10.1.3. Корреляция

Корреляционная функция R является мерой связи между рассеиванием значений У_j при фиксированных значениях х_j при заданном шаге изменения. Если связи нет, то корреляционная функция для пары значений независимой переменной х_t и х_к определяется по формуле:

(10.21)

или

(10.22)

Если х_t=x, то R(х_t ,x_r) = D(R), (10.23)

т.е. корреляционная функция при одном значении независимой переменной обращается в дисперсию. Корреляционная функция для одной пары значений независимых переменных называется корреляционным моментом.

Безразмерной формой корреляционной функции является нормированная корреляционная функция:

. (10.24)

Для х_t = x_r r(х_t , x_r)=1. Для одной пары независимых переменных нормированная корреляционная функция называется коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции можно рассчитать по формулам:

(10.25)

или

. (10.26)

Преимущество формулы (10.26) состоит в том, что не нужно округлять промежуточные результаты вплоть до извлечения корня и окончательного деления.

По корреляционной и нормированной корреляционной функциям, как и по математическому ожиданию и дисперсии, можно оценить стационарность процесса, что даёт возможность управлять им. Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия должны быть постоянны и не зависеть от значений аргументов х, а корреляционная функция может зависеть только от величины изменения х, т.е. разности (х_t-x_r).

Но строго стационарных процессов в природе не бывает. Установить, является ли процесс приближенно стационарным, можно с помощью критериев.

G- критерий (приложение Л) оценивает отношение:

<_табл. (10.27)

где D_max – наибольшее значение дисперсии У_j при фиксированном значении х_J;

D_j – дисперсии Уj при всех п исследуемых значениях аргументов х_j.

Критерий Пирсона ² определяет, существенны ли колебания нормированной корреляционной функции:

, (10.28)

где п – общее число пар значений, для которых рассчитана нормированная корреляционная функция r;

_q ² – табличное значение ² для уровня значимости q и числа степеней свободы f = n-3 (приложение Е).

Если выполняются неравенства (10.27), (10.28), то процесс считается приближенно стационарным.

10.2 Вопросы для самопроверки

1. Каким методом можно смоделировать значение выходнеого параметра при заданном значении входного воздействия?

2. Что определяет корреляция?

3. Какую форму имеет однофакторная линейная регрессия?

4. Как получить параметры линейной модели, используя: а) метод средних; б) метод наименьших квадратов?

5.В чем преимущества и недостатки метода средних и МНК?

6. Как использовать МНК при нелинейной зависимости?

7. Что служит мерой качества линейной аппроксимации или интерполяции?

8. Как определить доверительные интервалы: а) для параметров полученной линейной модели; б) для дисперсии линейной модели; в) для линии регрессии?

9. Какой вид имеет уравнение множественной линейной регрессии?

10. По какой методике можно определить коэффициенты в уравнении множественной регрессии?

11. Что характеризует корреляционная функция?

12. Что называется корреляционным моментом?

13. Что представляет собой нормированная корреляционная функция?

14. Каковы характеристики стационарного процесса?

15. Как можно определить, является ли процесс близким к стационарному?