7. Содержание практических занятий, их объем в часах.
Тема 1. Линейная алгебра
План:
1.Определители: вычисления, свойства. Теорема Лапласа.
2.Матрицы, действия над ними.
3.Обратная матрица.
4.Ранг матрицы. Методы нахождение ранга матриц.
5.Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
6. Правила Крамера, теорема Кронекера-Капелли. Матричные уравнения.
Задания: [5]: 1.1.36. – 1.1.87.; 1.2.59. – 1.2.88.; 1.3.17 –1.3.28.; 1.4.37 –1.4.45.; 2.1.32 –2.1.37.; 2.3.26 – 2.3.32.
Примеры:
а) Вычислить определитель:
б) Решить систему
линейных уравнений
Решение: Используем формулы Крамера.
,
значит, система имеет единственное
решение.
;
;
Ответ:
,
Литература: [1], [5].
Тема 2. Векторная алгебра
План:
1.Векторы. Действия над векторами. Скалярное произведения векторов, его свойства.
2.Векторное произведения векторов, его свойства.
3.Смешанное произведения векторов, его свойства.
4.Вычисление площадей и объемов с применением векторов.
Задания: [5]: 3.1.31., 3.1.41., 3.2.16., 3.2.19., 3.3.15., 3.3.16., 3.4.16.
Примеры:
а)
Найти длину векторного произведения
векторов
,
если
Решение:
По условию требуется найти длину
вектора (векторного произведения). По
соответствующей формуле:
Ответ:
б)
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
По
условию требуется найти площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
.
Площадь данного параллелограмма численно
равна длине векторного произведения:
Ответ:
Литература: [2], [5].
Тема 3. Аналитическая геометрия
План:
1.Полярная система координат. Прямая на плоскости: основные уравнения и задачи.
2. Прямая в пространстве: основные уравнения и задачи. Плоскость. Основные уравнения.
3.Взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.
4.Кривые второго порядка.
Задания: [5]: 4.1.12., 4.1.26., 4.1.53., 4.2.24, 4.2.71., 4.3.10., 4.3.38., 4.3.112.
Примеры:
а)
Выяснить взаимное расположение прямой,
заданной точкой
и
направляющим вектором
,
и плоскости
.
Решение:
Итак, вектор нормали плоскости:
.
Вычислим
скалярное
произведение
вектора нормали плоскости и направляющего
вектора прямой:
,
значит, прямая либо параллельна плоскости,
либо лежит в ней.
Подставим
координаты точки
в
уравнение плоскости:
Получено
верное равенство, следовательно, точка
лежит
в данной плоскости. Разумеется, и любая
точка прямой тоже будет принадлежать
плоскости.
Ответ: прямая лежит в плоскости
б)
Установить вид кривой
.
Решение:
Уравнение
может
описывать гиперболу: коэффициенты
,
причем
имеют
разные знаки:
.
Выделим
полные квадраты по переменным
.
Очевидно, что для переменной
получим
квадрат суммы, а для переменной
квадрат
разности. Воспользуемся уже известным
приемом (с. 21), проследите за преобразованиями.
Итак,
получили уравнение
.
Это уравнение описывает гиперболу,
центр симметрии которой находится в
точке
.
Литература: [2], [5].
Тема 4. Введение в анализ
План:
1.Множество. Операция над множествами. Функции и их свойства.
2.Числовые последовательности. Предел последовательности. Их свойства. Замечательные пределы.
3. Предел функции в точке, на бесконечности.
4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Задания: [5]: 6.3.29. – 6.3.33., 6.4.76 – 6.4.89., 6.5.22.
Примеры:
а)
Вычислить
Разделим
числитель и знаменатель на
б) Вычислить предел
Укажем
неопределенность:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Литература: [3], [5].