Основная теорема о вычетах

Пусть функция f(z) аналитична на контуре и внутри, за исключением конечного числа особых точек. Тогда:

По т. Коши для замкнутого контура:

Вычеты:

1.a – устранимая особая точка:

3.Существенно особая точка:

2.Полюса:

1) а– простой полюс:

2) а– двукратный полюс:

3) а–m-кратный полюс

Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам

аналитична в верхней полуплоскости

и на самой прямой – наR() за исключением конечного числа особых точек,

Лемма Жордана

Д.

Т.

Пусть ф. аналитична в верхней полуплоскости и на действительной прямой за исключением конечного числа особых точек в верхней полуплоскости.

В равенстве (*) перейти к

Пример:

Мероморфные функции.

- мероморфна вD, еслианалитична вDза исключением полюсов

Т1.

Пустьмероморфна вD

z=a–полюс или ноль

имеет простой полюс ва

Д.

1) - полюс кратности т.

- аналитическое слагаемое

2) - нуль порядкаn

- аналитическое слагаемое

Порядок мероморфной функции.

Опр.

Порядок в точкеравенr, где:

1. r=-m, если-m-кратный полюс;

2. r=n, если- нуль порядкаn;

3. r=0, если- не полюс и не ноль.

Т2. О логарифмическом вычете.

Вычет логарифмической производной в т. равен порядку ф. в этой точке:

Д.

1) - полюс

2) - ноль

3) - не полюс, не ноль

- аналитична в

Т3. Принцип аргумента.

N– количество нулей

P– количество полюсов

N-P – разность нулей полюсов

N-P– количество оборотоввокруг нуля

Т4. (Руше)

Пусть ф. ианалитична внутриLи наL

, если

имеют одинаковое количество нулей внутри областиL

Д.

На L:

- число нулей

- число нулей

Мероморфные функции

F(z) – мероморфна вD, еслиf(z) аналитична вDза исключением полюсовz_1, …,z_k

Рисунки

Т1. пусть f(z) мероморфна вD,z_o=a–полюс или нуль имеет простой полюс вa(логарифмическая производнаяf(z)).

Док-во:

1. z=a- полюс кратностиm

2. z=a– нуль порядкаn

f(z)=

Порядок мероморфной функции

Порядок f(z) в точкеaравенr, где 1)r= -m, еслиa-m– кратный полюс

2)r=n, если а – нуль порядкаn

3)r= 0, если а не полюс и не нуль

Теорема2 (о логарифмическом вычите)

Вычит логарифмической производной в точке а равен порядка функции в этой точке.

Док-во:

1. a– полюс

2. а – нуль

3. а – не полюс и не нуль

- аналитична вU_a

Т3 (принцип аргумента)

Т4 (Руше)

f(z) (z) аналитична внутриLи наL

> f(z)+ (z) имеют одинаковое количество нулей внутриL

Док-во:

На L:f(z)

N– число нулейf(z)

N₁– число нулейf(z)+ (z)

Пример:

Найти сколько нулей-?

на

на

z⁴-3z+1=0 – имеет один нуль

операционное исчисление

f(t) принадлежит классу оригиналов

F(p)принадлежит классу изображений

1. 2.

Изменение задачи в класс изображений

ОИ

решение в О ИО решение в И

f(t) оригинал, если

1)f(t) t<0

2) f(t) – кусочно непрерывная –это функция которая может иметь разрывы только 1-го рода. На каждом конечном отрезке конечное число разрывов.

3)

S_o=min{S}S_o- показатель роста

- изображение

F(p)=L(f(t) (p)

F(p)- комплексная функция

p=x+iy

Аналитична при x>S₀

F(p) определ. приx>S₀ т.е.Rep>S₀

Рисунок

Свойства

1.

.

2.Линейность

L(c₁f₁+c₂f₂)=c₁L(f₁)+c₂L(f₂)

3.точка единственности

непрерывны

Рисунок

Рисунок

Т. Подобия

F(t)

Док-во:

dt=u

Т. смещения

Док-во:

Т. (диф. изображения)

Док-во:

Т. (диф.оригинала)

Док-во: