Свойства линейных операций над векторами.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и выполнено .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено.

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору, не меняет последнего:.

4. Для любого вектора векторявляется противоположным, т.е..

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел ии любого вектора, выполнено.

6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .

8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

3. Понятие линейной зависимости векторов.

Определение 9. Пусть дана система векторов ₁, ₂, …,_n и совокупность вещественных чисел . Тогда выражение виданазываетсялинейной комбинацией векторов, а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов, т.е. в виде:, то говорят, что векторразложен по этим векторам.

Определение 10. Векторы ,, …,называютсялинейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулюи таких, что

.

Определение 11. Векторы называютсялинейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Определение 14. Базисом в пространстве называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.

Теорема 1 (о разложении вектора по базису в пространстве R³)

Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой векторраскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чисел такой, что:

_.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

1. Если хотя бы один из векторов есть нуль вектор, то всевекторов линейно зависимы.

2. Если среди векторов какие-либовекторов линейно зависимы, то всевекторов линейно зависимы.

3. Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

4. Пусть - два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним:. Такое разложение единственно.

5. Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарных вектора пространства линейно независимы.

6. Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

7. Система векторов ₁, ₂, …,_n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.

4. Понятие о проекциях.

Пусть дан вектори ось,- угол между вектороми положительным направлением оси.и - основания перпендикуляров, опущенных из точек исоответственно (см. рис. 6).

Определение 15. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси , взятая со знаком плюс, если векторобразует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.

Теорема 2. Проекция вектора на осьравна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: .

Следствие. При умножении вектора на некоторое числоего проекция умножается на это же число:.

Теорема 3 (о проекции суммы). Проекция суммы некоторого числа векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов:,.