Решение дифференциальных уравнений.

Примеры:

1.

Ответ:

2.

Ответ:

3.

,

,

,

,

Ответ:

Свертка функций.

-оригиналы.

Свойство:

Доказательство:

Теорема (о свертке):

-оригиналы.

Доказать:

Доказательство:

Теорема (об интегрировании оригинала):

Доказать:

Доказательство:

Теорема (об интегрировании изображения):

Доказать:

Доказательство:

Пример (решение интегрального уравнения):

Ответ: .

Гамма функция

Г

Свойства Г(s):

Г

- оригинал с показателем роста

- преобразование Лапласа

- кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая

- преобразование Фурье

- обратное преобразование Фурье

Теорема.

Пусть -оригинал с показателем роста

- преобразование Лапласа

является преобразованием Фурье ,

Доказательство.

(*) – формула обращения

Теорема.

Пусть - аналитична в полуплоскости,

при

,

является изображением,

вычисляется по формуле (*).

Лемма Жордана.

Пусть - изображение

при , при

при , при

, при

Пусть - изображение, прианалитичное повсюду, прианалитичное повсюду кроме конечного числа особых точек.

i

2способ

Решаем (2)

Подставим в (1)и найдём .