Основы Теории Цепей

51

Рис.40

Ток в сопротивлении I&R совпадает по фазе с напряжением U& ;

ток в индуктивности I&L отстает напряжения на π2 ;

ток в емкости I&C опережает напряжение на π2 .

Выражение

Y& = g − j(ω1L −ωC) = g − jb

представляет собой комплексную проводимость цепи; g =1/ R − активная

и b −реактивная составляющие проводимости цепи. Уравнение

I& =YU& &

выражает закон Ома в комплексной форме.

Построим векторную диаграмму токов для параллельной RLC-цепи

(рис.41).

52

Рис.41

1

При ωL < ωC цепь имеет индуктивный характер проводимости и пол-

ный ток I& отстает от входного напряжения U& по фазе (рис.41, а).

1

При ωL > ωC цепь имеет емкостный характер проводимости и полный ток I& опережает входное напряжение U& по фазе (рис.41, б).

а б в

Рис.42

Активная составляющая тока I&A = I&R , реактивная составляющая

I&P = I&L + I&C и суммарный ток I& образуют треугольник токов (рис.42, а).

54

Рис.44

Сравнивая кривую мгновенной мощности, изображенную на рис.44 с аналогичными кривыми, полученными для цепей с реактивными элементами (рис.35), можно увидеть, что в отличие от рис.35, площадь, ограниченная положительными ординатами кривой, превышает площадь отрицательных участков. Это свидетельствует о том, что энергия частично расходуется в актив-

ном сопротивлении R, подобно тому, что наблюдается в цепи с сопротивлением (рис.33). Однако одновременно некоторое количество энергии периодически то накапливается в магнитном или электрическом полях реактивного сопротивления X, то возвращается к генератору.

Выражение для мгновенной мощности может быть также представлено в иной форме:

P = ui =Um Imcosωt[cosωt cosϕ +sinωt sinϕ] =

Очевидно, что первое слагаемое является мгновенной скоростью расходования энергии в цепи, т. е. мощностью потребляемой активным сопротивлением.

Второе слагаемое представляет собой мгновенную скорость запасания энергии в магнитном или электрическом поле цепи.

Среднее значение мощности за период, равное активной мощности

56

Реактивная мощность, подводимая к емкости:

где WC max −максимальное значение энергии электрического поля, запасае-

мой емкостью.

В цепи, содержащей индуктивность и емкость реактивная мощность равна

Q =ω(WL max −WC max ).

Величина, равная произведению действующих значений напряжения и то-

ка на зажимах цепи

S =UI ,

называется полной мощностью и измеряется в воль - амперах (ВА). Поскольку

PA =UI cosϕ = S cosϕ , Q =UI sinϕ = S sinϕ,

то, очевидно

S 2 = PA2 +Q2 ;

tgϕ = Q . PA

Энергетический расчет цепи гармонического тока может быть проведен и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следующим приемом.

Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z& под действием комплексной амплитуды напряжения U&m =Ume jψU протекает ток с ком-

плексной амплитудой I&m = Ime jψi .

Найдем произведение из комплексной амплитуды напряжения

U&m =Ume jψU и комплексного числа, сопряженного с комплексной ампли-

*

тудой тока Im = Ime− jψi .

Разделив полученное произведение на два, имеем

57

Таким образом, вещественная часть полученного произведения равна активной мощности PA , а мнимая часть реактивной мощности Q.

На комплексной плоскости соотношение между мощностями может быть представлено в виде треугольника мощностей (рис.45), подобного треугольнику сопротивлений.

Рис.45

Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на на комплексный ток и поделить полученное произведение на два, то получим:

*

Um2I&m = PA − jQ.

Отсюда следует, что активная и реактивная мощности могут быть записаны в виде:

Для комплексов действующих значений напряжения и тока

58

Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия

Рис.46

Амплитуда тока в цепи

Отсюда видно, что первым условием получения максимума PA является

равенство

X H = −Xi .

В этом случае мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки

59

Дифференцируя по RH и приравнивая производную к нулю, получим

второе условие, при выполнении которого активная мощность достигает наибольшего возможного (максимум максиморум) значения:

Отсюда

Ri = RH .

При этом условии активная мощность в нагрузке

Таким образом, условия получения наибольшей мощности в нагрузке могут быть выражены одной формулой

RH + jX H = Ri − jXi .

Если это условие выполняется, то считается, что генератор и нагрузка со-

гласованы.

На рис.47 показана зависимость PA max от отношения RH / Ri .