Тема 4. Введение в анализ

План:

1.Множество. Операция над множествами. Функции и их свойства. Числовые последовательности. Предел последовательности. Их свойства. Замечательные пределы.

Множество состоит из элементов. Элементы должны быть различимы. Это означает, что для любых двух предметов, входящих в данное множество, мы долж­ны иметь возможность сказать различны они или одинаковы. Элементы должны быть определенны. Условие определенности означает, что если дано какое-то мно­жество и некоторый предмет, то можно сказать является ли данный предмет эле­ментом рассматриваемого множества или нет.

Запись х  М означает, что элемент х принадлежит множеству М, х М -х не принадлежит М. Множество можно задать двумя способами: перечислением или описанием.

Если М состоит из элементов х₁, х_2: ..., то пишут М = {x₁,x₂,...}

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется член последовательности такой, что все члены последовательности , следующие за ним, отстоят от меньше, чем на .

Определение. Число называется пределом последовательности , если в любом открытом промежутке, содержащем число , содержатся все члены последовательности , начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел пос(сходится) к ,

ледовательности , то .

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

2. Предел функции в точке, на бесконечности. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке x=х₀ (или при), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (1) значении аргумента x, отличных от х₀, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А. Обозначается . Функция может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при . Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого ^ Е>0 можно указать такое положительное число N, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполнятся неравенство .

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Следствие: Значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих тлчках.

О п р е д е л е н и е 1. Точкой разрыва первого рода функции y = f (x) называется такая точка x₀, в которой функция имеет левый и правый пределы, неравные между собой (рис. 69).

Рис. 69

(4.32)

О п р е д е л е н и е 2. Точка x₀ (рис. 70) называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности:

и .                                  (4.33)

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

О п р е д е л е н и е 3. Точка x₀ (рис. 71) называется точкой устранимого разрыва y = f (x), если функция в точке неопределена, но односторонние пределы существуют и равны между собой:

, но .                  (4.34)

Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x₀ значением ее предела А:

Литература: [3], [5], [6].