ à.

где p1 и p2 - парциальные давления азота и водорода соответственно. Уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения парциальных

давлений азота и водорода p1 и p2 и давления p смеси газов:

Выразим p1 , p2 и p из уравнений (1) - (3) и подставим в уравнение

(1):

Задача №23

В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой m 2êã. Для повышения температуры кислорода на T 5K

69