- •1. Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа.
- •1.1. Определение нечеткой случайной величины.
- •1.2. Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины.
- •1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.
- •1.4. Взвешенная сумма нечетких случайных величин.
- •1.5. Выводы по первой главе диссертации.
- •2. Постановки задач портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных и методы их решения.
- •2.1. Доходность портфеля в условиях нечетких случайных данных.
- •2.2. Модели портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных.
- •2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.
- •2.2.3. Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.
- •Теорема доказана.
- •2.2.4. Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.
- •2.3. Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.
- •2.3. Выводы по второй главе диссертации.
2.2. Модели портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных.
Перейдем к построению моделей портфельного анализа, позволяющих учитывать один из критериев принятия решений – ожидаемую доходность портфеля как нечеткую величину. Для этого нам необходимо привлечь соответствующие принципы принятия решения в условиях нечетких данных [94] и сформировать модели принятия решений.
2.2.1. Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска.
В соответствии с классическим подходом модель должна быть записана в следующей форме:
(2.1.1)
(2.1.2)
В данной модели есть четкое бинарное отношение:,есть приемлемый уровень риска, на который готов пойти инвестор.
Однако представленная модель является недостаточно корректной, так как ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина (2.1).
В связи с этим требуется введение дополнительного принципа принятия решений, уже в условиях нечетких данных [94].
Одним из них является переход к модальным значениям соответствующих нечетких величин. Его применение приводит к следующей модели:
, (2.1.3)
(2.1.4)
где обозначает переход к модальным значениям нечетких величин.
Согласно результатам, представленными в первой главе диссертации,
.
Если нечеткие случайные величины при фиксированномпринадлежат классу
, то
. Пусть , т.е.. Тогда, принимая во внимание доказанную в первой главе лемму 1.4.2, мы получаем приследующую модель, эквивалентную (2.1.1), (2.1.2),
, (2.1.5)
(2.1.6)
Полученная задача (2.1.5)-(2.1.6) есть задача квадратичного программирования. Она может быть решена стандартными методами [8].
2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.
Следующий подход к решению задачи связан с ее рассмотрением в рамках модели нечеткого целевого программирования [59]. Его применение приводит к следующей модели:
(2.2.1)
(2.2.2)
где ,есть четкое бинарное отношение:,есть нечеткий уровень притязаний критерия, приемлемый для инвестора.
Рассмотрим сначала случай ,в модели критерия задачи. Тогда модель (2.2.1)-(2.2.2) имеет эквивалентную, которая может быть записана в форме
(2.2.3)
(2.2.4)
Прежде чем доказать теорему, позволяющую построить детерминированный эквивалент модели (2.2.3)-(2.2.4), приведем необходимую для ее доказательства лемму [59].
Лемма 2.2.1. Пусть где-минисвязные нечеткие величины, определенные на возможностном пространстве,. Тогда:.
Теперь мы готовы сформулировать и доказать следующую теорему.
Теорема 2.2.1. Пусть в задаче (2.2.3)-(2.2.4) возможностные параметры ,являются минисвязанными, тогда задача (2.2.3)-(2.2.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:
, (2.2.5)
(2.2.6)
где -дополнительная переменная.
Доказательство.
На основании определения меры возможности преобразуем целевую функцию следующим образом:
.
С учетом полученной формулы и леммы 2.2.1 исходная задача эквивалентна следующей задаче математического программирования.
.
Путем введения дополнительной переменной [59] модель критерия сводится к эквивалентной модели - задаче математического программирования.
С учетом модели ограничений (2.2.4) мы получаем утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Полученная модель допускает сведение к сепарабельной задаче при некоторых дополнительных условиях.
Действительно. Преобразуем ограничение .
Для этого воспользуемся следующим равенством:
.
Введем дополнительные переменные:.
Тогда наше ограничение примет следующий вид: .
Это есть сепарабельное ограничение.
В результате наша задача (2.2.5)-(2.2.6) сводится к задаче математического программирования следующего вида.
, (2.2.7)
(2.2.8)
Таким образом, мы получили детерминированный аналог для задачи максимизации возможности достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.
Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:
Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то
.
В результате наша задача (2.2.7)-(2.2.8) сводится к следующей сепарабельной задаче.
, (2.2.9)
(2.2.10)
Уточним полученную модель (2.2.9)-(2.2.10) для некоторых классов распределений.
Пусть ,
. Тогда модель (2.2.9)-(2.2.10) может быть преобразована к следующей эквивалентной модели:
, (2.2.11)
(2.2.12)
При ее построении мы учитываем вид распределений и то, что получающееся при этом неравенство
эквивалентно двум неравенствам
а неравенство
эквивалентно следующим неравенствам
Рассмотрим модель (2.2.1)-(2.2.2) в случае меры необходимости, . Получаем модель следующего вида.
(2.2.13)
(2.2.14)
Докажем соответствующую теорему.
Теорема 2.2.2. Пусть в задаче (2.2.13)-(2.2.14) возможностные параметры ,являются минисвязанными, тогда задача (2.2.13)-(2.2.14) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:
, (2.2.15)
(2.2.16)
Доказательство.
Имеем.
.
Следовательно модель (2.2.13) эквивалентна
.
Если распределения инепрерывны [91], то
и эквивалентная модель критерия имеет вид
.
Таким образом, модель (2.2.13)-(2.2.14) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог.
,
Теорема доказана.
Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:
Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то
.
Тогда наша задача будет иметь следующий вид.
, (2.2.17)
(2.2.18)