Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

семенко задания.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

615.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

y				Получили: lim f(x) =
y

3				x!2
				= lim f(x) = f(2) ; ñëå-
				x!2+
2				довательно, в точке x = 2
2				функция непрерывна.
				функция непрерывна.
				Итак, функция f(x) имеет
-2 0	2			Итак, функция f(x) имеет
	2	3	x две точки разрыва: x = 0 -
		3	x две точки разрыва: x = 0 -
-1			точка разрыва первого рода,
			точка разрыва первого рода,
				x = 3 - точка разрыва вто-
			рого рода. График функции
			изображен на рисунке.
			изображен на рисунке.

4. Индивидуальное задание по теме "Вычисление пределов"

Вариант 0

Найдите пределы:

lim

x(x2 + x − 6)

;

x!2

(x − 2)2

√

lim

x + 5 − 3

;

x!4

x − 4

lim

+ x − 2

;

x!1

√3 x − 1

lim

(

x2 + 4x + 3

−

x);

x!+1

√

lim(4

−

x) tg

;

2: lim x2 − 2x − 3 ; x!1 x3 + 6x + 8

4: lim

√x + 1 +

√5x −

√5

;

x!+1

√3

+ √5

()

6:	lim			1			1	;


	x!2+ (x − 2)2 − x2						− 4
8:	lim	sin 5x − sin 2x				;
	x!0			tg 4x
		sin 10x
10:	lim				;
10:	lim		2	2	;
	x!			− x

11: lim arctg(x − 1) ; x!1 x2 − 2x + 1

13:	lim		cos 4x		;
13:	lim				;
	x!+1		x6
15:	lim		ex − 1			;
15:	lim					;
	x!0	√x + 1 − 1
17:	lim(1 + sin x)1=x3 ;
	x!0
19:	lim	2x − 4x		;
	x!0	x2 − x

21:	lim		x( 3 1 + 2=x					−	1);
	x!+1		√					−
23:	lim	ln(1 − sin 2x)					;
	x!0		etg 10x − 1

12:

lim

2 cos x − 1

;

x! =3

3x −

14:

lim

ln(1 + 2x)

;

x!0

16:

lim

e4x − e6x

;

x!0

x2 + 1

18:

lim

;

x!1 (x2 − 2 )

20:

lim

(1 + 5x)10 − 1

;

x!0

22:

lim

ln(2x + 3) − ln(x + 4)

;

x!1

x2 − 1

√

24:

2) 2

lim (cos( 2

−

x))

;

x! 2

25:	lim	cos(xe4x) − cos(xe6x)		;	26:	lim	ln(10 + ex)		;
		x3
	x!0					x!+1 ln(2 + e7x)
		ln(x + e8x)					ln(1 + 6x)
27:	lim		;		28:	lim		:

	x!0 ln(x + e4x)					x! 1 ln(1 + 4x)

Вариант •1

Найдите пределы:

lim

x3 − 7x2 − 18x

;

lim

x2 − 4x +

;

x!9

(√x − 3)(x + 2)

x!3+

(x2 − 2x − 3)(x2

− 9)

x3 + 8

√

x2 + 3

−

lim

;

lim

(

+ 2x

1);

x! 2 √3 x − 6 + 2

x! 1

lim

(2 − x)2 − (2 + x)2

;

(6 + x)2 − (1 − x)2

x!+1

lim

sin 5x

;

x! tg 7x

lim

x2 − 2x − 3

;

x!3

sin(2x − 6)

lim

x3 + x2

;

11:

√

x 0

cos x −

cos x

13:

lim

25x − 2x

;

x!0

15:

lim

3x − 1

2x ;

(3x + 2 )

x!+1

17:

lim (1 + 2 ctg x)tg x;

x! =2

()

lim

x2 − 4 − x − 2

;

x!2

lim

1 − cos x

;

x!0

x sin 2x

2 sin x −

√

10:

lim

;

x! =4

2x − 2

12:

lim

sin x + cos 2x

;

sin x − 1

x! =2

14:

lim

cos7 x − 1

;

x!0

16:

lim

ex 2 − 1

;

x!2 ln(2x − 3)

ln(e4x + 1)

18:

lim

;

x!+1 ln(e3x + 5)

19: lim

x!0

21: lim

x!0

23: lim

x!0

25: lim

x!0

sin 6x
ln(1 + √x sin x)	;

ln(e4x + x) ln(e3x + 5x) ;

ln(x2 + 3x + 1) ln(x2 + x + 1) ;

e2x − 1 (x + 1)7 − 1 ;

20:

lim

4x − 4

;

x!1

√5 x − 1

22:

lim

arctg 3x

;

x!0 ln(1 − 2x)

√7

− 1

24:

lim

1 + 2x

;

x!0

tg 2x

26:

lim

(32x+2 − 9) ln(x + 1)

√

1 − ln cos x − 1

Вариант •2

Найдите пределы:

lim

x3 + 3x2 − 4x

;

x!1+ (x + 2)√x − 1

√

− 3

;

lim

1 − x

x! 8

2 + √3 x

√

− 2

;

lim

4 + x2

x!0

3x2

lim

cos 3x − 1

;

x!0

x tg 2x

lim

arcsin(1 − 2x)

;

x!1=2

4x2 − 1

√

x − 2 − 2

2: lim ; x!6 (x2 − 4x − 12)(x2 − 36)

10 − x − 6√

lim

1 + x2

;

x!+1

3x +

√3 x

lim

x( x2 + 2x

−

x);

x!+1

√

lim

1 − cos 2x + x sin x

;

x!0

sin2 x

10:

lim

sin(x − 3)

;

x!3 x2 − 4x + 3

11: lim sin 5x; x! tg 3x

13: lim ;

x!0 e5x − e3x

15: lim		x2	+ 1 2x2+1

	(x2		− 3 )
x!+1	(x2		− 3 )

17: lim ln(9 − 2x2) ; x!2 sin 2 x

19: lim	ln(4 + e x)	;

x! 1 ln(2 + e 2x)

21: lim ln(x + e3x) ; x!0 ln(x + e4x)

23: lim ln cos 3x; x!0 ln cos 7x

√

25: lim 3 x + 1 − 1 ; x!0 ln(1 + x)

12:

lim

1 − cos 3x

;

x!2 sin2 7x

14: lim(cos(x

−

2)) 1=(x 2)2 ;

x 2

; 16:

lim

e2(x 1) − 1

;

x!1

x2 − 1

√

− 1

;

18:

lim

x2 − x + 1

x!1

ln x

20:

lim

e − ex

;

x! sin 5x − sin 3x

22:

lim

e2x − e3x

;

x!0

24:

lim

(1 + 3x)7 − 1

;

x3 − x

x!0

√7

− 1

26:

lim

1 + tg 4x

x!0

x3 + 3x

Вариант •3

Найдите пределы:

	x2 − 4x + 3			x√
1: lim		;	2: lim		x − 1	;
	x3 − 9x
x!3			x!1+ x2 + 6x − 7

√

lim

5 − x − 1

;

x2 − 16

x!4

lim

(

1) − x);

x!+1

√x(x −

lim

sin x + tg x

;

1 − cos x

x!0

lim

sin 2x

;

n! sin 3x

11:

lim

sin( x)

;

x2 − 1

x!1

− cos 2x

13:

lim

;

x!0

sin2 3x

5x + 3

x+1

15:

lim

;

(

6x − 2 )

x!+1

17:

lim(cos(x

−

3))1=(x 3)2 ;

19:

lim

e2x − e6x

;

x!0

21: lim ln(x + e7x) ; x!0 ln(x + ex)

4: lim	x4 − 12x2 + 32	;
	x − 2
x!2

√

6: lim √ 1 − x ;

x!1 3 x2 − 1

lim

x2 − 5x + 4

;

sin(x − 4)

x!4

√

10:

lim

4 + x − 2

;

x!0

3 arctg x

12:

lim

1 − sin 2x

;

( − 4x)2

x! =4

14:

lim

x2 − 1

2x+5

;

(x2 + 1 )

x!+1

16:

lim

1 − cos x

;

x!0

(e3x − 1)2

18:

lim

ln(1 + e 6x)

;

x! 1 ln(2 + e 3x)

20:

lim

e4x − e6x

;

x!0

22:

lim

ln cos 4x

;

x!0 ln cos 8x

√7

− 1

;

(x + 1)7 − 1

23:

lim

1 + 4x

24: lim

;

ex − 1

x!0

x3 + 3x

x!0

25:

lim

(1 + sin 2x)8 − 1

;

x!0

sin x

26:

lim

(ln(2x + 4) − ln(x + 3)) sin(3x + 3)

x! 1

(x2 + 3x + 2)(√x + 5 − 2)

Вариант •4

Найдите пределы:

lim

x3 + x2 − 6x

;

x!2+

√x − 2(x + 3)

√3

− √3

;

lim

x2 + 1

x3 + 2x − 3

x!+1

x + √4x2 + 1

lim

x3 − x2 − x + 1

;

x!1

x3 − 3x + 2

lim

2x(1 − cos 3x)

;

x!0

sin3 2x

lim

sin(x − 5)

;

x!5 x2 − 6x + 5

11:

lim

1 − cos3 x

;

x!0 arctg(4x2)

√

lim

x + 4 − 3

;

x!5 x2 − 2x − 15

√

lim

9 − x −

7 + x

;

x2 − 1

x!1

lim

x2 + 8

x! 2 (x3 + 8 − x + 2 ) ;

lim

1 − x2

;

x!1

sin x

10:

lim

1 + cos x

;

x!1

tg2 x

12:

lim

;

− e5x

x!0 ex

100

13: lim(cos(x − 4)) 1=(x 4)2 ;

x!4

15: lim(3 − x)1=(x 2);

x!2

17: lim e3x − e5x ;

x!0 x3

19: lim ln cos 5x; x!0 ln cos 9x

21: lim ln(x + e5x) ; x!0 ln(x + e2x)

23: lim	ln (1 − 2x) − sin x	;
	e x − 1
x!0

5x + 1

x+1

14:

lim

;

4x + 1 )

x!+1 (

√

− 1

;

16:

lim

x2 − x + 1

x!1

ln x

18:

lim

ln(3 + e 2x)

;

x! 1 ln(2 + e x)

20:

lim

arcsin 2x

;

x!0 ln(e − x) − 1

22:

lim

(1 + 2x)8 − 1

;

x!0

sin x

lim

ln(1 + x)

;

24:

x!0

√x + 1 − 1

	√5 1 + tg 3x		1		2x + 1		ln(2 x)
			− ;	26: x!1 (x2		+ x + 1 )	x+1
x!0		tg x	− ;	26: x!1 (x2		+ x + 1 )	:
25: lim				lim

Вариант •5

Найдите пределы:

x3 − 3x2 − 4x

1: lim √ ; x!4 ( x − 2)(x + 1)

3: lim	(6 − x)2 − (6 + x)2	;
	(6 + x)2 − (1 − x)2
x!+1

2: lim	x2 − x − 2		;
	(x2 − 6x + 8)(x2
x!2+		− 4)

√√

4: lim ( n2 + 2n − 1 − n2 + 3);

n!1

101

√3

+ 2

;

lim

x − 6

x! 2

x3 + 8

lim

x sin 2x

;

x!0

1 − cos x

sin x

− sin

lim

;

x! =2

−

√

11:

lim

cos x −

cos x

;

x!0

13:

lim

tg 3x

;

tg x

x =2

7x + 2

(x+1)=2

15:

lim

;

(7x

− 3 )

x!+1

17:

lim(cos(x

−

5))1=(x 5)2 ;

x 5

√

19:

lim

ln(1 +

x sin x)

;

x!0

arcsin 3x

ln(x + e4x)

21:

lim

;

x!0 ln(x + e2x)

23:

lim

ln cos 6x

;

ln cos x

x!0

()

lim

x − 2 − x2 − 4

;

x!2

lim

sin 5x

;

x! tg 3x

10:

lim

x2 − 7x + 6

;

x!6

sin(x − 6)

12:

lim

e4x − ex

;

x!0

14:

lim

(1 + sin 2x)7 − 1

;

x2 + 5x

x!0

16:

lim

2x 1 − 1

;

x!1 ln(2x − 1)

ln(5 + e3x)

18:

lim

;

x!+1 ln(1 + e4x)

20:

lim

e5x − e4x

;

x!0

22:

lim

ln(1 − 2x)

;

x!0

4 arctg 3x

√5

− 1

;

24:

lim

1 + 3x

x!0

sin x

102

	(x + 1)9 − 1			√		− 1
25: lim		;	26: lim	√	1 − ln cos x		:
					1 − ln cos x
	ex − 1			(32x+3 − 27) ln(x + 1)
x!0	ex − 1		x!0	(32x+3 − 27) ln(x + 1)
			Вариант •6

Найдите пределы:

lim

x2 − 3x − 10

;

x! 2 x3 + 3x2 + 2x

√

− 2

;

lim

4 + x

√

3 − x −

()

lim

;

1 − x − 1

− x3

x!1

lim

cos x − cos3 x

;

x!0

x sin 2x

lim

sin(x − 7)

;

x!7 x2 − 8x + 7

11:

lim

sin( x)

;

x!1

x2 − 1

13:

lim

1 − sin3 x

;

(2x − )2

x! =2

15:

lim

4x + 1

1 2x

;

(

4x − 3 )

x!+1


2:	lim		x2 − 4x		;
2:	lim	2		√	;
	x 4+	2		√
	!	(x	− x − 12)( x − 2)
		5 + x − √3
4:	lim	5 + x − √3		8x3 + 2x − 1	;
	x!1		3x + 5

√√

6: lim	2n + 1 − n3 + 5	;

n!+1	√4n3 + 2n + 1

√√

lim (

x2 + 4x

−

2x);

x +

10:

lim

cos x − cos

;

x −

12:

lim

;

− e2x

x!0 e4x

√3

− 1

14:

lim

1 + tg 7x

;

x!0

x2 − 2x

√

16:

lim

2 − x − 1

;

x!1

ln x

103

17: lim(cos(x	−	6)) 1=(x 6)2 ; 18: lim			2x − 16	;
17: lim(cos(x		6)) 1=(x 6)2 ; 18: lim			sin x	;
x 6		x	!	4	sin x
!			!

19:	x lim			ln(7 + e x)			;
				ln(5 + e 3x)
	! 1
21:	lim	ln(x + e4x)			;

	x!0 ln(x + e3x)
23:	lim	(1 + 2x)7 − 1				;
	x!0			x2 + 5x
		√
25:	lim		x + 1 − 1		;

		ln(1 + x)
	x!0

Найдите пределы:

20: lim e3x − ex ;

x!0 x3

22: lim ln cos 7x; x!0 ln cos 2x

24: lim e2x2 − cos 3x; x!0 ln(1 − 2x2)

26: x!2	(3	x	− 8 · 3	x	2	)		x 4		:
							x2
lim									5x+6

Вариант •7

x3 − 7x2 + 6

√

− 2

lim

;

lim

2 − x

;

x!1

x2 + x − 2

x! 2 x3 − 12x − 16

lim

2x + 1

3x+2

;

lim

(1 + 2x)3 − 8x3

;

( x − 1 )

(1 + 2x)2 + 4x2

x!+1

√

− 5

;

9 + 2x

lim

( x2

−

3x + 1

−

x);

lim

x!+1

√

x!8

√3 x − 2

lim

sin( x)

;

lim

cos( x=2)

;

x − 1

√

1 − x

104

lim

x2 − 9x + 8

;

10: lim

(1 + sin 6x)9 − 1

;

sin(x − 8)

x +

√

11:

lim

e3x − e4x

;

12: lim(cos(x

−

7))1=(x 7)2 ;

13:	lim			1 − cos3 2x						;
13:	lim			x arctg 2x						;
	x!0			x arctg 2x
15:	lim(1 + x2)ctg2 x;
	x!0
17:		lim					x2 − 3x + 6
17:		lim			(x2 + 5x + 1
	x!+1				(x2 + 5x + 1
19:	lim			e6x − e3x					;
	x!0					x3
21:	lim			ln(x + e8x)						;
21:	lim									;
	x!0 ln(x + e2x)
23:	lim			ln cos 8x				;
23:	lim							;
	x!0 ln cos 3x
25:	lim			ex 1 − 1				;
	x	!	1	√
		!				x − 1

14:

lim

sin2 x − tg2 x

;

(x − )2

16:

lim

ln x − ln 2

;

x!2

x − 2

)

x=2

ln(2 + e4x)

; 18:

lim

;

x!+1 ln(3 + e2x)

20:

lim

ln (x + 1) − sin2 x

;

x!0

e x − 1

22:

lim

1 − cos 10x

;

x!0

ex2 − 1

√3

− 1

;

24:

lim

1 + 7x

x!0

x2 − 2x

x2 − 4

26:

lim

2x+1

(x2 − x − 1 )

x!3

105

Вариант •8

Найдите пределы:

1:	lim	x2 − 7x + 6					;
1:	lim						;
	x!1 (x2 − 1)(√x − 1)
	! 1			√
			x + x +		√
			x + x +		√	x
	lim		√x + 1
3:	lim	√					;
3:	x +	√					;

2:	lim	x2		− 2x − 15		;

			√
	x 5			x + 4 − 3
	!
			√
4:	lim			1	− x − 3	;


	x! 8			2	+ √3 x

7x + 2 4x+5

lim ( x2

+ 2x + 1

lim

−

√x

+ x + 3); 6:

8x −

1 )

;

x!1

√

x!+1 (

lim

cos x

;

lim

1 − sin(x=2)

;

x =2

−

lim

sin(x − 9)

;

10:

lim

1 − cos 2x

;

x!9 x2 − 10x + 9

x!0 cos 7x − cos 3x

11:

lim

sin (x − 3)

;

12:

lim

;

x!3 x2 − 4x + 3

x!0 e5x − e3x

√

13:

lim(cos(x

−

8)) 1=(x 8)2 ;

14:

lim

ln(1 + x sin x)

;

x 8

x 0

arctg 2x

3x+1

e5x − e3x

15:

lim

;

16:

lim

;

x!+1 (x + 1 )

x!0

lim

√3

− 1

;

ln(3 + e3x)

;

17:

18:

lim

x!1

ln x

x!+1 ln(5 + ex)

106

19:	lim	ln cos 9x		;

	x!0 ln cos 4x
		ln(x + e4x)
21:	lim				;

	x!0 ln(x + e7x)
23:	lim	(1 + 6x)9 − 1					;
	x 0		√
	!		x + x
		√5				− 1
25:	lim		1 + tg 4x					;

	x!0		tg 2x

Найдите пределы:

20:

lim

35x 3 − 32x2

;

x!1

tg x

22:

lim

(3x + 1)(ln(2x

−

ln(2x + 3));

ln(x + 3) + ln x+1

lim

;

24:

√

1 + 2x −

1 + 5x

26:

lim

(ln(2x + 4) − ln(x + 3))(3x+1 − 1)

x! 1

(x2 + 3x + 2)(√x + 5 − 2)

Вариант •9


1:	lim		x3 − 1			;
	x!1 x3 − 7x2 + 6x
3:	lim		x + arctg x			;
3:	lim		x + cos x			;
	x!+1		x + cos x
							√		);
				x + √
	lim	(			x + 1
5:	lim	(			x + 1			x
5:	x!+1		√				−

			2				√
2:	lim	(x	2	− x − 12)(			√	x − 2)	;
				− x − 12)(				x − 2)
				x2 − 3x − 4
	x!4+			x2 − 3x − 4
		√3			+ 2	;
4:	lim	√3	x − 6
4:	lim		x − 6
	x! 2		x3 + 8

√√

6: lim	n3 − 2n + n2 + 1	;

n!+1	√8n3 + 2n + 5

7: lim x − sin 3x ; x!0 2x − sin 5x

9: lim sin(x − 1) ; x!1 x2 − 2x + 1

8: lim	cos 3x − cos x	;
	tg2 2x
x!

10: lim(1 − x) tg x;

x!1 2

107

11:

lim

sin (x − =3)

;

x! =3

9x2 − 2

13: lim(cos(x

−

9))1=(x 9)2 ;

x 9

15:

lim

(sin x)tg x;

x! =2

17:

lim

ln cos 8x

;

x!0 ln cos 5x

ln(x + e2x)

19:

lim

;

x!0 ln(x + e7x)

21:

lim

ln(1 − 4x2)

;

x!0

1 − cos x

√5

− 1

23:

lim

1 + 4x

;

tg 2x

x!0

25:

lim

(1 + sin 5x)7 − 1

;

x!0

x3 − 2x

12:

lim

e6x − e3x

;

x!0

14:

lim

6x − 7

3x+2

;

(

6x + 4 )

x!+1

16:

lim

e3x − e4x

;

x!0

18:

lim

ln(4 + e4x)

;

x!+1 ln(5 + ex)

20:

lim

e3x2 − cos x

;

x!0

1 − cos 2x

√3

− 1

22:

lim

1 + arctg x

;

8 2x − 1

x!0

24:

lim

x7 − 1

;

x!1 ex 1 − 1

x2 + x

log3(x 1)

26:

lim

(

−

)

x + 3

x!1+

Вариант •10

Найдите пределы:

1: lim	(x2 − 6x + 8)(x2 − 4)	;	2: lim	x3 − 9x	;

x!2+ (x2 − x − 2)√x − 2			x!3 x2 − 4x + 3

108

x2 + 2x

x!+1 (2x2

3x−

lim

−

lim

x!1 (x − 1 − x2 − 1

√

lim

2 cos x − 1

;

x! =4

1 − tg2 x

lim

arctg

;

x!0 x

− 2x

lim

√4

− 1

11:

1 + tg 3x

;

tg 4x

x!0

13:

lim

cos x − cos 3x

;

x!0

1 − cos x

15:

lim

3x2 + 4x − 1

(3x2 + 2x + 7

x!+1

)x=2

;

)

;

)2x+5

4:	lim x[x	x2	+ 1];
4:	x!+1	− √

6: lim (n + 1)3 − n3 ; n!1 n2 + (n + 1)2

8:	lim	cos 5x − cos 3x						;
	x!			sin2 x
10:	lim(1		−	x) tg		x	;
	lim(1			x) tg		2	;
	x 1					2
	!
12:	lim		x		;


	x!0 e2x − ex

14: lim (cos(x + 1))1=(x+1)3 ;

x! 1+

; 16: lim e4x − e2x ;

x!0 x3

17:

lim

ln cos 7x

;

18:

lim

ln(2x + 1) − ln(x + 2)

;

x!0 ln cos 6x

x!1

x2 + 2x − 3

19:

lim

ln(7 + e2x)

; 20:

lim

(5x + 2) ln

2x + 5

;

2x + 1

x!+1 ln(3 + e4x)

x!+1

ln(x + e6x)

21:

lim

;

22:

lim

1 − cos(x2)

;

x!0 ln(x + e3x)

x!0 √ln(1 −

)

109

23:

lim

ln(1 − 7x)

;

24:

lim

(1 + 5x)7 − 1

;

x!0 sin( x + )

x!0

x3 − 2x

25:

lim

ln x

;

26:

lim

(1 + =2

x)tg x:

√x

−

Вариант •11

Найдите пределы:

1:	lim		x2 − 3x − 10						;
	x! 2+ x3 − x2 − 16x − 20
	(		1				3		)
	lim
3:	x!2		x − 2 − x2 − x − 2						;
			x(x + 3
5:	lim		x(x + 3		1	−	x3);
	x!+1			√		−
7:	lim		tg 2x tg			− x) ;
	lim		tg 2x tg
	x! =4		(4
9:	lim	tg(x − 1)			;
	x!1 x2 − 3x + 2
11:	lim	1 − sin(x=2)				;
	x!		2 − x2
13:	lim	(1 + sin 6x)5 − 1						;
	x!0		x2 + 6x

x2 + 7x + 6

lim

;

x3 − x

x! 1

√

+ 2x +

x5 + 1

xlim

√

;

+ 7x + 3

√3

− 1

lim

;

√

1 + x −

lim

cos x − cos 5x

;

x!0

sin2 x

10:

lim

cos 4x − 1

;

x!0

x tg 2x

12:

lim

e5x − e4x

;

x!0

14:

lim (cos(x + 2)) 1=(x+2)5 ;

x! 2

110

lim(1 + sin( x))ctg( x);

x2 + x + 1

15:

16:

lim

;

x!1

x!+1 (x2 + x − 1 )

17:

lim

e4x − ex

;

18:

lim

ln(3 + ex)

;

x!0

x!+1 ln(2 + e5x)

19:

lim

ln cos 4x

;

20:

lim

2x − 2 x

;

x!0 ln cos 7x

x!0

sin 3x

ln(x + e8x)

lim

tg x(1 − cos √

)

;

21:

lim

;

22:

x!0 ln(x + e6x)

x!0

√ln(1 + x3=4)

1 − cos x

lim

√4

− 1

23:

lim

;

24:

1 + 3x

;

x!0

e2x − ex

x!0

sin 4x

25: x!1 ex 1−

(x2 + x + 1 )

1 ;

x! 1

lim

26:

lim

px2+3x+6 2

−

Вариант •12

Найдите пределы:

lim

x2 − 6x + 8

;

lim

x3 − 2x2 − 8x

;

x!2 x3 + x2 − 4x − 4

x!4+

(x2 − 3x − 4)(√x − 2)

√

+ √3

+ √4

lim

√3

− √3

lim

;

1 + 2x

1 − 2x

;

2n + 1

√

lim

(

x(x

x);

lim

−

(x2 − 1 − x2 − x − 2 ) ;

x!+1

√

x! 1

111

lim

sin 2x

;

lim

tg x ctg 3x;

1 + cos 2x

lim

x2 − 4

;

10:

lim

x arcsin 3x

;

x!2 tg(x − 2)

x!0

cos 2x − 1

11:

lim

1 + sin 3x − cos 2x

;

12:

lim

x2 − 2

;

x!0

1 + sin 2x − cos x

sin x

13:

lim

tg 2x − sin 2x

;

14:

lim

(cos(x + 3))1=(x+3)3 ;

x!0

sin3 x

x! 3+

+ x + 1

(x+1)=3

lim

;

16:

lim

;

15:

(x2

− x − 1 )

x!0 e3x − e5x

x!+1

17:

lim

ex − e5x

;

18:

lim

ln(5 + e4x)

;

x!0

x!+1 ln(3 + e2x)

19:

lim

ln cos 5x

;

20:

lim (x

−

3)(ln(2x

−

ln(2x + 2));

0 ln cos 8x

21:

lim

ln(x + e6x)

;

22:

lim

(1 + 6x)5 − 1

;

x!0 ln(x + e4x)

x!0

x2 + 6x

23:

lim

arcsin 2x

lim

sin2 x + 1

2 3x − 1 ;

24:

√ x3 + 3x2 −

;

x!0

√

25:

lim

x − 1

;

26:

lim

(ln(x + 5) − ln 2x)(

+ 11 − 6)

x!1

ln x

x!5

(3x 1 − 3x2 21)(x − 5)

112

Вариант •13

Найдите пределы:

	√
1: lim	√	x − 2(x + 4)	;
		x − 2(x + 4)
		x2 + x − 6
x!2+		x2 + x − 6

3: lim (n + 1)3 − (n + 1)2 ; n!1 (n + 1)3 − (n − 1)3

√

lim

− x − 3

;

x! 8

√3 x

lim

tg x

;

1 + cos x

lim

tg(x − 3)

;

x!3 x2 − 5x + 6

11: lim e4x − e6x ;

x!0 x

13: lim ln cos 4x; x!0 ln cos 9x

15: lim ln cos x; x!0 x tg x

17: lim e2x − e6x ;

x!0 x3

lim

x2 − 2x − 15

;

√

x − 1 − 2

√4

− 2

;

lim

x − 4

√

lim

x!3 (x − 3 − x2 − 4x + 3 ) ;

lim

x2 − sin2 4x

;

x!0

x sin 2x

10:

lim

sin x

;

x! 2 x + 2

12:

lim

tg(2x) tg( =4

−

x);

14:

lim (cos(x + 4)) 1=(x+4)5 ;

x! 4

16:

lim

n2 + 3n − 5

(1 n2)=7

;

n!1 (n2 + 7n + 1 )

ln(2 + e2x)

18:

lim

;

x!+1 ln(3 + e6x)

113

ln(x + e3x)

lim

√3

− 1

;

19:

lim

;

20:

x2 + 1

x!0 ln(x + e8x)

x!0

x3 + 3x2

− e

3x2

2x + 5

21:

lim

;

22:

lim

(x + 1) ln

;

x!0 arcsin(3x )

x!+1

2x − 3

√5

− 1

1 + sin 5x − cos 5x

23:

lim

x + 1

;

24:

lim

;

x!0

ln(1 + x)

x!0

1 + sin x − cos x

25:

lim (1 + tg 2x)

− 1 ;

26:

lim (1 + =6

x) 1 2 sin x :

−

cos x

x 0

tg 9x

Вариант •14

Найдите пределы:

lim

x2 + 6x − 7

;

x! 7 (√x + 16 − 3)2

lim

1 + arctg x

;

2x + 1

x!+1

lim

√

− 5

;

9 + 2x

x!8

√3 x − 2

lim

sin(3x + 3)

;

x! 1 x2 + 3x + 2

lim

x2 − 6x + 8

;

x!4

tg(x − 4)

2:	lim				x3 − 9x			;
			(x	2		√

	x 3
	!				− 4x + 3) x + 1
	lim				6		8

4:		(x2 − x − 2 − x2 − 4 ) ;
4:	x!2	(x2 − x − 2 − x2 − 4 ) ;

√√

6:	lim (	x2 + 5x	−	1	−	x2	−	3x);
6:	x +		−		−		−
	! 1

4x +

8: lim ; x! =4 sin(x + =2) + sin x

			√

10: lim	(2 sin x −			3)(3x − )	;
	cos	3x	tg	(x − 3 )
x! =3
		2

114

11:	lim	cos(x=2)	;		12:	lim	x	;

	x!	x −				x!0 e2x − e3x
13:	lim	1 + x sin x − cos 2x		;	14:	lim	(cos(x + 5))1=(x+5)3 ;
	x!0	sin2 x				x! 5+

15: lim	ln(4 + e5x)	;

x!+1 ln(1 + e3x)

17: lim e5x − e3x ;

x!0 x3

19: lim ln cos 3x; x!0 ln cos 9x

21: lim ln(x + e4x) ; x!0 ln(x + e8x)

16:

lim

ln(2x + 4) − ln(x + 3)

;

√

x + 5 − 2

18:

lim

3x2 − 6x + 7

x+1

;

x!+1 (3x2 + 20x − 1 )

20:

lim

x + x + 3

x +x+3 3

( 2x2 − 9

)

;

x! 3

22:

lim

(1 + 2x)9 − 1

;

x!0

sin 9x

23:

lim

ln 2x − ln

;

24:

lim

ex − 1

;

(1 + 2x)8

x! =2 sin(5x=2) cos x

x!0

− 1

√5

− 1

(2x2+1 − 2x+3)(√

− 3)

25:

lim

1 + sin 2x

;

26:

lim

x + 7

x!0

x2 + 2x

x!2

(ln 4x + ln

x8 1

)

(x − 2)

Вариант •15

Найдите пределы:

√

1: lim (x − 5) x − 1 ;

x!1+ x3 + 3x2 − 4x

2: lim	(x2 − 4x − 12)(x − 6)		;
x 6	√
!		x − 2 − 2

115

3x2 + 7x − 3

lim

;

lim

( x2 + 3x + 2

−

x);

x!+1 1 + √x4 + 2

x!+1

√

− √

√

2√

lim

x + 13

x + 1

;

lim

;

x2−

(

−

x3 − x

−

1 )

x!3

x!1

−

lim

cos 3x − cos x

;

lim

cos x

;

x!0

cos x − 1

x! =2

√3 (1 − sin x)2

lim

tg(x − 5)

;

10:

lim

2 − 4x2

;

x!5 x2 − 7x + 10

x! =2

cos x

11:

lim

ex − e5x

;

12:

lim

1 + sin x − cos x

;

1 + sin 3x − cos 3x

x!0

13:

lim

2 sin x + sin 2x

;

14:

lim (cos(x + 6)) 1=(x+6)5 ;

x!0

e2x − 1

x! 6

3x + 1

2x+3

ln cos 2x

15:

lim

;

16:

lim

;

3x − 1 )

x!+1 (

x!0 ln cos 3x

17:

lim

ex − e2x

;

18:

lim

ln(2 + ex)

;

x!0

x!+1 ln(7 + e2x)

19:

lim tg 4x tg 2x;

20:

lim (3x

−

7) ln

4x +

;

−

x +

ln(x + e7x)

√5

− 1

21:

lim

;

22:

lim

1 + 2x

;

x2 + 2x

x!0 ln(x + e4x)

x!0

116

23:

lim

e x − 1

;

24:

lim

(arctg 3x + 1)7 − 1

;

x!0 tg( (x + 3))

x!0

x3 − x

ln(x+1) ln x

ln(1 + x)

2x + 3

x2+x+3

x!0

√5 1 + 3x − 1

x!+1 (

3x + 1 )

25:

lim

;

26:

lim

Указания к решению задач индивидуального задания по теме "Вычисление пределов"

При вычислении пределов элементарных функций в первую очередь используется непрерывность этих функций. Для непре-

рывной в точке x0 функции f(x) lim f(x) = f(x0) (òî åñòü ïðå-

x!x0

дел равен значению функции при x = x0), поэтому вычисление предела f(x) ïðè x → x0 сводится к вычислению значения f(x0). Так как элементарные функции непрерывны всюду, где опреде-

лены, то затруднения при вычислении lim f(x) для таких функ-

x!x0

ций могут возникнуть лишь в особых случаях, когда в точке x0 функция не определена, либо когда вычисляется предел в бесконечно удаленной точке.

Особые случаи при вычислении пределов

1. Åñëè f(x) → ±∞, g(x) → b ïðè x → x0, ãäå b конечное число, то f(x) + g(x) → ±∞. Формально это обозначается так:

±∞ + b = ±∞:

2. Åñëè f(x) → ±∞, g(x) → ±∞ ïðè x → x0, òî f(x) + g(x) → ±∞. Формально это обозначается так:

+∞ + ∞ = +∞; −∞ − ∞ = −∞:

117

3. Åñëè f(x) → +∞, g(x) → +∞ ïðè x → x0, то заранее нельзя определенно сказать, чему равен предел f(x) − g(x) ïðè x → x0:

+∞ − ∞ − неопределенность:

4. Åñëè f(x) → ∞, g(x) → b ïðè x → x0, ãäå b ≠ 0 конечное число, то f(x)g(x) → ∞:

∞ · b = ∞; b ≠ 0:

Здесь знак бесконечности зависит от знаков сомножителей.

5.Åñëè f(x) → ±∞, g(x) → ∞ ïðè x → x0; òî f(x) · g(x) → ∞:

∞· ∞ = ∞:

6.Åñëè f(x) → b, g(x) → ∞ ïðè x → x0, ãäå b конечное число,

f(x)

òî g(x) → 0:

b = 0:

∞

7. Åñëè f(x) → b, g(x) → 0 ïðè x → x0, ãäå b ≠ 0 конечное

число, то			f(x)		→ ∞:
число, то			g(x)		→ ∞:
								b	= ∞; b ̸= 0:

							0
8. 0	· ∞	,	∞	,		0	неопределенности.
8. 0		,		,	0		неопределенности.
			∞		0

При вычислении пределов в случае возникновения неопределенностей используются специальные приемы, некоторые из которых мы продемонстрируем ниже на примере решения задач нулевого варианта..

118

Решение задач нулевого варианта

1. Найти lim	x(x2 + x − 6)	:
1. Найти lim	(x − 2)2	:
x!2	(x − 2)2		2	6)
Решение. Подставив значение x = 2 в дробь			x(x +x 2	6)	; ïîëó-
Решение. Подставив значение x = 2 в дробь			x(x +x 2		; ïîëó-
			(x 2)

÷èì 0=0 - неопределенность. Разложим квадратный трехчлен в

числителе на множители:

x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3): Тогда

lim

x(x2 + x − 6)

]

lim

x(x − 2)(x + 3)

x!2 (x − 2)2

[

x!2

(x − 2)2

= lim

x(x + 3)

= lim

x(x + 3)

2 · 5

−∞

x 2

−

x<2

Здесь мы воспользовались свойством:

= ∞:

2: Найти

lim

x2 + 2x − 3

x!+1 x3 + 6x + 8

Решение. Ïðè x → +∞ числитель и знаменатель дроби стре-

мятся к +

∞

;

получается неопределенность 1: Разделим чис-

литель и знаменатель почленно на старшую (самую большую) степень x; òî åñòü íà x3 :

+ 2x − 3

∞

lim

x1 +

−

0 + 0 − 0

lim

= 0:

x!+1 x3 + 6x + 8

[

∞

]

x!+1 1 +

1 + 0 + 0

Здесь мы воспользовались свойством:					b	= 0; åñëè b конеч-
Здесь мы воспользовались свойством:						= 0; åñëè b конеч-
ное число.	√				∞
3: Найти lim	x + 5 − 3			.
x!4	x 4						x = 4 âîç-
Решение. Ïðè	подстановке в функцию значения
Решение. Ïðè		−
никает неопределенность 0
			0 . Чтобы избавиться от квадратного

корня в числителе, умножим одновременно числитель и знаме-

√натель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на x + 5 + 3; тогда в числителе получим:

√	√		√		2	− 3	2	= x − 4:
				x + 5)
( x + 5 − 3)(		x + 5 + 3) = (

119

Èòàê,

√

− 3

= lim

x − 4

lim

x + 5

= lim

x!4

x − 4

x!4 (x − 4)(√x + 5 + 3)

x!4 √x + 5 + 3

4: Найти

lim

√x + 1 + √5x −

√5

x!+1

√3

+ √5

Решение. Разделим числитель и знаменатель на максималь-

ную степень x; òî åñòü íà x1=2 :

√x + 1 +

√5x

√5

√

+ √

−

x + 1

lim

= lim

x1=2

√3

√5

x +

! 1

x + x

! 1

x1=2

x +

√

x√

= x +

√

x+1

3 5x

−

5 x2

−

√

x3=2

x5=2

1 + x

x1=2

√

lim

! 1

x3=2

+ 5

x5=2

! 1

+ 5

x1=2

x3=2

√3

√5

1 + 0 +

0 −

= +

√3 0 +

√5 0

∞

5: Найти lim

+ x − 2

x!1

√3 x

Решение. В данном−случае получается неопределенность

Умножим числитель и знаменаòåëü íà íеполный квадрат суммы

для знаменателя, то есть на (√3 x)2 +

√3 x+1; чтобы в дальнейшем

применить в знаменателе формулу (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3:

Числитель разложим на множители: x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2):

Получим:

(x − 1)(x + 2)((√3

+ √3

x2 + x − 2

= lim

+ 1)

lim

x!1

√3 x − 1

x!1

(√3 x − 1)((

√3 x)2 + √3 x + 1)

= lim

(x − 1)(x + 2)((

√3

)2 + √3

+ 1)

x!1

lim(x + 2)((√

√

−3

= x 1

x + 1) = 3 · 3 = 9:

6. Найти

lim

x!2+ ((x − 2)2 − x2 − 4 ).

Решение. Òàê êàê lim

= +

∞

lim

(x − 2)2

x!2+

x!2+ x2 − 4

120

1		= +∞, возникает неопределенность +∞ − ∞: Приведя
=
	0+
дроби			1		1		к общему знаменателю (x − 2)2(x + 2);
		(x	−	2)2 è x2	−	4
получим:

()

lim

x + 2 − (x − 2)

(x − 2)2

− x2 − 4

(x − 2)2(x + 2)

x!2+

lim

(x − 2)2(x + 2) = 0+ = +∞:

= x!2+

7. Найти

lim

(

+ 4x + 3

−

x):

x!+1

√

Решение. lim ( x2 + 4x + 3 − x) = [+∞ − ∞ - неопре-

x!+1

деленность;√ уножим и разделим на сопряженное выражение x2 + 4x + 3 + x ]=

√

lim

(

x2 + 4x + 3 − x)( x2 + 4x + 3 + x)

x!+1

√x2 + 4x + 3 + x

= lim

x2 + 4x + 3 − x2

x!+1 √x2 + 4x + 3 + x

lim

4x + 3

= [

∞ −

неопределенность;

= x!+1 √x2 + 4x + 3 + x

∞

разделим числитель и знаменатель на

x ]=

4 + 3

lim

2+4x+3

! 1

√

+ 1

1 √1 + x

+ 1

4 + 0

√

+ 1

= 2:

1 + 0 + 0

При решении задач 8-12 используется первый замечатель-

ный предел

lim

sin y

= 1;

(12)

y!0

121

а также вытекающие из него формулы

lim

tg y

= 1;

(13)

y!0

lim

arcsin y

= 1;

(14)

y!0

lim

arctg y

= 1:

(15)

y!0

8. Найти lim

sin 5x − sin 2x

x!0

tg 4x

Решение. lim

sin 5x − sin 2x

[0=0

−

неопределенность;

tg 4x

применим в числителе формулу sin −sin = 2 sin 2

cos +2

2 sin

x cos

sin(3x=2)

· (3x=2)

3x=2

= lim

= 2 lim

lim cos

x =

tg 4x

x!0

· 4x

x!0

sin(3x=2)

lim

3x=2

1 = [введя переменные y = 3x=2, z = 4x, ãäå

tg 4x

= 4 x

y → 0, z → 0, ñ

учетом формул (12) и (13) получим:

lim

sin(3x=2)

= lim

sin y

= 1 ;

lim

tg 4x

= lim

tg z

= 1 ] =

3x=2

x!0

y!0

x!0

z!0 z

· 1 =

Найти lim(4

−

x) tg

−

x) tg

[

0·∞

- неопределенность; замена:

Решение. lim(4

x 4

(y + 4)

y = x

−

4; y

→

0 ïðè

x →

4; x = y + 4]=lim(

−

y) tg

122

lim y tg

=[используем формулу приведения

− y!0

( 8

2 )

cos

tg( +

]

lim y ctg

= lim y

2 ) = − ctg

= y

sin

lim

lim cos

cos 0 =

0 sin y

sin 10x

10:

Найти lim

− x

Решение. lim

sin 10x

= [ 0/0 - неопределенность; замена пе-

ременной:

− x

ïðè

x → ; x = y +

y = x − ; y → 0

= lim

sin 10(y + )

= lim

sin(10y + 10 )

y!0 2 − (y + )2

y!0 −y2 − 2 y

[ используем формулу приведения

sin( + 2 k) = sin , k Z ]

lim

sin 10y

lim

sin 10y

lim

sin 10y

10y y + 2

= y!0 −y2 − 2 y

− y!0 y(y + 2 )

− y!0

lim

sin 10y

lim

= [ замена переменной

z = 10y;

ãäå

− y!0

10y

y!0 y + 2

z → 0

ïðè

y → 0; сводит первый сомножитель к первому за-

мечательному

пределу (12) ]= −1 ·

= −

11:

Найти

lim

arctg(x − 1)

x!1 x2 − 2x + 1

Решение.

lim

arctg(x − 1)

= [ 0/0 - неопределенность;

x!1 x2 − 2x + 1

arctg(x − 1)

разлагаем знаменатель на множители] =

lim

arctg(x − 1)

x!1 (x − 1)2

lim

: Первый сомножитель стремится к 1

x 1

−

выступает x

−

→

0), à

lim

(формула (15), где в роли

arctg(x − 1)

x!1 x 1

−∞

Èòàê, lim

= 1

(

) =

−∞

0−

x!1 x2 − 2x + 1

−∞

12:

Найти

lim

2 cos x − 1

x! =3

3x −

123

Решение.	lim		2 cos x − 1		= [0=0	−	неопределенность; за-
x	!	=3	3x	−		−
	!			−

мена переменной: t = x − =3, t → 0 ïðè x → =3, x = t + =3]

=lim 2 cos(t + =3) − 1 = [в числителе воcпользуемся форму- t!0 3(t + =3) −

ëîé cos( + ) = cos cos − sin sin , в знаменателе раскроем скобки и приведем подобные члены ]=

= lim

2(cos t cos =3 − sin t sin =3) − 1

t!0

3t + −

√

= lim

2(cos t · 1=2 − sin t ·

3=2) − 1

t!0

√

= lim

cos t − 1 −

3 sin t

= lim

cos t − 1

−

lim

sin t

t 0

3 t 0

= [ второе слагаемое содержит первый замечательный предел (12), в первом слагаемом воспользуемся тригонометриче-

ской формулой

1 − cos t = 2 sin2 t=2 ]=

−2 sin2 t=2

√

= lim

1 =

lim

sin t=2

lim sin t=2

− 3

−

− 3

t 0

3 t

0 t=2

· t

= [первый сомножитель это √ïåðâûé çà√ìечательный предел(12)

ñ y = t=2

→ 0

] = −

· 1 · 0

−

= −

13: Найти lim

cos 4x

x!+1

Решение.

lim

cos 4x

lim

cos 4x:

x!+1

= x!+1 x6 ·

Òàê êàê cos 4x - ограниченная функция, а lim

= 0; òî

x!+1 x6

lim

cos 4x = 0 (по теореме о том, что произведение беско-

x!+1 x6

нечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция).

При решении последующих задач окажется полезным второй замечательный предел, который может быть записан в таких формах:

124

lim

= e:

(16)

y!1 (1 + y )

lim (1 + y)1=y = e:

(17)

y!0

lim

ln(1 + y)

= 1:

(18)

y!0

lim

ey − 1

= 1:

(19)

y!0

lim

(1 + y) − 1

= :

(20)

y!0

14:

Найти lim

ln(1 + 2x)

x!0

Решение. lim

ln(1 + 2x)

= [0=0

−

неопределенность]=

x!0

lim

ln(1 + 2x)

= [введем переменную y = 2x; y

→

0 ïðè

2 x

ln(1 + y)

→

0, применим формулу (18) ] =

lim

1 =

ex − 1

2 y

15:

Найти lim

x!0

√x + 1

Решение. lim

ex − 1 −

= [ 0=0

−

неопределенность;

x!0 √x + 1 − 1

умножим и разделим на сопряженное знаменателю выражение]=

√

x + 1 + 1)

= lim

− 1)(

= lim

− 1)( x + 1 + 1)

x + 1 − 1

x!0 (√x + 1 − 1)(√x + 1 + 1)

x!0

(ex − 1)(√

+ 1)

ex − 1

lim(√

+ 1) =

x + 1

= lim

x + 1

x!0

[ применяем формулу (19) ] =

16:

Найти lim

e4x − e6x

: 1 ·

2 = 2:

x!0

125

Решение. lim e4x − e6x = [0=0 − неопределенность]=

x!0 x

= lim

e4x(1 − e2x)

lim

(e2x − 1) · 2e4x

x 0

− x

−

2 lim e4x lim

e2x − 1

lim

e2x − 1

x 0

− ·

· x

переменной

y = 2x; y → 0 ïðè x → 0; применим

[ сделав замену y

− 1

(19) ] =

2 lim

1 =

−

В решении последующих задач мы часто будем использовать

формулу перехода к основанию e:

ab = eb ln a :

(21)

Отсюда, в частности, следует, что выражение 11 это неопре- деленность, сводящаяся к неопределенности вида 0 · ∞:

11 = e1 ln 1 = e1 0 :

17: Найти lim(1 + sin x)1=x3 :

x!0		3
Решение. lim(1 + sin x)1=x		= [ 11 неопределенность;
x!0
перейдем к основанию e по формуле (21) ]=
1	· ln(1 + sin x) = lim e		ln(1 + sin x)

= lim ex3			x3	:
x!0		x!0

Наша задача свелась к вычислению предела показателя:

lim	ln(1 + sin x)	= lim		ln(1 + sin x)		sin x		1

	x3		(	sin x	·	x	·	x2 ) =
x!0		x!0

[предел первого сомножителя равен 1, он вычисляется по формуле (18), где y = sin x; y → 0; предел второго сомножителя также

равен 1 (первый замечательный предел); третий сомножитель стремится к +∞ ] = 1 · 1 · (+∞) = +∞:

126

Следовательно,

ln(1 + sin x)

lim(1 + sin x)1=x

= lim e

= e+1 = +

∞

18:

Найти

lim

x2 + 1

(x2 − 2 ) .

x!1

Решение.

Òàê êàê

x2 + 1

1 + 1=x2

→ 1 ;

x2 → +∞ ïðè x → ∞ ;

x2 − 2

1 − 2=x2

то при переходе к пределу в основании и показателе получим

11 неопределенность. Как и в предыдущей задаче, перейдем к

основанию e:

x2 + 1

lim ex2 ln (

) :

lim

x2 + 1

x2 − 2

x!1 (x2 − 2 )

= x!1

Найдем предел показателя степени:

− 2

− 1))

x!1

(x2

− 2 )

x!1

( (x2

lim x2 ln

+ 1

= lim x2 ln 1 +

+ 1

1 +

)

= xlim x2 ln

1 +

= xlim

(

)

− 2 )

x2 2

)

ln 1 +

3x2

ln 1 +

= xlim

(

xlim

= xlim

(

xlim

− 2

x2 2

!1 x

x2 2

!1 1

− x2

[сделав замену переменной y = 3=(x − 2); y → 0 ïðè x → ∞;

применим к первому сомножителю формулу (18): lim

ln(1+y)

= 1]

y!0

= 1 ·

= 3:

x2 + 1

lim ex2 ln (

) = e3 :

Получаем:

lim

x2 + 1

x2 − 2

(x2 − 2 )

x!1

= x!1

127

19: Найти lim

2x − 4x

x!0

−x

Решение.

lim

− 4

= [0=0

−

неопределенность] =

x!0

x2 − x

= lim

2x(1 − 2x)

lim

2x − 1

= lim

2x − 1

x 0

x(x

−

− x 0 x

−

1 x

x 0

[ используем формулу 2x = ex ln 2 ]

= lim

ex ln 2 − 1

= lim

ex ln 2 − 1

ln 2 =

x ln 2

[введем переменную y = x ln 2; y

→

0 ïðè x

→

0; и воспользуемся

− 1

формулой (19) ] = ln 2 lim

= ln 2

1 = ln 2:

20: Найти lim

(1 + 5x)10 − 1

x!0

Решение.

lim

(1 + 5x)10 − 1

[0=0

−

неопределенность]

= lim

(1 + 5x)10 − 1

lim

(1 + 5x)10 − 1

x!0

3x · 5 · 1=5

3 x!0

[ замена: y = 5x; y → 0 ïðè x → 0; применяем формулу (20) ]

lim

(1 + y)10 − 1

10 =

3 y

x( 3

−

21: Найти

lim

1 + 2=x

1):

√

−

∞·

−

Решение.

lim

1 + 2=x

1) = [

неопределенность]=

x!+1

√

lim

(1 + 2=x)1=3 − 1

lim

(1 + 2=x)1=3 − 1

x!+1

1=x

x!+1 1=2 · 2=x

[ введем переменную y = 2=x; y → 0 ïðè x → +∞, после чего

применим формулу

(20) ]

= 2 lim

(1 + y)1=3 − 1

= 2

128

22: Найти lim

ln(2x + 3) − ln(x + 4)

x!1

x2 − 1

Решение. lim

ln(2x + 3) − ln(x + 4)

[0=0

−

неопределенность;

x 1

в числителе воспользуемся −

формулой

ln x − ln y = ln(x=y);

знаменатель разложим на множители] =

= lim

ln (

2x + 4 )

= lim ln (1 +

( x + 4 − 1)) =

x + 3

2x + 3

x!1 (x − 1)(x + 1)

x!1

(x − 1)(x + 1)

ln 1 +

x − 1

ln 1 +

x − 1

x + 4 )

= lim

(

= lim

(

lim

x −

x − 1

x!1

(x + 1)(x + 4)

x!1

x!1 x2 + 5x + 4

x + 4

[для вычисления первого предела нужно воспользоваться (18),

ãäå y = (x − 1)=(x + 4); y → 0 ïðè x → 1; второй предел вычис-

ляется элементарно] = 1 ·

23: Найти lim

ln(1 − sin 2x)

x!0

etg 10x − 1

Решение. lim

ln(1 − sin 2x)

[0=0

−

неопределенность] =

x!0

etg 10x − 1

= lim

ln(1 + (− sin 2x)) · (− sin 2x) · tg 10x

x!0

(etg 10x − 1) · (− sin 2x) · tg 10x

= lim

ln(1 + (− sin 2x))

lim

tg 10x

lim

− sin 2x

x!0

(− sin 2x)

· x!0 etg 10x − 1

· x!0

tg 10x

[ первый и второй сомножители вычисляются по (18) и (19), если

в качестве

y взять (− sin 2x) è tg 10x соответственно ]

= 1

lim

− sin 2x

lim

sin 2x

10x

tg 10x

(

tg 10x · 10 )

· x!0

− x!0

lim

sin 2x

lim

10x

= [ применяем формулы (12) и (13),

= −5 x 0

2x ·x 0 tg 10x

129

ãäå â ðîëè y выступают 2x è 10x соответственно ] = −1 ·1·1 = −1 :

24: Найти lim (cos(√2 − x))(x p2) 2 : 5 5

x! 2

Решение. lim (cos(√2 − x))(x p2) 2 = [11 неопределен-

p x! 2

ln(cos(√

− x))

(x − √

ность; переходим к основанию e ] =

lim

2)2

x! 2

Задача свеласü к вычислению предела показателя степени.

lim

ln(cos(√2 − x))

[0/0 - неопределенность; сделаем за-

x!p

(x − √2)2

√

мену переменной:

ïðè

]

y = 2 − x; y → 0

x → 2

= lim

ln(cos y)

= lim

ln(1 + (cos y − 1))

(cos y − 1)

y!0

(cos y − 1)

= lim

ln(1 + (cos y − 1))

lim

cos y − 1

y!0

(cos y − 1)

y!0

[первый сомножитель сводится к (18), если в качестве новой переменной взять cos y−1; принимая во внимание, что cos y−1 → 0

ïðè y

→

0 ]

= 1

lim

cos y − 1

= [ применяем формулу 1

−

cos y =

·y

sin2 y=2

= 2 sin

y=2

]

= 2 lim

lim

−

y!0

= −2 y!0 (y=2)2

= −

sin y=2

)

lim

= [используем первый замечательный пре-

y=2

2 y!0 (

√

äåë]

Èòàê,

2) 2

1=2

lim (cos(

x))

= e

−2 ·

−2

−

x! 2

25:

Найти lim

cos(xe4x) − cos(xe6x)

x!0

Решение. lim

cos(xe4x) − cos(xe6x)

= [0/0 - неопределенность;

x!0

130

применяем формулу cos − cos = −2 sin 2

sin +2

−

2 sin

x(e4x − e6x)

sin

x(e4x + e6x)

= lim

x!0

sin

x(e4x − e6x)

sin

x(e4x + e6x)

− e

)(e

+ e

)

2 lim

x(e4x + e6x)

−

x!0 x(e4x − e6x)

[пределы двух первых сомножителей сводятся к первому за-

мечательному пределу, если в качестве новых переменных взять

аргументы синусов]=

−

lim

(e4x − e6x)(e4x + e6x)

· x

lim(e4x + e6x) lim

e4x − e6x

lim

e4x − e6x

−

2 ·

2 x 0

· x 0

lim

e4x(1 − e2x)

= lim e4x lim

e2x − 1

= 1

lim

e2x − 1

− x 0

x 0

· x

= lim

e2x − 1

2 = [формула (19), где y = 2x

→

0] = 1

2 = 2:

ln(10 + ex)

26:

Найти

lim

x!+1 ln(2 + e7x)

Решение. lim

ln(10 + ex)

[

∞=∞

- неопределенность]=

ln(2 + e7x)

(1 + ex )

lim

ln (ex

(1 + ex ))

lim

ln ex + ln

ln (e7x

(1 + e7x ))

1 ln e7x + ln

(1 + e7x )

x + ln (1 +

)

lim

1 7x + ln (1 +

)

e7x

131

[разделим числитель и знаменатель на x]

				+ 10
=	lim			1 +	ln (1x	ex )	=
=	lim			+		2	=
x		+				2
x		+
	!		1	7 +	ln (1 x	e7x )

[ïðè x → +∞ 10=ex → 0, ln(1 + 10=ex) → 0, ln(1 + 10=ex)=x → 0;

аналогично при x → +∞ ln(1 + 2=e7x)=x → 0] =

ln(x + e8x)

27:

Найти lim

x!0 ln(x + e4x)

ln(x + e8x)

ln 1

Решение. lim

неопределенность

0 −

x!0 ln(x + e4x)

[ln 1

(

ex )

= lim

(

ex )) =

ln e8x 1 +

ln e8x + ln 1 +

x!0

ln (e4x (1 +

))

ln e4x + ln (1 +

)

e4x

1 +

8x + ln

1 +

8 +

(

)

= lim

e8x

= lim

(

)

x 0

Далее, lim

4x + ln (1 +

e4x

)

4 +

ln (1 x

e4x )

(

e8x )

неопр.

= lim

e8x )

1 +

[

]

1 +

−

x!0

· e

= lim

lim

e8x

(

e8x )

18x

= [первый сомножитель сводится к

1 +

x 0

· x 0

e8x

(18), если в качестве y взять x=e8x, принимая во внимание, что

x=e8x

→ 0

ïðè

x → 0

]

lim

= 1

1 = 1: Аналогично можно

= 1·x 0 e8x

показать, что

lim

1 + x=e4x

= 1: Окончательно получаем:

(

)

ln(x + e

)

x!0

lim

x!0 ln(x + e4x)

132

28:

lim

ln(1 + 6 )

x! 1 ln(1 + 4 )

Решение. lim

ln(1 + 6x)

ln(1 + 0)

неопределенность

[ln(1 + 0) =

0 −

x! 1 ln(1 + 4x) =

]

ln(1 + 6x)

· 6x

= x lim

= [òàê êàê ïðè x → −∞ 6

→ 0; 4

→ 0;

ln(1 + 4x)

! 1

· 4x

применяем (18) с y = 6x è

x ]

lim

= 0: Здесь мы

y = 4

4 )

= x! 1 (

воспользовались (3) при a = 6=4 .

Ответы к заданиям по теме "Вычисление пределов"

Вариант •1

1. 54. 2. +∞. 3. 144. 4. −1. 5. −4=7. 6. −1=4. 7. −5=7. 8. 1=4.

√

9. 2. 10. 2=2. 11. −4. 12. −3. 13. 4 ln 2. 14. −7=2. 15. e 2. 16. 1=2. 17. e2. 18. 4=3. 19. 6. 20. 20 ln 4. 21. 5=8. 22. −3=2. 23. 3. 24. 1=7. 25. 2=7. 26. 72 ln 3.

Вариант •2

1. 0. 2. −∞. 3. −2. 4. −7=3. 5. 1=12. 6. +∞. 7. −9=4. 8. 3. 9.

√

−1=2. 10. 1=2. 11. −5=3. 12. 9=98. 13. 1=2. 14. e. 15. e8. 16. 1. 17. −4= . 18. 1=2. 19. 1=2. 20. e =2. 21. 4=5. 22. −∞. 23. 9=49. 24. −21. 25. 1=3. 26. 4=21.

133

Вариант •3

1. 1=9. 2. +∞. 3. −1=16. 4. −16. 5. −1=2. 6. 0. 7. ∞. 8. 3. 9. −2=3.

10. 1=12. 11. − =2. 12. 1=8. 13. 1=3. 14. 1. 15. 0. 16. 1=18.

√

17. 1= e. 18. 2. 19. −4. 20. −∞. 21. 4. 22. 1=4. 23. 4=21. 24. 7. 25. 16. 26. 6.

Вариант •4

√

0: 2: 1=48: 3: − 1=3: 4: − 2=8: 5: 2=3: 6: 1=6:

√

7: 9=8: 8: 2= : 9: 1=4: 10: 1=2: 11: 3=8: 12: −1=4: 13:

14: 0:

15: 1=e:

16:

1=2:

17: − ∞: 18:

19: 25=81:

20: − 2e:

21: 2: 22: 16:

23: 3:

24: 2:

25: 3=5:

26: e2=3:

Вариант •5

1: 16:

− ∞:

− 12=7:

4: 1:

5: 1=144:

6: 1=4: 7: 4

8: −5=3:

9: 0:

10: 5: 11: −1=4:

12: 3:

13: 1=3:

14: 14=5:

15: e5=14: 16: ln 2=2: 17: 1=√

e: 18: 3=4: 19: 1=3: 20: +∞:

21: 5=3:

22: − 1=6:

23:

36:

24:

3=5: 25:

26:

216 ln 3

Вариант •6

√

1. −7=2. 2. +∞. 3. − 3=2. 4. −1=3. 5. −1. 6. −1=2. 7. 1=2. 8. 3.

9. 1=6. 10. 0. 11. − =2. 12. 1=2. 13. 3=8. 14. −7=6. 15. 1=e2.

√

16. −1=2. 17. e. 18. 16 ln 2= . 19. 1=3. 20. +∞. 21. 5=4. 22. 49=4. 23. 14=5. 24. −13=4. 25. 1=2. 26. 9.

Вариант •7


1:	− 11=3: 2: − ∞: 3: + ∞:						4: 3=2: 5: − 3=2: 6: 12=5:
7:	− :		8: :		9: 7: 10: 0:	11: − 1:		√	13: 3:
								12: 1= e:
14:		0:	15:	e:	16: 1=2: 17:	e 4: 18: 2: 19: + ∞:			20: −1:
21:		3:	22:	50:	23: 64=9: 24:		− 7=6:	25: 2: 26: e1=80 ln 2:

134

Вариант •8

1: + ∞:

2: 48:

3: 1:

4: − 2:

5: 1=2:

6: 0:√

7: 1=2:

8: 0:

9: 1=8: 10: − 1=10: 11: 1=2: 12: 1=2: 13:

e: 14: 1=2:

15: e 3:

16: +∞:

17: 1=3:

18: 3: 19: 81=16:

20: 9 ln 3= :

21: 5=8:

22: − 15:

23: 0: 24: − 8=9: 25: 2=5:

26: 2 ln 3:

Вариант •9

1: − 3=5:

√

2: 0:

4: 1=144:

5: 1=2:

1= √8:

2=3:

10: 2= :

11: 1=6 :

12: 3:

8: 1: 9: ∞:

13: 1= e:

14: e 11=2:

15: 1:

16: − ∞:

17: 64=25:

18: 4:

19: 3=8: 20: 7=4: 21: −8: 22: −1=18 ln 2: 23: 2=5: 24: 7:

25: − 35=2:		26: 1:
			Вариант •10
1:	0: 2: 9:	3: 0:	4: − 1=2:	5: ∞:	6: 3=2:	7: 1=4:	8:	8:
9:	−1=2: 10: 2= :		11: 3=16:	12: 1:	13: 8:	14: 0:	15:	e4=3:

16: + ∞: 17: 49=36: 18: 1=12: 19: 1=2: 20: 10: 21: 7=4:
√					24: − 35=2:
22: − 2:			23: 7= :		24: − 35=2:		25: 2: 26: e:
					Вариант •11
1: + ∞:								√
1: + ∞:	2: 5=2:			3: 1=3:		4: 1:	5: 0:	6: − 2 2=3:	7: 1=2:
8: 12: 9: − 1:				10: − 4:		11: 0:	12: 1:	13: 5: 14: + ∞:
15: 1=e:		16: e 2: 17: +				: 18:	1=5:	19: 16=49:
						∞			26: e4:
20: 2 ln 2=3:			21: 9=7:		22: 0: 23: 0: 24: 3=16: 25: 9:				26: e4:

Вариант •12

√

1: − 1=6: 2: + ∞: 3: 1= 2: 4: 4=15: 5: − 1=2: 6: − 1=3:

7: ∞:	8: 3: 9: 4:	10: − 3=2: 11: 3=2:	12: − 2 :	13: 4:
14: 0:	15: − 1=2:	16: e2=3: 17: − ∞:	18: 2: 19:	25=64:

20: −3=2: 21: 7=5: 22: 5: 23: −2=3 ln 2: 24: 1=9: 25: 1=2:

26: 12 · 93 ln 3 :

135

		Вариант •13
1:	+ ∞: 2: 32:	3: + ∞:	4: 1=4: 5: − 2:	6: 1=2:
7:	∞: 8: − 15=2:	9: 1:	10: : 11: − 2:	12: 1=2:

13: 16=81: 14: +∞: 15: −1=2: 16: +∞: 17: −∞: 18: 1=3:

19: 4=9:

20: 1=9:

21: −2=3:

22: 4:

23: 1=5:

24: 5:

25: 2:

26: √

Вариант •14

+∞:

9=2:

−1=6:

12=5:

√

2 2:

9. 2: 10.

−2: 11. −1=2:

12. −1: 13.

3: 14.

0: 15. 5=3:

16. 2:

17. +

18. e26=3:

19.

1=9: 20. e 42=5: 21.

5=9:

22.

∞

23. 2√

= : 24.

1=16: 25. 1=5:

26. 32 ln 2=3:

Вариант •15

1: − ∞:

2: 0:

3: 3: 4: 2:

5: − 1=16:

6: ∞:

7: 8:

8: ∞:

9: 1=3:

10: 4 :

11: − 4:

12: 1=3:

13: 2:

14: + ∞: 15: e4=3:

16: 4=9:

17: − ∞:

18: 1=2:

19: − 2:

20: 6:

21: 8=5: 22: 1=5:

23: 1:

24: − 21:

2=3

25: 5=3:

26.

(

)

136

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.05.201529.11 Кб11Сборник текстов №2.docx
#
18.05.20151.01 Mб189Свирюкова Библиография.rtf
#
29.08.2019167.42 Кб2СГФП 057_00_00 РЭ.doc
#
23.08.2019358.4 Кб3сегодня.doc
#
12.11.20195.25 Mб6селиверстов.doc
#
18.05.2015615.56 Кб37семенко задания.pdf
#
18.05.2015202.17 Кб49семинар 1 по психологии дошкольников.docx
#
23.08.2019235.52 Кб2семинар 10.doc
#
18.05.201531.74 Кб9Семинар 3.doc
#
18.05.201531.77 Кб26семинар 3.docx
#
18.05.201533.28 Кб27Семинар 4.doc