Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика конс.2 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

575.67 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Конспект лекций по курсу математики второго семестра Профессор А.В.Братищев

ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Элементы топологии в Rn . Предел. Непрерывность.

естественным базисом,

выходящим из точки M

Опр. Лучом в R

0 ( x1 ,..., xn ) , с

направляющим вектором k = {k1 ,..., kn } ≠ 0

называется множество

x1 = x1

+ k1t

r(M 0 , k ) = { ( x1 ,..., xn ) : t ≥ 0 . .

. } .

+ knt

= xn

Опр. Шаром с центром в точке M

( x0 ,..., x0 ) и радиусом R ( R -окрестностью точки

M 0 ) называется множество D(M 0 , R) = { M ( x1 ,..., xn ) R

ρ (M

, M ) =

= < M

M , M

M > = ( x − x0 )2

+ .. + ( x − x0 )2

< R .

Пр.

Опр. Множество G R называется открытым, если каждая точка входит в него вместе

с некоторой своей ε -окрестностьюD(M				0 ,ε ) . Множество		n	называется
						K R
		n	\ K	является открытым множеством.
замкнутым, если его дополнение R
Опр. Граничной точкой множества D называется точка евклидовой плоскости в
каждой окрестности которой есть как точки, принадлежащие D , так и точки, которые
не принадлежат D . Множество = (D)				граничных точек называется границей

множестваD . Замыканием множества D называется множество D := D (D) .
Пр.
n	называется ограниченным, если оно содержится в
Опр. Множество X в R
некотором шаре D(M 0 , R) .
	n				m	, ставящее в соответствие
Опр. Пусть множество X R		. Отображение F : X → R
каждой точке ( x1...xn ) X				m	, называется отображением от n
	точку ( y1...ym ) R
переменных x1 ,...,.xn .
Опр. Отображение f ( x1...xn ) : X → R называется функцией от n переменных.
	m	определяет и вполне определяется m функциями от n
Опр. Отображение F : X → R

переменных по правилу F = ( y1...ym ) =: ( f1 ( x1 ,..., xn ),..., fm ( x1 ,..., xn )) .Функции fi ( x1 ,..., xn )

называются координатными. Пр.

Опр. (впервые рассматривал Бассантен, 1557). Понятие ввел Монж, 1798) Пусть

X R2 , f : X → R. C - линией уровня функции f ( x, y) называется множество точек

S f (C ) := { ( x, y) X : f ( x, y) = C } .

Опр. (понятие и термин –Маклорен, 1742) Пусть X Rn , n ≤ 3 . C - поверхностью уров ня функции f (M ) : X → R называется множество точек S f (C ) := { M X : f (M ) = C } .

Пр.	____
Опр. Пусть М	0 - предельная точка множества	n	m	. Точка
		X R	и отображение F : X → R

) ,

B := (b1 ,..., bm ) R

называется пределом отображения F при М( x1 ,.., xn ) → M 0 ( x1

,.., x1

если ε > 0

δ > 0 M D(M

F (M )

0 ,δ ) \ {M 0 } R

Dm (B,ε ) R

Опр. Пусть отображение F (M ) определено в окрестности точки М0

и задан луч

r(M 0 , k ) . Говорят, что F (M )

имеет предел в точке M 0 по направлению k , если

существует конечный предел

lim

f (M ) := limr (

)

f (M ) .

M →M 0

M →M

Кпр.

ТЕОРЕМА (свойства пределов)

1) lim

F (M ) = B i ≤ m

lim

fi (M ) = bi .

M →M 0

Если X Y ,

M 0 - предельная точка M и существует limY F (M ) , то

M →M 0

lim X F (M ) = limY

F (M ) . 3) Если предел в точке M существует, то он единственен.

M →M 0

lim (α f1(M) + β f2 (M) = α lim

f1(M) + β lim f2 (M) . 5)

lim f1(M) f2 (M) = lim f1(M) lim f2 (M)

M →M0

M→M0

f1 (M )

lim f1 (M )

lim

M →M 0

, если предел знаменателя не равен 0.

f2 (M )

lim f2 (M )

M →M 0

_____

Опр. Пусть M 0 X и является его предельной точкой. Отображение F : X → Rn

называется непрерывным в точке М0 , если существует предел lim X F (M ) = F (M 0 ) .

M →M 0

Опр. Отображение называется непрерывным на множестве, если оно непрерывно в каждой точке множества.

Опр. Пусть даны переменная точка M ( x ,..., x

)

и фиксированная точка M

( x0

,..., x0 ) .

Полным приращением переменной M в точке М0

называется вектор

M = M

M = {x − x0

,..., x − x0

} = {dx ,..., dx },

а полным приращением отображения F в точке М0 называется вектор

F = { f (M ) − f (M

),..., f

(M ) − f

)} =: {

f ,...,

} Rm .

Опр. Для точки M = ( x0 ,..., x0

, x , x0

,..., x0 )

только с k -ой переменной координатой

k −1

соответствующий вектор

k F = {

k f1 ,...,

k fn } называется частичным приращением

отображения F в точке М0

по переменной xk .

Пр.

ТЕОРЕМА (свойства непрерывных отображений)

1)Отображение F = ( f1 ,... fm ) непрерывно в точке М0 тогда и только тогда, когда его координатные функции fi (M ), i = 1...m , непрерывны в этой точке.

2)Отображение F непрерывно в точке М0 тогда и только тогда, когда

lim

= lim

(

f )2 + ... + (

)2 = 0 .

M →M 0

M →M

Если F непрерывно в точке М0 , то оно непрерывно в этой точке по каждой

переменной, Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

то их линейная комбинация

Если функции f1 , f2 непрерывны в точке М0 R

α f

+ β f

, произведение f

и частное

непрерывны в этой точке, в последнем

случае при условии

f2 (М0 ) ≠ 0 .

m	непрерывно в точке М0 и N0 := G(M			m	. Если
5) Пусть отображение G : X → R	непрерывно в точке М0 и N0 := G(M			0 ) R	. Если
			p	, тогда
отображение F непрерывно в точке N0 Y и принимает значения в R				, тогда
		p	непрерывна в точке M 0 .
композиция отображений G F : X → R			непрерывна в точке M 0 .

6) Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего значений.

Дифференцируемые отображения и функции

Опр. Пусть отображение F (M ) определено в окрестности точки M 0 . Оно называется дифференцируемым в точке M 0 , если полное приращение в этой точке представимо в виде F = L M + α (M ) , где L : Rn → Rm - линейный оператор, определяемый отображени

ем F и точкой M

M = {dx , ..., dx } Rn , а отображение α (M ) определено на окрестно

сти точки M

и обладает свойством lim

α (M )

= 0 .

M →M 0

ЗАМЕЧАНИЕ Линейный оператор L : Rn

→ Rm совпадает с матричным оператором,

порожденным его матрицей A(L) = (a ) в естественных базисах пространств Rn , Rm .
ij
Это позволяет записать полное приращение отображения в координатной форме
n				n
F = { f1 ,..., fm } = {∑a1 j dx j		+ α1 (M ), ..., ∑amj dx j + αm (M )} ,
j =1				j =1
где α (M ) = {α1 (M ),..,αm (M )}. Матрица A(L) = (aij ) имеет размер m × n и называется
матрицей Якоби отображения F в точке M 0 .				Замечание позволяет дать такое
Опр. (Штольц, 1893) Пусть функция f (M )		определена в окрестности точки M 0 . Она
называется дифференцируемой в точке M 0 , если ее полное приращение в этой точке
представимо в виде f = a1 dx1 + ... + an dxn + α (M ) , где a1 ,..., an - некоторые числа, а
функция α (M ) обладает свойством lim	α (M )			= 0.
	α (M )

		M
M →M 0		M	n
			n

Опр. Если отображение F дифференцируемо в точке M 0 , то слагаемое dF := L( M ) на зывается дифференциалом (главной частью приращения F ) отображения F в точке M 0 . Линейный оператор L: Rn →Rm называется производной отображения F в точке M 0 ЗАМЕЧАНИЕ В силу предыдущего замечания координатные функции

df	a	...a	dx
1	11	1n		1	. В частном случае
дифференциала dF вычисляются по формуле ...	= .	.	...		. В частном случае

dfm	am1 ...amn		dxn

функции f (M ) df = a1 dx1 + ... + an dxn есть дифференциал функции в точке М0 .

Опр. Пусть функция f (M ) определена в окрестности точки М0 , и k = {cosα1 , cosα2 ,..., cosαn } - единичный вектор в Rn , заданный своими направляющими косинусами

( c os2 α + cos2 α

+ ... + cos2 α

= 1 ). Производной функции f (M ) в точке М

по направлению

F (M ) − F (M 0 )

k называется конечный предел k

(M 0 ) = lim

, если он существует.

M 0 M

M →M0

Опр. Пусть функция f (M )

определена в окрестности точки М0 . Частной производной

функции f (M )

в точке М0

по переменной xk называется конечный предел

	∂f	(M		) := lim	k f	, если он существует (обозначение – Лежандр, 1786).
	∂x	(M	0	) := lim		, если он существует (обозначение – Лежандр, 1786).
			0	xk →x0	x
				xk →x0	x
	k			k	k
Опр. Если функция F (M ) имеет частные производные по всем переменным в точке
							df		df
	M 0	, то ее градиентом в точке M 0					называется вектор grad f (M0 ) :=	(M0 ),...,		(M0 )
	M 0	, то ее градиентом в точке M 0					называется вектор grad f (M0 ) :=	(M0 ),...,		(M0 )
							dx1		dxn

ЗАМЕЧАНИЕ От лат. gradior – идти вперед. Термин ввел Максвелл, 1873.

ТЕОРЕМА (свойства дифференцируемого отображения)

1)Отображение F дифференцируемо в точке M 0 тогда и только тогда, когда координатные функции f1 (M ),..., fm (M ) дифференцируемы в этой точке.

2)Если F = ( f1 ,..., fm ) дифференцируемо в точке M 0 , то матрица Якоби в этой точке

∂f			∂f
1	(M	0 )...	1	(M	0 )
			∂x
∂x
1			n

имеет вид A(L) = . . .

. В частности, если F (M ) дифференцируема в

∂fm

(M 0 )...

(M 0 )

∂x1

∂xn

точке M

, то дифференциал функции

df =

∂f

)dx + ... +

∂f

)dx .

∂x1

∂xn

3) Если функция F (M )

имеет непрерывные частные производные в точке M 0 , то она

дифференцируема в этой точке.

4) Если функция F (M )

дифференцируема в точке M 0 , то она дифференцируема в этой

точке по каждому направлению

= {cosα1 ,..., cosαn } , и производная

∂f

(M 0 ) cosα1

+ ... +

(M 0 ) cosαn =

grad f (M 0 ), k .

(M 0 ) =

∂x1

∂xn

grad f (M 0 )

, производная по

5) Градиент функции определяет направление k0

grad f (M 0 )

которому будет максимальной : k

f (M 0 ) ≤ D

f (M 0 ) . При этом в противоположном

k 0

направлении −k0 производная будет минимальной. СЛЕДСТВИЕ Дифференцируемое отображение непрерывно.

ЗАМЕЧАНИЕ Рассмотрим кривую в области определения функции, в каждой точке M 0 которой касательная имеет направление −grad f (M 0 ) . Множество соответствую щих точек (M 0 , f (M 0 )) графика функции называется линией наискорейшего спуска.

Это объясняется тем, что для каждой точки M 0 кривой величина спуска f (M 0 ) − f (M ) точки (M , f (M )) по поверхности будет наибольшей при движении M по этой кривой.

_____

Опр. Пусть функция z = f ( x, y) определена в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) . Плоскость L: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − f ( x0 , y0 )) = 0 называется касательной плоскостью к графику функции f в точке N0 = ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) , если для переменной точки

N := (M , f (M )) = ( x, y, f ( x, y)) f		lim	ρ	( N , L)	= 0 . В этом случае говорят коротко, что

		M →M 0		N0 N

функция z = f ( x, y)	имеет касательную плоскость в точке M 0 .
Опр. Если функция	z = f ( x, y)	имеет касательную плоскость в точке M 0 ( x0 , y0 ) , то

f ( x, y) = p( x, y) + Rn ( x, y)

∂x j ∂xi

∂xi ∂x j

прямая, проходящая через точку N0 = ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) и перпендикулярная к этой касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

ЗАМЕЧАНИЕ (геометрический смысл дифференцируемости) График функции f име ет невертикальную ( C ≠ 0 ) касательную плоскость в точке N0 = ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) тогда и только тогда, когда функция z = f ( x, y) дифференцируема в точке M 0 . В этом случае

уравнение касательной плоскости имеет вид L:

∂f

(M )(x − x ) +

∂f

(M )( y − y ) − (z − f (x , y )) = 0

∂x

∂y

а уравнение нормали к поверхности – вид l :

x − x0

y − y0

z − f ( x0

, y0 )

∂f

(M 0 )

∂f

0 )

−1

∂x

∂y

_____

Опр. Пусть функция f (M ) имеет частную производную

∂f

в каждой точке некоторой

∂xi

окрестности точки M

. Если существует частная производная функции

∂f

(M )

в точке

∂xi

по переменной x

, то в случае i ≠ j она обозначается

∂2 f

) и называется

∂xi ∂x j

смешанной производной, а в случае i = j она обозначается

∂2

) и называется

∂x 2

частной производной второго порядка по переменной xi .

ЗАМЕЧАНИЕ Если существуют смешанные производные

∂2 f

(M ),

∂2 f

(M )

окрестности точки M 0 и хотя бы одна из них непрерывна в этой точке, то они совпадают. В дальнейшем молчаливо предполагается совпадение этих производных. Пр.

					n	, V	-
ТЕОРЕМА (о сложном отображении) Пусть U есть открытое множество в R						, V	-
		m	. Пусть отображение G :U → V - дифференцируемо в точке
открытое множество в R			. Пусть отображение G :U → V - дифференцируемо в точке
				p	дифференцируемо в точке N0 := G(M 0 ) . Тогда отобра
M 0 U , отображение F : V → R					дифференцируемо в точке N0 := G(M 0 ) . Тогда отобра
	p	дифференцируемо в точке M 0 и его матрица Якоби совпадает с
жение F G : U → R		дифференцируемо в точке M 0 и его матрица Якоби совпадает с
произведением матриц Якоби отображений в F и G в соответствующих точках:
		A (F G)′ (M 0 ) = A[F ′]( N0 ) A[G′](M 0 ) .

Пр.					_____

ТЕОРЕМА (формула Тейлора функции двух переменных) Пусть функция z = f ( x, y)

имеет непрерывные частные производные до (n + 1) -го порядка включительно в окрест

n					∂	k
ности точки M 0 ( x0 , y0 ) ; p(x, y) := ∑	1	(x − x )	∂	+ ( y − y )			f (M0 ) - многочлен Тейлора


		0	∂x	0	∂y
k =0 k !

функции f ( x, y) в окрестности точки M 0 , записанный в символической форме. Тогда в окрестности этой точки имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

		1			∂		∂	n+1		( x0 + ξ ( x − x0 ), y0 + ξ ( y − y0 ) ), где ξ (0,1) .
Rn	( x, y) =			( x − x0 )		+ ( y − y0 )			f
		(n +
					∂x		∂y
			1)!

Опр.Аппроксимировать функцию f ( x, y) на множестве X R2 многочленом с заданной

точностью ε - это значит найти многочлен p( x, y) со свойством (x, y) X f (x, y) − p(x, y) ≤ε

ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичная формула Тейлора имеет место и для функции от n переменных. _____

Для формулировки условий локального экстремума функции n переменных нам понадобится классификация квадратичных форм и некоторые ее свойства.

Опр. (Гаусс, 1801) Квадратичная форма g(x1,...xn ) = ∑∑aij xi xj

называется положитель

i=1 j=1

но (отрицательно) определенной, если ( x1 ,..., xn ) ≠ (0,..., 0)

g( x1 ,..., xn ) > 0

( g( x1 ,..., xn ) < 0 ) .

Опр. Квадратичная форма g ( x1 ,..., xn ) называется полуопределенной, если ( x1 , ..., xn ) R

g ( x1 ,..., xn ) ≤ 0 , причем

= 0 .

g ( x1 ,..., xn ) ≥ 0 или ( x1 , ..., xn ) R

( x1 ,..., xn ) ≠ 0 g ( x1 ,..., xn )

g(M1) > 0,

g(M2 ) < 0

Опр. Кв. форма g ( x1 ,..., xn ) называется неопределенной, если M1, M2 R

Пр.

Опр. Миноры матрица A = (a )

квадратичной формы

a12

δ := a ,

a11

,...,

= det A

a21

a22

называются главными минорами.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть квадратичная форма g(x1,...xn ) = ∑∑aij

xi xj

симметричная: ai j = a j i

i=1 j=1

1) Равносильны утверждения: а) она положительно определена;

б) (критерий Сильвестра) все главные миноры ее матрицы положительны;

в) все собственные числа ее матрицы положительны.

2) Квадратичная форма g ( x1 ,..., xn ) отрицательно определена тогда и только тогда,

когда последовательность главных миноров ее матрицы коэффициентов

знакочередующаяся: −δ

> 0, δ

> 0, ..., (−1)n δ

= (−1)n det(a ) > 0 .

3) g ( x1 ,..., xn ) неопределенная тогда и только тогда, когда собственные числа ее матрицы имеют разные знаки.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Квадратичная форма допускает запись в матричном виде

a11

g (x1 ,..., xn ) = X T (aij ) X = (x1 ... xn ) ...

an1

...	a1n	x1
...	...	... .
...	ann	xn

Опр. Матрицей Гессе функции f (M ) = f ( x1 ,..., xn ) , имеющей частные производные

			∂2 f
второго порядка, называется матрица	H f	(M ) :=			(M ) .
второго порядка, называется матрица	H f	(M ) :=			(M ) .
			∂x ∂x	j
			i	j

Опр. Пусть функция f (M ) = f ( x1 ,..., xn ) определена на множестве X , точка M 0 X и является предельной точкой. Говорят, что M 0 является точкой локального максимума (минимума), если ε > 0 M D(M 0 , ε )∩X f (M ) ≤ f (M 0 ) ( f (M ) ≥ f (M 0 )) .

При этом f (M 0 ) называется локальным максимумом (минимумом).

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условия локального экстремума,Эйлер,1755)

Если функция f (M ) = f ( x ,..., x ) имеет локальный экстремум в точке M

= ( x0

, ..., x0 ) и

имеет частные производные в этой точке, то

∂f

) = ... =

∂f

) = 0 .

∂x1

∂xn

Пусть f (M ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка

включительно в точке M

∂f

) = ... =

∂f

) = 0 . Тогда:

∂x1

∂xn

n n

∂

а) если квадратичная форма

g ( x1 ,..., xn ) = X T

H f

(M 0 ) X = ∑∑

(M 0 ) xi x j

∂xi ∂x j

i=1 j =1

положительно определенная, то M 0 есть точка локального минимума;

б) если g ( x1 ,..., xn ) отрицательно определенная, то M 0 есть точка локального максимума; в) если g ( x1 ,..., xn ) является неопределенной, то M 0 - седловая точка:

ε > 0 M1 , M 2 D(M 0 , ε ) f (M1 ) > f (M 0 ), f (M 2 ) < f (M 0 )

г) если g ( x1 ,..., xn ) полуопределенная, то нужны дополнительные исследования.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 (метод наискорейшего спуска или градиентный метод) Пусть f (M ) = f ( x1,..., xn ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в области G и ее квадратичная форма сильно положительна

n	n	2	n n	∂2 f	n	2
c, C > 0 M G X R	c ∑xi		≤ ∑∑		(M ) xi x j ≤ C ∑xi .
c, C > 0 M G X R	c ∑xi		≤ ∑∑	∂xi ∂x j	(M ) xi x j ≤ C ∑xi .
	i =1		i =1 j =1	∂xi ∂x j	i =1

Фиксируем M 0 и определим последовательность точек {M k } по правилу

OM k +1 := OM k − αk grad f (M k ) , где {αk } выбирается из условия максимального убывания f (M ) , когда M движется из точки M k в направлении −grad f (M k ) . В теории оптимизации доказывается, что тогда {M k } сходится со скоростью геометрической прогрессии к точке локального минимума функции f (M ) . ЗАМЕЧАНИЕ 2 Метод наискорейшего спуска применим к численному решению

f ( x ,..., x			) = 0
1	1	n
системы нелинейных уравнений .		.	. Именно, множество решений этой
	( x1	,..., xn ) = 0
fn

системы совпадает с множеством решений уравнения f ( x1 ,..., xn ) := ∑ fk2 ( x1 ,..., xn ) = 0 , то

k =1

есть с множеством точек равного нулю минимума неотрицательной функции

f ( x1 ,..., xn ) , если такие существуют. Их же можно искать методом наискорейшего спуска.

Неявные отображения и условный экстремум

				n	система уравнений
Опр. Пусть для каждой M = ( x1 ,..., xn ) X R					система уравнений
	Ф ( x ,..., x , y ,..., y						) = 0
	1	1	n	1		m
			. .		.		(1)
		( x1	,..., xn , y1		,..., ym ) = 0
Фm		( x1	,..., xn , y1		,..., ym ) = 0

с m неизвестными ( y1 ,..., ym ) имеет одно (выделенное) решение, то есть задано правило, сопоставляющее каждой точке M точку ( y1 ,..., ym ) Rm . Это правило называется неявным отображением от n переменных из X в Rm .

Опр. В случае, когда m = 1, система (1) вырождается в одно уравнение Ф( x1 ,..., x1 , y) = 0 , и соответствующее неявное отображение из X в R называется неявной функцией от n переменных.

Опр. Образуем по отображению F (M ) = ( f1 (M ),..., fm (M )) : X → Rm систему уравнений

f ( x ,..., x ) − y			= 0
1 1	n	1	. Если эта система на некотором множестве	m	определяет
. .			. Если эта система на некотором множестве	Y R	определяет

fm ( x1 , ..., xn ) − ym = 0

неявное отображение в множество X , то такое отображение называется правым обратным к F (M ) на множестве Y . При дополнительном условии биективности F (M )

из X на Y это неявное отображение обозначается F −1 и называется обратным к отображению F на множестве Y .

Пр.

Опр. Определитель матрицы Якоби отображения F (M ) = ( f1 (M ),..., fn (M )) :									n
									X → R
	∂( f	,..., f	n	)		∂f	i
называется якобианом. Обозначение	1		n		:= det		i	. (Понятие - Эйлер, 1759.
называется якобианом. Обозначение					:= det			. (Понятие - Эйлер, 1759.
	∂( x1	,..., xn )				∂x j

Обозначение - Донскин, 1854. Термин - Кэли, Сильвестр, 1856).

ТЕОРЕМА (дифференцируемость неявных отображений) 1) Пусть функции Ф1 ,...,Фm :

а) имеют непрерывные частные производные в окрестности точки N

= ( x0

...x0

, y0

...y0 ) ,

∂Φ

∂(Φ ,...Φ

)

б) Φ ( N

) = ... = Φ

( N

) = 0 и в) якобиан

det

( N

) =

( N

) ≠ 0 .

∂y

∂( y ,..., y

)

Тогда: а) на некотором шаре D(M

,ε )

с центром в точке M :=(x0,..., x0) существует не-

прерывно дифференцируемое неявное отображение F(M) = ( f1(M),..., fm (M)) : D(M0 ,ε) →R

б) частные производные

∂fi

в точках М( x ,..., x ) D(M

,ε ) находятся из решения

∂x j

СЛАУ, в которой N = ( x1 , ..., xn ,

f1 ( M ), ...,

f m ( M )) ,

∂Ф1

( N ) +

∂Ф1

( N )

∂f1

(M ) + ... +

∂Ф1

( N )

∂fm

(M ) = 0

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

j = 1,..., n . (2)

. . .

∂Ф

∂f

∂Ф ∂f

( N ) +

( N )

(M ) + ... +

( N )

(M )

= 0

∂x

∂y

∂x

непрерывно диффе

2) Пусть отображение F (M ) = ( f1 (M ),..., fn (M )) : X → R

X R

∂( f1 ,..., fn )

ренцируемо в окрестности точки М0

и его якобиан в этой точке

(M 0 ) ≠ 0 .

∂( x1 ,..., xn )

Обозначим K0 := F (M 0 ) . Тогда в некоторой окрестности D(K0 ,ε )

точки K0

существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение

F (K ) = ( g1 (K ),..., gn (K ) :

D(K0 ,ε ) → R

и его матрица Якоби является обратной к матрице Якоби исходного отображения:

∂g

∂f

−1

(K ) =

(M )

K := F (M ) .

∂y j

∂x j

Пр.

( x ,..., x )

= 0

m < n ,

Опр. Пусть в системе уравнений

(3)

Ψm ( x1 ,..., xn ) = 0

а) функции Ψ1 ,..., Ψm непрерывно дифференцируемы в окрестности точки

N0 = ( x10 ,..., xn0 ) , б) Ψ1 ( N0 ) = ... = Ψm ( N0 ) = 0 , и, например, в) ∂(Ψ1 ,..., Ψ m ) ( N0 ) ≠ 0 . Тогда по

∂( x1 ,...xm )

предыдущей теореме в некоторой окрестности D		(M	0	,ε ) точки M	0	:= ( x0		,..., x0 )
	n−m		0		0		m+1	n
существует непрерывно дифференцируемое неявное отображение
F ( xm+1 ,..., xn ) = F (M ) = ( f1 (M ),..., fm (M )) :						m	.
F ( xm+1 ,..., xn ) = F (M ) = ( f1 (M ),..., fm (M )) :			Dn−m (M 0 ,ε ) → R				.
График этого отображения
n	: ( xm+1 ,..., xn ) Dn−m (M 0 ,ε )} называется
F = {( xm+1 ,..., xn , f1 ( xm+1 ,..., xn ),..., fm ( xm+1 ,..., xn )) R	: ( xm+1 ,..., xn ) Dn−m (M 0 ,ε )} называется

(n − m) - мерным непрерывно дифференцируемым многообразием в окрестности точки N0 = ( x10 ,..., xn0 ) , определяемым системой уравнений (3).

Опр. Пусть функция f (M ) определена в окрестности точки M 0 ( x10 ,...xn0 ) , M 0 и переменная точка M ( x1 ,..., xn ) удовлетворяют системе уравнений связи (3), то есть M 0 , M находятся на (n − m) -мерным многообразии F , определяемом системой (3) в

. Говорят, что f (M )

имеет в точке М0

условный локальный максимум (минимум),

если ε > 0

M D(M 0 ,ε ) ∩ F

f (M ) ≤ f (M 0 ) ( f (M ) ≥ f (M 0 )) .

АЛГОРИТМ (нахождения условного экстремума методом Лагранжа)

1) (необходимое условие) Образуем функцию Лагранжа

Ф( x1 , ..., xn , λ1 , ..., λm ) := f ( x1 , ..., xn ) + ∑ λk Ψ k ( x1 , ..., xn ) ,

k =1

где переменные λ1 ,..., λm

называются множителями Лагранжа. Если

условный экстремум достигается в точке M

( x0

,..., x0 ) , то λ 0

,..., λ 0

Φ′x ( N

0 ) = 0

. . .

имеют место равенства

Φ′

( N

) = 0

(4)

Φ′

( N

) = 0

λ1

. . .

Φ′

( N

) = 0

λm

где N

:= ( x0

,..., x0

, λ 0 ,..., λ 0 ) .

2) (достаточное условие) Пусть N

:= ( x0 ,..., x0 , λ 0 ,..., λ 0 )

удовлетворяет системе

уравнений (4) и, например,

∂ ( Ψ 1 , ..., Ψ m )

≠ 0 . Тогда СЛАУ

( M

)

∂ ( x1 , ...x m )

∂Ψ1

)dx + ... +

∂Ψ1

)dx

= 0

∂x

. . .

∂Ψ m

(M 0 )dx1 + ... +

(M 0 )dxn = 0

∂x

разрешима относительно дифференциалов dx1 ,..., dxm . Образуем квадратичную форму

n n	∂	2	Φ
∑∑				( N0 )dxi dx j и подставим в нее эти решения dx1 ,..., dxm . Полученную

i=1 j =1	∂xi ∂x j

n n

квадратичную форму ∑ ∑ aij dxi dx j следует исследовать на определенность.

i = m +1 j =m +1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия

Опр. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производные этой функции. Опр. Дифференциальное уравнением, в котором независимых переменных более одной (одна), называется дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП ), соответственно обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Пр.
Опр. Дифференциальным уравнением				n -ого порядка называется ОДУ, в котором
самый высокий порядок производной неизвестной функции равен n .
Опр.	ОДУ	вида y( n) = f ( x, y,..., y( n−1) )		называется	уравнением, разрешенным
относительно		старшей	производной y( n ) . ОДУ вида		F ( x, y, y' ,...y ( n) ) = 0 называется
уравнением общего вида. Здесь f , F - известные функции.
ЗАМЕЧАНИЕ		В терминах ОДУ формулируются законы, по которым развиваются
или связываются между собой процессы.
Пр.
Опр.	Решением ОДУ		n -ого порядка	на интервале	(a, b) называется n раз

дифференцируемая на (a, b) функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство на (a, b) . График решения ОДУ называется интегральной кривой.

Пр.1 y′ = f ( x) . Если F ( x) – первообразная функции f ( x) на (a, b) , то согласно определению неопределенного интеграла множество решений этого ОДУ есть однопараметрическое семейство { F ( x) + C} , C R . Пара чисел ( x0 , y0 ) , где x0 (a, b), y0 R, выделяют из этого семейства решений одно со свойством y( x0 ) = y0 .

Пр. 2 Применяя два раза аналогичное рассуждение к дифференциальному уравнению

y′′ = 2 ,

получим общее решение в виде двухпараметрического семейства функций

y( x) = x 2 + C x + C

Произвольная

тройка

чисел

( x , y , y ), x (a, b), y , y R , также

определяет единственное решение этого уравнения со свойством

y( x0 ) = y0 ,

′

= y1 .

y ( x0 )

КПР 1

Для ОДУ

y′ =

не существует решения с

условием

y(0) = y0 ,

так как по

определению такое решение должно иметь производную в точке x0 = 0 .

КПР 2

Для ОДУ yy′ = xy

с условием y( x0 ) = 0 имеем два решения в окрестности точки

x ≠ 0 : y = 0, y =

( x2 − x

2 ) .

Приведенные примеры мотивируют следующие определения.

Опр. Пусть дано ОДУ

n − ого порядка и числа x0 , y0 , y1 ,..., yn−1 .

Задача нахождения

решения

ОДУ

окрестности

точки

x0 ,

которое

удовлетворяет

равенствам

y( x ) = y ,..., y( n−1)

( x ) = y

n−1

называется

задачей

Коши.

Сами

равенства

называются

условиями Коши, а числа x0 , y0 , y1 ,..., yn−1

- данными Коши.

Опр. Общим решением ОДУ n - ого порядка в окрестности точки x0 называется функ ция y = y( x, C1 ,...Cn ) , зависящая от n параметров C1 ,..., Cn , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, получаемое из общего при конкрет

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.2018292.86 Кб84маркетинг2.doc
#
17.12.2018265.22 Кб66маркетинг3.doc
#
19.03.201627.34 Кб178Марксистская философия.docx
#
10.11.20194.13 Mб14математика - Опорный конспект лекций 1,2 семес...doc
#
19.05.20152.27 Mб28Математика .docx
#
19.05.2015575.67 Кб26Математика конс.2 семестр.pdf
#
19.05.2015613.41 Кб21математика конспект.pdf
#
27.09.201991.19 Кб5Математика ответы.docx
#
23.09.201945.52 Кб1Математика экзамен.docx
#
19.08.2019574.98 Кб18математикаТВ 3 _Менеджмент+ГК.doc
#
19.05.20156.58 Mб29Математический анализ.doc