Мальханов - Общая Физика
.pdf§ 4 Вектор электрической индукции
В системе единиц «СИ» произведение ε0E называется электрическим смещением вакуума и обозначается
D0 = ε0 E, [D] = Ф В/м м = Кл/м2.
Если обобщить это понятие на случай произвольной среды, а не только вакуума, то
D = ε0E + P,
где D – вектор электрической индукции, или иначе - электрическое смещение. Эта физическая величина содержит в себе информацию о реакции среды на приложение электрического поля (далее в данном разделе предполагается, что к диэлектрику приложено электрическое поле и исследуется вопрос о том, какое поле образуется внутри диэлектрика). В диэлектрике суммируется действие внешнего и внутреннего полей (точнее говоря происходит отклик диэлектрика своими внутренними ресурсами на приложенное внешнее поле), результирующее поле терминологически называется электрическим смещением.
Если диэлектрик изотропный, то есть у него во всех направлениях поляризация одинакова (существуют и анизотропные диэлектрики), то для него по всему объему диэлектрика можно записать следующее выражение
P = α ε0 E,
которое справедливо в не слишком сильных полях. Здесь α - скалярная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью и
D = ε0E + α ε0 E = (1 + α)ε0E = ε ε0E, ε = 1 + α.
Если диэлектрик анизотропный, то возникнут составляющие электрического смещения Dx, Dy, Dz , зависящие от каждой компоненты Ex, Ey, Ez , приложенного извне электрического поля.
D = {Dx, Dy, Dz}.
Dx = ε xx ε0Ex + ε xy ε0Ey + ε xz ε0Ez
Dy = ε yx ε0Ex + ε yy ε0Ey + ε yz ε0Ez
250
Dz = ε zx ε0Ex + ε zy ε0Ey + ε zz ε0Ez.
D0x |
|
D0y |
|
Doz |
ε ε (E) εlm (параметр двойного индекса).
В данном случае диэлектрическая проницаемость – тензор второго ранга (напомним, что вектор – тензор первого ранга, скаляр – нулевого). Компоненты тензора второго ранга запишем в виде таблицы
|
ε 11 |
ε 12 |
ε 13 |
|
ε lm = |
ε 21 ε 22 ε 23 |
, x → 1, y → 2, z → 3 |
||
|
ε 31 |
ε 32 |
ε 33 |
|
D i = ε 0 Σ ε ik E k
k
k, i = (1,2,3 или x,y,z).
В записи дважды встречающийся индекс означает суммирование по нему
Dm = ε 0 ε i k El .
Резюме. В анизотропных диэлектриках D и E не коллинеарные вектора.
Емкость плоского конденсатора.
Рассмотрим конденсатор, прибор, способный накапливать электрический
заряд.
ϕ1 |
ϕ2 |
U = ϕ1 - ϕ2 |
U |
S
C0, q
ϕ2 = 0 |
0 |
d |
x |
d
251
Пусть конденсатор – плоский, причем d<<√ S. d – расстояние между пластинами, S – площадь пластин, σ - поверхностная плотность зарядов, с которой равномерно заряжены пластины конденсатора (напомним, что Ε = σ/ε 0). Найдем разность потенциалов U.
U = ϕ1 - ϕ2 = ∫ E dx = σ/ε 0 ∫ dx = σ d/ε0, σ = q/S U = qd/Sε0,
C0 = q/U = ε0σ/d.
Теперь проведем мысленный эксперимент – заполним пространство между пластинами диэлектриком и будем заряжать их до такого же заряда q как и без диэлектрика. Измерим разность потенциалов. Мы выясним, что разность потенциалов другой по сравнению с конденсатором без диэлектрика. Поскольку q остается неизменной (по нашему произволу) тогда
Q = C1U1 = C0U C1/C0 = U/U1 = E /E1 = ε.
Здесь ε есть та самая относительная диэлектрическая проницаемость (относительно вакуума), которая была введена нами ранее. В данном представлении ε измеряется экспериментально как отношение напряжений. В таблицу сведены сильно отличающиеся диэлектрические проницаемости разных веществ.
вещество |
вакуум |
воздух |
стекло |
вода |
Титанат бария |
|
|
|
|
|
Ba Ti O2 |
|
|
|
|
|
|
ε |
1 |
1.000594 |
5-10 |
81 |
6000-7000 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом емкость конденсатора в произвольном случае равна
C = C1 = C0 ε = ε ε0 S/d.
Замечание: поведение Ba Ti O2 с температурой
252
ε
~ в 10 раз
θК 120 |
Т°С |
Вещества с таким температурным поведением называют сегнетоэлектриками. Они представляются состоящими из доменов – частей с одинаково направленными диполями (дипольными моментами). Слева от максимума происходит перестройка доменов – объединение мелких в один большой домен с одинаково направленными дипольными моментами.
Справа от максимума происходит разрушение всей доменной структуры по закону ε ~ 1/T , который называется законом Кюри – Вейсса. Максимальное значение ε приблизительно соответствует температуре, называемой температурой Кюри - θК. При обратном ходе температуры ε проходит все стадии прямого пути с характерными для подобных процессов гистерезисными явлениями. В итоге ε возвращается к исходному состоянию.
§5 Энергия электрического поля
Вначале коснемся энергии, совершаемой при перемещении точечных электрических зарядов.
При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу А.
253
Системе электрических зарядов можно приписать энергию взаимодействия, за счет убыли которой совершается работа.
A = - ∆W, ϕ = - A/q = W/q, - A = - ϕq = ∆W, - ∆W = -(W2 – W1) = A21 = = - A12/
Часто работа против сил поля считается положительной, а работа самого поля – отрицательной. Пусть заряд q1 создающий поле точечный, тогда
ϕ = q1/4πε0εr, W = q ϕ = q1 q / 4πε0εr.
Рассмотрим систему большого числа точечных зарядов.
q1
r12
q2
Энергия взаимодействия между 1 и 2 зарядами равна
W12 = q1q2/4πε0r12.
Среду вокруг зарядов предполагаем эквивалентной вакууму с диэлектрической проницаемостью близкой к единице. Энергия взаимодействия между i и j зарядами запишется
W ij = qiqj/4πε0rij.
Если найти энергию взаимодействия между каждой парой зарядов и сложить их все, получим
W= (1/2) Σ qiqj/4πε0rij = Σ qi ϕj/2
по всем парам
254
Коэффициент ½ появляется от того, что каждая пара зарядов в такой сумме просчитана дважды. Представим, что число зарядов возрастает до непрерывного их распределения (так, что становиться возможен континуальный подход).
qi → dqi, dqi = ρi dVi, dϕ = dqi/4πε0r,
ϕ = ∫ ρ dV/4πε0r
(по j – ым объемам)
Если для нахождения потенциалов интегрирование ведется по объемам, содержащим заряды с индексом j , то для самих зарядов интегрирование остается вести по объемам содержащим заряды i .
dW = (1/2) Σ dqi dϕj, Σ → ∫ ,
W = (1/2) ∫ ∫ dqi dϕj = (1/2) ∫ ∫ ρidViρjdVj/4πε0r. (i, j) (i, j)
Интегрирование как по i , так и по j в конечном итоге проводится по одному и тому же объему как суммирование в пределе по каждому элементарному объему всего объема в целом. В итоге получим равенство
W = (1/2) ∫ ρ ϕ dV
V
Это равенство можно истолковать так: потенциальная энергия заряда величины q = ∫ ρ dV равна произведению величины этого заряда на потенциал, создаваемый другими зарядами в той же точке. Вообще говоря, только что была вычислена энергия внутри объема WV . Можно также говорить и об энергии на поверхности
Ws = ∫ σ ϕ dS
S
W = WV + WS.
Заметим, что энергия поверхности как правило много меньше энергии объема. Справедливы также формулы объемной и поверхностной плотности энергии, например
w= dW/dV = ρϕ/2.
255
Выразим энергию электрического поля через его напряженность. В конденсаторе
U = E d, E = σ/εε0 = q/Sεε0 q = Sε ε0 E = S ε ε0 U/d.
W = Uq/2 =( ½) E d S ε ε0 = (S d = V) = εε0 V E2 w = W/V = ε ε0E2/2.
Для произвольного объема В общем случае, если энергия распределена по объему неравномерно, имеем
W = dW/dV, dW = w dV
W = ∫ w dV = ∫ εε0E2 dV/2.
VV
Впроводнике
Поверхность проводника эквипотенциальна, то есть потенциалы точек поверхности проводника все одинаковы.
W = Σ qi ϕj/2 = ϕ/2 Σqi = ϕQ/2.
256
Глава 4 Постоянный электрический ток
§ 1 Сила и плотность электрического тока
Электрическим током называют упорядоченное движение электрических зарядов (электрически заряженных частиц) . Для получения электрического тока необходимо выполнение двух условий одновременно.
1.Наличие свободных электрических зарядов
2.Эти заряды должны находиться в электрическом поле
Как осуществить эти условия ? Возможность приложения электрического поля как правило сводится к проблеме хороших электрических контактов. Свободные электрические заряды есть, например, в металлах, электролитах, ионизованном газе, других твердых и иных телах. Силу электрического тока определим как изменение электрического заряда со временем. Если за равные промежутки времени заряд изменяется на одинаковую величину, то
i = q/t, [i] = Кл/с = А.
А если же нет
i= dq/dt, q = ∫ i(t) dt.
Возможен и другой подход. Прежде, чем охарактеризовать движение зарядов силой тока, введем понятие плотности тока.
Плотность электрического тока равна (численно) величине заряда, проходящего в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно линиям тока
j = q/St.
257
В среде с движущимися упорядоченно зарядами рассмотрим параллелепипед, составленный из линий тока
S = n S, v = l/t
S
S
n
l
Длина такого параллелепипеда l численно равна скорости в единицу времени (скорость – единичная длина или иначе говоря длина в единицу времени) . Тогда число частиц, которые пройдут через площадку S за единицу времени равняется числу частиц, заключенному внутри этого параллелепипеда, а полное же число частиц равно
N = n S v t (v t = l).
n – концентрация частиц (число частиц единичного объема). Полный заряд внутри параллелепипеда равен
q = qe N = qe n S v t .
Отсюда можно найти плотность тока, направление которого совпадает с направлением скорости частиц
j = q/St = qe n v, j = qe n v.
Заметим, что так как
J = i/S, i = q/t j = di /dS, i = ∫ j dS.
S
Интегрирование проводится по всей поверхности, через которую протекает электрический ток.
258
§ 2 Закон Ома
Ом экспериментально установил закон. Сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику прямо пропорциональна разности потенциалов, приложенной к концам этого проводника.
Интегральная форма записи закона Ома.
+ |
i |
_ |
ϕ1 
ϕ2
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1, U = ϕ1 - ϕ2, i ~ U, i = GU = U/R, [G] = Сименс, [R] = Ом.
Дифференциальная форма записи закона Ома.
Рассмотрим отрезок проводника (кусок проволоки). Выразим сопротивление этого куска проволоки через его размеры, считая его электрически однородным.
S l
R l/S, R = ρ l/S = (1/σ) l/S, [ρ] = Ом м, [σ] = (Ом м)-1.
ρ - удельное сопротивление, σ - удельная электрическая проводимость. Приведем сводку удельных сопротивлений металлов и одного сплава при 20°С.
Элемент |
Медь |
Железо |
Серебро |
Константан |
|
|
|
|
(сплав, Cu - 58.8%, Ni – 40%, |
|
|
|
|
Mn – 1.2%) |
|
|
|
|
|
ρ, 10-9 Ом м |
17 |
98 |
16 |
440 |
|
|
|
|
|
Проведем преобразования
259