3.2. Решение задачи на тему «смо многоканальное с отказами».

Согласно данным задачи:

Число контролеров А=k=3

Среднее число изделий В==20изд/час=1/3 изд/минуту

Среднее время на проверку С=t=7 минут

Загруженность Д=Pобс=0,97.

Решение.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

1) Интенсивность потока обслуживания:

2) ρ = λ • t_обс = 20 • 7/60 = 2.33

Интенсивность нагрузки ρ=2.33 показывает степень согласованности входного и выходного потоков поступления на контроль и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид

3) Вероятность, что контролер свободен (доля времени простоя контролера).

Следовательно, 12% в течение часа контролер будет не занят, время простоя равно t_пр = 0,12*60=7.3 мин.

Вероятность того, что проверкой:

занят 1 контролер: p₁ = ρ¹/1!* p₀ = 2.33¹/1! • 0.12 = 0.29

заняты 2 контролера: p₂ = ρ²/2!* p₀ = 2.33²/2! • 0.12 = 0.33

заняты 3 контролера: p₃ = ρ³/3!* p₀ = 2.33³/3! • 0.12 = 0.26

4) Доля изделий, не прошедших контроль.

Значит, 26% из числа поступивших изделий не принимаются к обслуживанию.

5) Вероятность проверки готовой продукции.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.26 = 0.74

Следовательно, 74% из числа поступивших изделий будут обслужены. Но приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 97%.

6) Среднее число контролеров, занятых обслуживанием.

n_з = ρ • p_обс = 2.33 • 0.74 = 1.73

Среднее число простаивающих контролеров.

n_пр = n - n_з = 3 - 1.73 = 1.3

7) Коэффициент занятости контролеров проверкой.

К3=n3/n=1.73/3=0,58

Если на контроль поставить 5 человек, то

, то есть 10% - вероятность того, что контролер свободен, тогда , то есть 6% изделий не пройдут контроль, соответственно

, а 0,940,97, то есть 5 контролеров будет недостаточно для вероятности контроля над изделием в 97%.

Если на контроль поставить 6 человек, то , то есть 9,8% - вероятность того, что контролер свободен, тогда, то есть 2% изделий не пройдут контроль, соответственно

, а 0,970,98, то есть 6 контролеров необходимо поставить, чтобы вероятность проверки изделий была выше 97%.

Ответ: вероятность того, что изделий пройдет проверку при трех контролерах равна 74%, тогда контролеры будут загружены на 58%. Соответсвенно, чтобы вероятность обслуживания была выше 97% нужно поставить 6 контролеров.

3.3. Решение задачи на тему «смо с неограниченной очередью».

Время работы кассы А =11часов/день

Количество в день В= 220 человек/день

Кассиры С=k=2

Среднее обслуживание Д=t= 4 минуты=1/15(часа)

Решение.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО.

1) λ= 220/11=20(человек/час)=1/3 (человека/минута) – скорость обслуживания посетителей.

Интенсивность потока обслуживания:

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид

2) Интенсивность нагрузки: ρ = λ • t_обс = 20 • 4/60 = 1.33

Интенсивность нагрузки ρ=1.33 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Поскольку 1.33<2, то процесс обслуживания стабилен.

3) Вероятность, что кассир свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, около 20% в течение часа кассир будет не занят, то есть время простоя равно t_пр = 60*0,2=12 мин.

4) Доля заявок, получивших отказ.

Поскольку отказ в обслуживании в таких системах не может быть, то p_отк = 0

5) Вероятность обслуживания поступающих заявок: p_обс = Q = 1

6) Среднее число кассиров, занятых обслуживанием: n_з = ρ • p_обс = 1.33 • 1 = 1.33 кассира.

Среднее число простаивающих кассиров: n_пр = n - n_з = 2 - 1.33 = 0.7 кассира.

7. Коэффициент занятости кассиров обслуживанием:

Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность: A = p_обс • λ = 1 • 20 = 20 заявок/час.

9. Среднее время простоя СМО: t_пр = p_отк • t_обс = 0 • 0.0666 = 0 час.

Вероятность образования очереди.

, то есть

10. Среднее число заявок, находащихся в очереди: , то есть

11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания посетителя в очереди):

12. Среднее число обслуживаемых посетилей: L_об = ρ = 1.33

13. Среднее число заявок в системе: L_CMO = L_оч + L_обс = 1.07 + 1.33 = 2.4 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО:

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p₁ = 0 заявок в час.