11.2 Вопросы для самопроверки

1. Что называют «контролем»?

2. В каком виде выражается результат контроля?

3. Какая связь между контролем и измеренийем?

4. Что представляет собой результат контроля, выраженный по шкале:

а) порядка; б) интервалов; в) отношений?

5. Когда может применяться и в чем заключается выборочный контроль?

6. Что представляет собой выборка?

7. Какая выборка является репрезентативной?

8. Какие ошибки возможны в результате выборочного контроля?

9. Как связаны условные вероятности правильных и ошибочных решений при выборочном контроле?

10. Какому закону распределения вероятностей подчиняется и как определяется вероятность появления бракованных изделий в выборке при контроле: а) ыборки с возвратом; б) выборки без возврата?

11. Как определяются числовые характеристики для доли бракованных изделий в выборке: а) с возвратом; б) без возврата?

12. Как определить необходимый объем выборки: а) с возвратом; б) без возврата?

13. Что определяет кумулятивная функция вероятностей бракованных изделий в выборке?

14. Как рассчитать кумулятивную функцию вероятностей бракованных изделий для выборки: а) с возвратом; б) без возврата?

15. Для чего применяются контрольные карты?

16. Каких видов бывают контрольные карты расположения и какую информацию они дают?

17. По каким характеристикам могут строитья контрольные карты разброса?

18. Какими преимуществами обладают контрольные карты для количественных данных?

19. Какие требования предъявляются к выборкам при построении карт Шухарта?

20. Какие границы контролируемых хапрактеристик наносятся на карты Шухарта?

21. В какой форме может производиться управление процессом?

22. Какие выводы можно сделать по контрольной карте размахов?

23. Что можно определить по контрольной карте средних?

24. Как можно оценить возможности процесса изготовления?

25. Какой контроль называется приемочным?

26. Что представляет собой оперативная характеристика контроля?

27. Какие требования являются исходными для построения

28. В чем заключаются отличия усиленного и ослабленного выборочного контроля от нормального?

29. Каковы условия перехода к усиленному и ослабленному контролю от нормального и наоборот?

30. Что такое «альтернативный признак контроля»?

31. Как оценить возможность применения контрольных карт?

32. Приведите алгоритмы построения карты иR-карты.

33. Как определить верорятности выхода контролируемого параметра за границы поля допуска?

11.3 Примеры решения задач

Задача 11.3.1. Определите объём выборки, чтобы обнаружить отношение действительного значения дисперсии контролируемого параметра в партии изделий к нормируемому значению, равное 2.2, если ошибка первого рода α=0,03, ошибка второго рода β=0,01.

Решение.

Пусть используется одностороннее ограничение и необходимо выявить случаи, когда значение дисперсии в партии превышает заданную величину (рисунок 11.3).

Выразим квантиль t_1-α для распределения p(x₀):

t_1-α = , (11.33)

где n – объём выборки;

– центр распределенияp(x₀);

σ – СКО в партии изделий.

P(x₀) – плотность распределения вероятностей в партии изделий;

P(x₁) – плотность распределения вероятностей в выборке;

K – пороговое значение.

Рисунок 11.3 – Плотности распределения контролируемого параметра в партии и выборке изделий

Выразим квантиль t_1-β для распределения p(x₁):

t_1-β = , (11.34)

где - центр распределенияp(x₁).

Из рисунка 11.3 видно, что расхождение центров распределений можно выразить через квантили разброса параметра:

(11.35)

Подставим выражения для квантилей:

(11.36)

Отсюда объём выборки: (11.37)

Отношение по условию задачи как ограничение разброса параметра.

Определяем значение квантилей. Значение функции Лапласа для вероятности (1-α):

Φ(1-α)=(1-α) - 0.5=0,47, т.к. критерий односторонний.

Для вероятности (1-β) значение функции Лапласа:

Φ(1-β)=(1-β) - 0.5=0,49.

По приложению Б (таблица 1) определяем значения квантилей, как аргументов функции Лапласа:

t_1-α ≈ 1.89

t_1- ≈ -2.33 (знак ˝-˝, т.к. квантиль t_1-β определён для отклонений в сторону значений меньших ).

Рассчитываем объём выборки изделий:

n = 2.2·= 39,17848 ≈ 40 (изд.)

Задача 11.3.2. Определите вероятность появления x бракованных изделий в выборке с возвратом, если объём выборки 40, а вероятность бракованных изделий в партии P=0,04.

Решение.

Вероятность появления x бракованных изделий в выборке объёмом n при контроле с возвратом подчиняется биномиальному закону распределения и определяется по формуле (11.3).

Вычислим вероятность отсутствия брака в выборке, x = 0:

P₄₀(0) = = 1·1·0,195366151 = 0,195366151

По соотношению, связывающему две последующих вероятности (11.9), для x=1:

P₄₀(1) = P(0)·= 0.195366151·=0.325610251

По соотношению (11.9) получаем вероятности появления последующего количества бракованных изделий и рассчитываем кумулятивные вероятности (11.8) до тех пор, пока вероятность появления x бракованных изделий окажется пренебрежимо малой, а кумулятивная вероятность приблизится к 1.

Результаты расчетов представлены в таблице 11.1.

Таблица 11.1 – Вероятность появления бракованных изделий в выборке

Число бракованных изделийx	Вероятность P40(x)	Кумулятивная вероятность F40(x)
0	0,195366151	0,195366151
1	0,325610251	0,520976402
2	0,264558328	0,78553473
3	0,139628006	0,925162736
4	0,053814961	0,978977697
5	0,016144488	0,995122185
6	0,003924007	0,999046192
7	0,000794144	0,999840336
8	0,000136493	0,999976829
9	0,000020221	0,99999705
10	0,000002611	0,999999661
11	0,000000296	0,999999957

Задача 11.3.3. Определите, чему равны риск поставщика и риск потребителя, если AQL = 0,01, LQ = 0,03, и план выборочного контроля следующий:

для партии из 500 изделий взять выборку объёма 180 и принять партию, если число дефектных изделий не больше 3, в противном случае партию отклонить.

Решение.

При P₀ = AQL = 0,01 качество партии считается хорошим, то есть при количестве брака

500·0,03 = 15 (шт.).

При контроле выборки без возврата вероятность появления x бракованных изделий подчиняется гипергеометрическому распределению и определяется по формуле (11.10).

Кумулятивная вероятность появления в выборке до 3 бракованных изделий определяет вероятность правильного решения о принятии партии. Эта вероятность равна:

=

==

=0,106163729 + 0,02365053 + 0,41472205 + 0,9113853 = 0,41139517.

Риск поставшика соответствует ошибке I рода α:

α = 1 - F_180,500(3) = 1 – 0,41139517 = 0,58860483 ≈ 0,6.

Риск потребителя – ошибка второго рода β соответствует вероятности принятия фактически негодной партии, то есть когда в партии содержится 15 бракованных изделий.

F_180;500(3)==

==

=0,001096707 + 0,009676828 + 0,039495331 + 0,098909303 = 0,149178169 ≈ 0,149

β ≈ 0,149

Задача 11.3.4. Определите оперативную характеристику контроля выборки с возвратом для условий договора поставщика с заказчиком:

- риск изготовителя α = 0,03;

- риск потребителя β = 0,1;

- приёмочный контроль качества AQL = 0,04;

- браковочный уровень дефектности LQ = 0,3

Решение.

Оперативная характеристика контроля (OXK) определяет объём выборки и приёмочное число c.

Рассчитываем минимальный объём выборки n, исходя из условия появления брака, содержащегося в партии: P(0) = (1-P_б)ⁿ ≤ β, (11.38)

где P_б = LQ = 0,3.

P(0) = (1-0,3)⁸ = 0,0823543 < 0,1. Следовательно, n = 8.

Приёмочное число «c» определяем из условия максимально допустимого числа бракованных изделий в выборке, не снижая вероятность правильной приёмки (1-α).

Рассчитываем вероятность появления x бракованных изделий в выборке установленного объёма n = 8 по формуле (11.4):

P_n(x) = , (11.39)

где P_n = AQL = 0,04.

Для каждого значения x рассчитываем кумулятивную вероятность (11.8), увеличивая с каждым шагом значение x на 1 до тех пор, пока выполнится неравенство: F(x) ≥ 1-α (11.40)

Значение x, для которого выполнилось неравенство (11.40), является приёмочным числом c.

P₈(0) = (1-0,04)⁸ = 0,721389579

P₈(1) = 0,04(1-0,04)⁷ = 0,240463193

F(1) = P(0) + P₈(1) = 0,721389579 + 0,240463193 = 0,961852772.

Значение F(1) удовлетворяет условию (11.40). Следовательно, установлены объём выборки n = 8 и приёмочное число c = 1.