Решение уравнений средствами ms Excel

Разнообразные проблемы механики, физики, техники сводятся к вопросу о нахождении корней многочлена, причем, иногда достаточно высоких степеней. Точные решения известны для квадратных уравнений, кубических (формула Кардано) и уравнений 4-й степени (метод Феррари). Для уравнений выше 5-й степени не существует формул для выражения корней многочлена. Однако в технических приложениях обычно достаточно знать лишь приближенные значения корней с некоторой заранее заданной точностью. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

В общем виде уравнение n-й степени выглядит следующим образом:

,

где n − некоторое положительное число, − произвольные числа, причем старший коэффициентдолжен быть не равен нулю.

Выражение называется многочленом (полиномом)n − й степени от неизвестного x.

Если при некотором x = x₀ выполняется равенство , тоx₀ называется корнем многочлена .

Приведем некоторые рекомендации по отысканию действительных корней многочленов с действительными коэффициентами:

• Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью Х и только они;

• Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) или меньше этого числа на четное число;

• Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на четное число;

• Если многочлен не имеет отрицательных коэффициентов, то многочлен не имеет положительных корней;

• Отрезоклокализации всех корней многочлена определяется по выражению:

Для границы a формула справедлива если

Решение отыскания корней многочлена с помощью электронной таблицы MS Excel предполагает следующие шаги:

1. Провести табулирование заданного многочлена на интервале .

2. Выявить интервалы локализации каждого корня многочлена (перемена знака в значении ). При необходимости, следует использовать табуляцию многочлена, неоднократно уменьшая шаг табуляции для более точных оценок.

3. После локализации корней произвести их уточнение.

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

Пример

Найти все действительные корни уравнения:

f(x) = Х⁵ + 2Х⁴ + 5Х³ + 8Х² − 7Х – 3 = 0,

где а₅ = 1, а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 8, а₁ = −7, а₀ = −3.

1. Число сохраненных знаков = 4 (в уравнение отрицательных корней 4 или 2)

2. Число перемены знаков = 1 (в уравнение один положительный корень)

3. Определяем отрезок [a; b], на котором существуют корни уравнения..

4. Выполняем приближенное табулирование функции на отрезке [−9; 9] с шагом 1.

5. Определяем, что функция меняет знак на отрезке [−3; 1].

6. Производим табулирование функции на отрезке [−3; 1] с шагом 0,1.

7. Строим график функции.

8. Используя, таблицу и график функции определяем положение корней уравнения (на рис. 1. отрезки локализации корней выделены желтым цветом).

Рис. 1. Локализация корней уравнения

Из таблицы и графика видно, что многочлен f(x) содержит 3 корня, находящихся в границах отрезков: 1-й корень ,; 2-й корень,; 3 - й корень,.