2.2.4. Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

Модель имеет следующий вид:

, (2.4.1)

(2.4.2)

где есть заданный уровень возможного дохода.

Данная задача может быть решена с помощью метода множителей Лагранжа.

Сделаем некоторые преобразования.

Пусть , где- модальные значения.

Тогда задача (2.4.1)-(2.4.2) принимает следующий вид:

, (2.4.3)

(2.4.4)

Будем решать задачу (2.4.3)-(2.4.4) с помощью метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

.

Запишем в функции Лагранжа дисперсию в явном виде. В результате получаем:

.

Далее возьмем производные по всем , пои по. Получим следующие соотношения:

,

.

Присоединяя ограничение (2.4.2) мы приходим к системе уравнений:

где ,.

Запишем полученные уравнения в матричной форме с использованием следующих обозначений:

Тогда наша система примет следующий вид:

Предполагаем, что ковариационная матрица С невырождена (), следовательно, существует обратная матрица.

Тогда: .

Подставляя это решение во второе и третье уравнения системы, получим уравнения для нахождения и.

Итак, получили:

Решим эту систему с помощью метода Крамера. Имеем:

,

.

Далее подставив ив выражение для, получаем:

.

2.3. Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.

Обобщим двумерный портфель на случай нечетких случайных данных.

Доли капитала, вкладываемые в первый и второй активы обозначим ,соответственно.

Будем рассматривать случай, когда доходности активов представляются нечеткими случайными величинами. При этом доходность портфеля будет также являться нечеткой случайной величиной:

,

а ожидаемая доходность портфеля будет нечеткой величиной:

,

где .

Рассматриваем случай, когда , где,,- ожидаемые значения случайных величин,,.

Не нарушая общности, можно считать, что ,.

Исследуем множество инвестиционных возможностей , гдеесть риск портфеля:

.

В соответствии с результатами, полученными в первой главе:

Ввиду того, что параметр есть нечеткая величина, множество инвестиционных возможностей можно представить системой:

(2.5.1)

Здесь есть параметр со степенью возможности, представляющий.

Основываясь на [94] можно показать, что система (2.5.1) эквивалента следующей системе:

где ,,есть границы–уровневых множеств соответствующих нечетких величин.

Из соотношений (3.2.1)–(3.2.4) следует, что риск портфеля в конечном итоге определен на множестве значений доходности портфеля (замкнутом интервале) при каждом конечном фиксированном . Таким образом,иудовлетворяет (3.2.1.), (3.2.2).

В результате мы можем констатировать, что множество инвестиционных возможностей есть «множественнозначная» кривая. При обозначениях , в соответствии с [3], . Ясно, что эта кривая может быть построена с использованием «граничных» кривых, которые определяются посредством решения систем вида:

(3.3)

Решая систему (3.3) относительно переменных ,в первом и во втором предельных случаях, после подстановки решений в (3.2.3), получаем две «граничные» параболы.

.

Оптимальные портфели могут быть получены путем решения уравнения.

Имеем:

,

,

.

В пределе при можно считать, что. И мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу [85] с параметрами:– вектор ожидаемых доходностей активов;– ковариационная матрица,.

На рисунке, приводимом ниже (рис.2.), представлено множество инвестиционных возможностей.

Рис.2. Множество инвестиционных возможностей