19

Vektor

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Оглавление.

1. Понятие вектора.

2. Линейные операции над векторами.

3. Понятие линейной зависимости векторов.

4. Понятие о проекциях.

5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

5.а. Скалярное произведение векторов.

5.б. Векторное произведение.

5.в. Смешанное произведение трех векторов.

1. Понятие вектора

Все величины бывают скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая вполне определяется своим численным значением.

Примеры физических скалярных величин: -температура; - масса; - плотность; - длина; - площадь и т.д.

Вектором или векторной величиной называется величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и определенным направлением в рассматриваемом пространстве.

Векторы - сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля.

Определение 1. Направленный отрезок (или, и что то же, упорядоченная пара точек - начало и конец отрезка) называется вектором.

Геометрическое изображение вектора:

Обозначение вектора: , либо либо жирной строчной буквой . Направление на отрезке обозначается стрелкой.

Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной и обозначается: , .

Нулевой вектор – это вектор у которого начало и конец совпадают. Он обозначается и его модуль равен нулю, а направление неопределенно.

Определение 2. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают: .

Определение 3. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 4. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.

Из этого определения следует, что мы будем изучать свободные векторы. То есть вектор параллельно самому себе, не изменяя направления, можно переносить в любую точку пространства.

Векторы являются предметом векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом арифметики или алгебры.

2. Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.

Определение 5. Под произведением вектора на число понимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. вектор коллинеарен вектору ( );

3. векторы и направлены одинаково, если и противоположно, если .

Произведение вектора на число обозначается .

Замечание 1. Пусть , рассмотрим вектор , тогда . Векторы и коллинеарные и одинаково направлены, тогда -единичный вектор, сонаправленный с . Вектор - орт вектора , и обозначается ⁰, т.е. и или .

Замечание 2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству . Тогда и , если и одинаково направлены и , если они противоположно направлены.

О пределение 6. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( см. рис. 1), построенного на этих векторах как на сторонах (правило параллелограмма). Правило треугольника:

начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы (см. рис. 2).

Ч тобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника см. рис. 3).

Если точка совпадает с точкой , то сумма векторов равна нулю.

Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор , модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно (см. рис. 4).

Определение 8. Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор , который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .

Правило построения разности векторов и :

П риводим векторы и к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора ( ) в конец уменьшаемого вектора ( см. рис. 5).

Свойства линейных операций над векторами.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и выполнено .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено .

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору , не меняет последнего: .

4. Для любого вектора вектор является противоположным, т.е. .

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел и и любого вектора , выполнено .

6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .

8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

3. Понятие линейной зависимости векторов.

Определение 9. Пусть дана система векторов ₁, ₂, …, _n и совокупность вещественных чисел . Тогда выражение вида называется линейной комбинацией векторов, а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов , т.е. в виде: , то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Определение 10. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулю и таких, что

.

Определение 11. Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Определение 14. Базисом в пространстве называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.

Теорема 1 (о разложении вектора по базису в пространстве R³)

Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой вектор раскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чисел такой, что:

_.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

1. Если хотя бы один из векторов есть нуль вектор, то все векторов линейно зависимы.

2. Если среди векторов какие-либо векторов линейно зависимы, то все векторов линейно зависимы.

3. Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

4. Пусть - два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними вектор раскладывается по ним: . Такое разложение единственно.

5. Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарных вектора пространства линейно независимы.

6. Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

7. Система векторов ₁, ₂, …, _n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.