Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

План:

1.Производная функции от одной переменной. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Определение 1. Производной функции в точке х_о называется предел отношения приращения функции у в этой точке к приращению аргумента х при произвольном стремлении х к нулю.

Производная функции в точке х_о обозначается

(1)

Таким образом, производная функции в точкех_о является значением функции в точкех_о.

Определение 2. Функция , имеющая конечную производную в точкех_о, называется дифференцируемой в этой точке.

Основные правила дифференцирования

.

(2)

Пример.

.	(3)
.	(4)
.	(5)
.	(6)

2.Дифференциал функции. Его приложения. Производные высших порядков.

Определение 5 Дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал независимой переменной и обозначается: ,,

(7)

Свойства дифференциала

Пусть ,дифференцируемы поx. Тогда имеет место:

;	(8)
;	(9)
;	(10)
, .	(11)

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Тогда если существует ее производная, то она есть функция отх. Может случиться, что эта функция также имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной или производной второго порядка от функции и обозначаетсяили:, где– первая производная или производная первого порядка.

Вообще, производной -го порядка от функции называется первая производная от производной-го порядка данной функции.

3. Исследование функции с помощью производной.

Общая схема исследования функции и построение ее графика:

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование функции на периодичность и на четность.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат и определение интервалов знакопостоянства функции.

4. Нахождение интервалов непрерывности и точек разрыва. Установление характера разрыва.

5. Нахождение асимптот графика функции.

6. Исследование функции на экстремум.

7. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика.

8. Составление таблицы значений функции для некоторых значений ее аргумента и построение графика функции.

Литература: [3], [5], [6].

Тема 6. Интегральное исчисление функции одной переменной

План:

1.Неопределенный интеграл и его свойства. Методы вычисления. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных, тригонометрических функций.

Определение. 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. . Определение.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Простейшие правила интегрирования.

();

;

1.Интегрирование подстановкой

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.