12В-Моделирование эл.поля

Моделирование электрического поля на ЭВМ

Цель работы:: 1) познакомиться с графическими методами представления электрических полей; 2) моделирование на ЭВМ структуры электрического поля, созданного системой точечных зарядов.

Введение

Вокруг заряженных тел существует электрическое поле, обнаружить которое можно с помощью пробного заряда q₀ (положительный единичный точечный заряд).

На внесенный в электрическое поле пробный заряд действует сила F, отношение которой к величине пробного заряда q₀ равна напряженности электрического поля:

. (1)

Так, например, если электрическое поле в вакууме создано точечным зарядом Q, то величина силы, действующей на пробный заряд, определяется законом Кулона:

, (2)

где ε₀ – электрическая постоянная; r – расстояние между точечными зарядами.

Подставив (2) в (1), получим напряженность поля точечного заряда на расстоянии r от заряда Q:

. (3)

Для наглядного представления структуры электрического поля пользуются силовыми линиями. Силовой линией (линией напряженности электрического поля) называют линию, в каждой точке которой вектор напряженности направлен по касательной. Это означает, что силовые линии поля, созданного положитель-ным точечным зарядом, направлены по радиусу от заряда,

- 3 -

а силовые линии поля, созданного отрицательным точечным зарядом, – к заряду. Силовые линии любого электрического поля не пересекаются и не прерываются в пространстве.

Чтобы при помощи силовых линий изображать не только направление, но и величину напряженности поля, условились на графиках поля проводить силовые линии с определенной густотой, а именно так, чтобы число силовых линий, проходящих через единичную поверхность, перпендикулярную к силовым линиям, было пропорционально величине напряженности поля в данном месте.

Второй важной характеристикой поля является потенциал, определяемый отношением потенциальной энергии W_p пробного заряда q₀ в электрическом поле, к величине этого заряда:

. (4)

Потенциал поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r, определяется формулой:

. (5)

Если в электрическом поле выделить две точки, в которых

пробный заряд обладает потенциальными энергиями W_p1 и W_p2, то разность потенциалов между указанными точками, в соответствии с (4), равна:

, (6)

где разность потенциальных энергий равна работе электрического поля по перемещению пробного заряда между указанными точками поля. Разность потенциалов иначе называют напряжением.

Из (5) следует, что вокруг точечного заряда Q можно провести сферу радиусом r, имеющую потенциал φ. Поверхности одинакового потенциала называют эквипотенциальными. Изобра-жая на чертеже эквипотенциальные поверхности через одинаковое значение потенциала, например 1В, получают их семейство.

Проекция вектора напряженности E_l электрического поля

- 4 -

на произвольное направление r равна и противоположна по знаку градиенту потенциала:

. (7)

Из формулы (7) следует, что проекция вектора напряженности на эквипотенциальную поверхность равна нулю. Это означает, что в любой точке поля силовые линии перпендикулярны эквипотен-циальной поверхности.

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то напряженность и потенциал в некоторой точке поля

определяются в соответствии с принципом суперпозиции:

, (8)

где Ē_i и φ_i – вектор напряженности и потенциал электрического поля, созданного в искомой точке точечным зарядом q_i.

► Важное теоретическое и практическое значение имеет рассмо-трение структуры электрического поля, созданного электричес-ким диполем.

Электрическим диполем называется система, состоящая из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных друг от друга на расстоянии l (плечо диполя). Плечо диполя - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному (рис. 1).

Произведение заряда на плечо диполя называется электрическим моментом или дипольным моментом:

. (9)

► Вычислим потенциал поля в точке, положение которой относительно зарядов диполя определяется координатами х и у.

Учитывая расположение координатных осей на дисплее (см. рис.1), расстояния от зарядов диполя и его центра С до искомой точки О соответственно равны:

- 5 -

Рис.1

В соответствии с принципом суперпозиции полей, потенциал поля диполя в точке О равен:

. (11)

Напряженность поля в точке О определяют по теореме косинусов:

(12)

- 6 -

Модули векторов Е₊ и Е_- определяют по формуле (3), а из рисунка

. (13)

► Вычислим потенциал поля в точке, положение которой относительно центра диполя определяется полярными координа-тами r и α (см. рис.1).

Если l << r, можно считать с большой степенью точности, что расстояния от положительного и отрицательного зарядов диполя до искомой точки соответственно равны:

. (14)

Потенциал поля диполя в рассматриваемой точке, после подстановки (14) в (11), равен

. (15)

Вторым слагаемым в знаменателе пренебрегаем ввиду малости l по сравнению с r.

Взяв производные потенциала по полярным координатам, определим проекции вектора напряженности поля диполя соответственно на направление r и rda:

; (16)

. (17)

Согласно теоремы Пифагора модуль вектора напряженности в точке О с учетом (16) и (17) равен:

. (18)

Структура силовых линий поля, созданного системой то-чечных зарядов, сложна и может быть воспроизведена с помощью численных методов, а их изображение на плоскости выведено на экран монитора. Кроме того, средствами ЭВМ возможна имита-ция натурного эксперимента, состоящего в том, что в электричес-

- 7 -

кое поле помещают жидкий диэлектрик, в котором находятся во взвешенном состоянии мелкие частички. В электрическом поле на них индуцируются разноименные заряды и частички устанавли-ваются вдоль силовых линий. Условимся изображать эти частички в виде стрелок одинаковой длины (диполи или изоклины), кото-рые направлены от отрицательного индуцированного заряда к положительному. При моделировании электрического поля на экране монитора эти изоклины будут указывать направления силовых линий и их конфигурацию.

На рис. 2 приведены эквипотенциальные поверхности поля, созданного системой четырех точечных зарядов (плоскость куби-ческой решетки типа NaCl), а вместо силовых линий – ориентация изоклинов в этом поле.

Рис. 2

- 8 -

Подготовка к работе

1. Открыть папку «Electric» и файл «Эл.поле».

2. В появившемся активном окне «Модель электрического поля» (рис.2) познакомьтесь с функциональными клавишами, располо-женными на панели управления.

3. В режиме «Добавление зарядов» устанавливают на демонстра-ционной плоскости точечные заряды, положение которых отобра-

х у	1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7								50 100 150 200 250 300 350
	50 100 150 200 250 300 350
Рис. 3

жается координатами ОХ и ОУ.

Демонстрационная плоскость имеет вид квад-рата с одинаковой ценой деления координатных осей ОХ и ОУ (рис.3).

4. Величину заряда и его знак устанавливают в окошках «Величина заря-да Q», «Знак заряда».

5. Положение зарядов на плоскости в последствии можно изменять с помо-щью указателя мыши, предварительно устано-вив режим «Перемеще-ние зарядов».

6. Линии одинаковой на-пряженности получают после нажатия клавиши «Е по модулю».

7. Конфигурацию силовых линий, эквипотенциальных поверх-ностей и изоклинов (см. рис.1 и 2) получают после нажатия кла-виш: «Изоклины силовых линий», «Силовые линии», «Эквипо-тенциальные поверхности». Если на демонстрационной плоскос-ти преобладают отрицательные заряды, то устанавливают флажок в окошке «Поменять знаки зарядов при построении силовых линий».

8. Предусмотрена динамическая прорисовка силовых линий и их изоклинов при перемещении зарядов по плоскости. Для этого

- 9 -

необходимо установить флажки в окошках «Динамически рисо-вать силовые линии», «Динамически рисовать изоклины».

9. Клавишей «Очистить изображение» стирают изображение эквипотенциальных поверхностей, силовых линий и их изоклинов, а клавишей «Удалить заряды» - очищают всю демонстрационную плоскость.

Проведение эксперимента

Задание1. Моделирование электрических полей простейших

заряженных устройств (объектов)

1. В режиме «Добавление зарядов» установить на демонстра-ционной плоскости положительный точечный заряд. Получите

эквипотенциальные поверхности, силовые линии и их изоклины. Удалить заряд.

2. Повторить пункт 1 для отрицательного точечного заряда.

3. Для моделирования электрического поля какого-либо объекта необходимо: 1) с помощью точечных зарядов воспроизвести форму моделируемого объекта (плоскость кубической решетки

(см. рис.2), заряженная плоскость или нить, полусфера, острие,

сечение двухэлектродной лампы, сечение электронной линзы и др.); 2) снять флажок в окошке «Динамически рисовать силовые линии», перейти в режим «Перемещение зарядов» и откорректи-ровать положение зарядов на плоскости.

3. Нажатием клавиши «Е по модулю» получить линии с одина-ковой напряженностью. Очистить изображение линий.

4. Последовательно нажимая клавиши «Эквипотенциальные поверхности», «Силовые линии», «Изоклины силовых линий» рассмотреть конфигурации эквипотенциальных поверхностей, силовых линий и их направление. Сделать вывод.

При моделировании поля устройств, состоящих из большого числа точечных зарядов, режим «Силовые линии» не включать.

Задание 2. Электрическое поле диполя

1. По заданию преподавателя записать величину зарядов диполя, их координаты, а также координаты точек, в которых необходимо определить напряженность и потенциал поля диполя.

- 10 -

Пример: величина зарядов диполя q₊=q_-=0,5 Кл; координаты поло-жительного и отрицательного зарядов равны q₊(Х1,У6), q_-(Х3,У6); координаты точек (Х3,У5), (Х5,У3), (Х7,У1).

2. По формуле (10) вычислить расстояния от зарядов диполя до выбранных точек, а по формулам (11) и (12) – потенциал и напря-женность поля диполя в этих точках.¹

3. Для этих же точек вычислить потенциал и напряженность поля диполя по формулам (15) и (18). Положение выбранных точек до центра диполя определяют по формулам (10) и (13).¹

4. Определить погрешности, допускаемые при вычислениях по-тенциала и напряженности поля диполя, по формулам: ε_φ=φ₂/φ₁ и ε_Е=Е₂/Е₁, где φ₁ и Е₁ – потенциал и напряженность поля, вычис-ленные по формулам (11) и (12), а φ₂ и Е₂ – по формулам (15) и (18).

5. В одну из выбранных точек поля диполя установите заряд q₀, произвольной величины и знака. Вычислите силу, действующую на этот заряд со стороны поля диполя, и его потенциальную энер-гию по формулам (1) и (4).

6. На рисунке указать в искомой точке ориентации вектора напряженности поля и эквипотенциальной поверхности для двух вариантов: 1) добавленный заряд q₀ структуру поля диполя не изменил; 2) добавленный заряд q₀ структуру поля диполя изменил.

7. По выполненному заданию сделать вывод.

Контрольные вопросы

1. Приведите физический смысл силовой и энергетической характе-ристик электрического поля. Какая связь между ними?

2. Запишите формулы напряженности и потенциала поля точечного заряда.

3. Каков смысл принципа суперпозиции электрических полей?

4. Что понимают под силовой линией и эквипотенциальной поверх-ностью? Как они сориентированы относительно друг друга?

5. Что называется диполем и как вычислить потенциал и напряженность поля диполя?

¹ Вычисления в пунктах 2, 3 производить в приложениях «Maple 7» или «Excel».

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Лабораторная работа № 12В

Моделирование электрического поля на ЭВМ

Методические указания к виртуальному

эксперименту

Ростов-на-Дону

2006

Составители: В.В. Волков, А.П. Кудря, А.Я. Шполянский

УДК 530.1

Моделирование электрического поля на ЭВМ. Метод. указания / .Ростов-на-Дону. Издательский центр ДГТУ 2006. 12с

Указания содержат краткое изложение основных характе-ристик электростатического поля, описание виртуального экспе-римента, позволяющего моделировать на плоскости структуру электрического поля, созданного системой точечных зарядов.

Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов при подготовке и проведении учебного виртуального эксперимента.

Печатается по решению методической комиссии факультета

«Автоматизация и информатика»

Научный редактор проф., д.т.н. В.С.Кунаков

© Издательский центр ДГТУ, 2006