3.Производ сложных и неяв ф-ий

1)Функция одной переменной   – это правило, по которому каждому значению независимой переменной   соответствует одно и только одно значение функции  .

Переменная   называется независимой переменной или аргументом. Переменная   называется зависимой переменной или функцией.

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию 

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция   в явном виде выражена через независимую переменную  .

Рассмотрим другую функцию:   

Здесь переменные   и   расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство   и попробуйте выразить «игрек» в явном виде:  . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить:   – пример неявной функции.

2) Как дифференцировать  Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция,   – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции  :

4.Производ по направ. Град и его св-ва

Значение предела

называется производной функции   по направлению оси (или луча)   (илипо направлению вектора   ), вычисленной в точке   . Производная по направлению обозначается   или       

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаётмгновенную скорость изменения значений функции   при прямолинейном и равномерном движении точки   вдоль оси   в момент   .

2) Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины  , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции   по направлению   равняется скалярному произведению градиента   на единичный вектор  :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

5. Касат плоск и нормаль поверхти 

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности   в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке. – уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .

6.Необход услов и достаточ услов экстремума:1)Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x₁, x₂, … , x_n) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует. Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

2)Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.

7.Условный экстремум:Пусть функция

u = f(x1, x2,  … , xn)

(1)

определена в некоторой области D  Rⁿ и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k   (k<n) соотношениями:

Fi(x1, x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(2)

Условия (2) называются уравнениями связи.

Пусть координаты точки M₀(x₁⁰, … ,x_n⁰)  D удовлетворяют уравнениям связи (2).

Точка M₀(x₁⁰, … ,x_n⁰) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность O_δ(M₀) точки M₀ , что для любой точки M(x₁, … ,x_n) O_δ(M₀) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство   f(M) ≤ f(M₀)   (f(M) ≥ f(M₀)) .

8. Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,  а, k, C - постоянные величины.









9.Таблица интегралов Основные приемы интегрирования

Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного .

Пусть определены дифференцируемые функции f  ( x ) и g  ( t ), а также сложная функция g  ( f  ( x )). Пусть   Тогда   Это означает, что 

Иногда, вычисляя интеграл   полезно перейти к новой переменной. Пусть x  =  g  ( t ) монотонная дифференцируемая функция,   – обратная ей функция. Тогда  Обозначая   получим f  ( x )  dx  =  u  ( t )  dt . Если   то 

Этот метод называется методом подстановки .

 Пусть функции u  ( x ) и v  ( x ) имеют непрерывные на D производные. Тогда  Функция uv имеет непрерывную производную на D , и   Интегрируя обе части этого равенства, получим  Относя константу интегрирования к интегралу  получаем доказываемую формулу.

Эта формула описывает метод интегрирования по частям . Она сводит вычисление интеграла   к вычислению интеграла 

10. Определенные интегралы (интеграл Римана).     Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке   и составим сумму (интегральная сумма)  .

     Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения:  , то функция f(x) называетсяинтегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. 

11..Определенный интеграл. Необходимое условие существования.

Пусть ф-ция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобъем отрезок [a,b] на n производных частей a=x<x1<x2<…<xn=b. На каждом из отрезков [x(i-1), xi]произвольным образом выберем т. «кси» i [xi-1,xi]. Обозначим через xi=xi-x(i-1) и «кси»=(кси1, кси 2, … кси n). Разбиение (a=x0<x1<…<xn=b) обозначим через «тау». Составим сумму. S f(тау, кси)=f(кси1 xi+f(кси2) xi+…+f(кси n) xi= составим такую сумму, кот.на.интегральной суммой ф-ции f(x) на [a,b] с параметром кси и тау.Опр1.Пусть d(тау) - , - диаметр разбиения. Если конечн.предел , не зависящей от способа разбиения отрезка a,b и выбора точек из набора кси, то этот предел наз. Определенным интегралом ф-ции f(x) и обоз-ся . Необходимое условие: если f(x) интегрируема на отрезке [a,b],то она ограничена на этом отрезке. НО обратное – неверно. Те такие ф-ции, кот.явл.ограниченными на нек. Отрезке, но не явл.интегрироваными на дан.отрезке.

12. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f(x) С[ab] и пусть (t) С и D [ab], причем: 1) 2) 3) =a, =b.Тогда док-во: по формуле Н-Л , где F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Рассмотрим ф-цию F( ). (F( )’=F’( )* =f( )* F( )- первообр.ф-ции f( )* => по формуле Н-Л:

13-14. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. 1. 2.Каковы бы ни были точки a,b и c: 3.k-нект.число. Тогда 4. dx= 4’Св-во линейности: f(x)+ =

15. 5Теорема о среднем. Пусть f(x) С[ab].Тогда найдется такая с из [ab], что f(c)*(b-a).

16. . Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть f(x) С [ab] ипусть F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Тогда .

17. Геометрические приложения определенного интеграла. площадь криволинейной трапеции:пусть f(x)- опеределена на [ab], не отриц-на.f(x) [ab].Тогда S= длина дуги кривой:пусть f(x) D [ab]. L= . объем тела вращения: f(x) [ab]. V= . площадь поверхности вращения: f(x) [ab] и f ‘(x) С[ab]. S=2 .

18. длина дуги кривой:пусть f(x) D [ab]. L= . объем тела вращения: f(x) [ab]. V= . площадь поверхности вращения: f(x) [ab] и f ‘(x) С[ab]. S=2 .

19. .Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Опр. Пусть f(x)опр-на на пром-ке[a,+ ] и интегрир-ма в люб.его части [a,R](т.е. ). Тогда если , то он наз.неопред. интег-ом 1го рода и обознач . Опр. Пусть f(x) опр-на на проме-ке [ab) и f(x) не ограничена в люб.точке окр-ти точка b, но >0 ф-ция f(x) интегр-ма на отрезке[a,b- ] , тогда если то он наз-ся несобственным интергралом 2го рода

20-21. Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.Опр.: Ур-ие вида f(x,y,y’)=0 (1) наз-ся диф-ым ур-ем 1-го порядка, где x – перем-я, y–иско-мая ф-я, y’ – ее производная.Опр.: Поряд-ком диф-го ур-ия наз-ся порядок старшей производной, входящей в него. Если ур-ие (1) можно решить относительно y’, то оно примет вид: y’=f (x,y) (2), к-ое наз-ют диф-ым ур-ем, разрешенным относитель-но произ-ой. Опр. Решение ур-я (2) наз всякая ф-ция y= ,кот.при подстановке в ур-е(2) обращает его в тождество, те ’(x) f(x, ) Опр. График решения диф-ого ур-я (2) наз интегральн.кривой. Опр. Диф.ур-е y’=f(xy)с задан. начальн. условиями. наз. Задачей Коши.

Теорема. Пусть ф-ция f(xy) непрер в нек. обл. G и такая константа L, что для люб пары точек (x,y1), (x,y2) G следует, что |f(x,y1)-f(x,y2)| *|y1-y2| - ур-е Лепшиц.

Общее и частное решение диф-го ур-ия. Опр.: Общим решением ур-ия (2) в области G наз-ся ф-ия y=(x,C), зависящая от неизвестной x и произвольной постоянной С, такая, что С=С0 –фция (x,C) явл-ся решением ур-я (2) и (x0y0) С=С1, такая что U(x,C0) яв-ся решением задачи Коши.Опр.: Частным решением ур-я (2) наз-ся ф-ия y=(x,C0), полученная из общего решения ур-я(1) заменой постоянной с определенным значением. С гео-метр-ой точки зрения частному решению соответствует одна интегральная кривая, а общему – семейство интегральных кри-вых.

22. Однородные ур-ия. Опр.: Ур-ие y’= f(x, y) наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) м. б. представлена как ф-я отношения своих аргументов. Схема решения: 1). обозначить y/x=U, y=Ux; 2). y’=U’x+U; 3) подставить y и y’ в данное ур-ие, решить его относительно ф-ии U; 4) сделать обратную замену, т.е. U выразить через x и y.

23. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

Опр: ур-е вида F(x,y,y’,y’’)=0, где х- независимая переменная, у- искомая фун-я, y’,y’’- ее производные, назыв диф ур-ем 2-го порядка. Обычно расматр-ся ур-я, кот. могут быть разрешены от-но y’’, т.е. ур-е вида: y’’=f(x,y,y’) (1) Опр: решением ур-я (1) назыв-ся фун-я y= (x),кот. обращает его в тождество ’’(x) f(x, . Теорема (Коши): Общ.решение ДУ(1): ф-я у=φ(х1,С1,С2) зависящая от х и 2-х произвольных постоянных С1,С2, назыв общим решением ур-я (1). Если она яв-ся решением ур-я (1) при люб-х значениях С1,С2 и если при начал-х условиях сущ-т единственные значения постоянных С1=С1º ,С2=С2º, такие что ф-я у=φ(х,С1º,С2º) удовлетворяет нач-м условиям. Опр: любая ф-я у=φ(х,С1º,С2º) полученная из общего решения ур-я (1) при опред-х значениях постоянных С1 и С2 назыв частным решением ур-я (1). Рассм. 3 случая когда решение ур-я (1) с помощью замены переменной сводится к решению ур-я 1-ого порядка. Такое преобразование ур-я назыв. понижением порядка. 1.Ур-е вида у’’=f (х) (нет у, у’), введем новую ф-цию z (x)=y, y’’=z (x), подставим в ур-е y’’ получим ур-е 1-ого порядка решив к-ое найдем ф-цию z (x) а значит нашли у' и теперь решая ур-е для у’ найдем искомую ф-цию у. y’=x. 2.Ур-е вида y’’=f (x, y’) (нет у) введем вспомогательную ф-цию z (x)=y’, тогда y’’=z (x) подставив все в данное ур-е получим ур-е 1-ого порядка, решив к-ое найдем ф-цию z (x), т.е. y’ и решая ещё раз ур-е найдем искомую ф-цию y’. 3.Ур-е вида y’’=f (y, y’) введем вспомогательную ф-цию z (y) так что y’=z. y’’ = z dz/dy. Подставим в данное ур-е y’’ и y’ и решив его найдем z, т.е. y’ и решив ур-е для y’ найдем y.