5.2 Моменты случайных погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.

Начальным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

, (5.12)

представляющий собой математическое ожидание степени х^г.

Из выражения (5.12) непосредственно следует, что первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений

α₁[х] = М[х]. (5.13)

Центральным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

, (5.14)

представляющий собой математическое ожидание r-й степени случайной погрешности.

Можно доказать, что первый центральный момент тождественно равен нулю

. (5.15)

Аналогично строится система моментов для распределения случайных погрешностей. Необходимо отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений

(5.16)

поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю. Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений и обозначаемый D[x]

(5.17)

Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюде­ний и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением (с.к.о.) результатов наблюдений:

(5.18)

С помощью с.к.о. можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность р{| | < ε}.

Для этого запишем выражение для дисперсии случайной погрешности:

.

Если сузить пределы интегрирования, то правая часть равенства возрасти не может. Поэтому имеет место следующее неравенство

.

При замене под знаком интеграла на меньшую величину ε² неравенство может только усилиться

.

Интегралы в квадратных скобках представляют собой, согласно формуле (5.7), вероятности того, что случайная погрешность примет значения, лежащие в интервалах, определяемых пределами интегрирования,

Получаем окончательно

(5.19)

Этот результат известен как неравенство Чебышева.

Полагая ε = 3·δ_Х, найдем вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного с.к.о., т.е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей 3·δ_Х,

.

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит 3·5_Х, составит соответственно .

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно значительно больше 89 %. Так, например, в случае нормального распределения погрешности эта вероятность составляет 99,73 %.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности, распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида , где s = 1,3,5,..., являются нечетными функциями . Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения.

Простейшим из нечетных моментов является третий момент . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень с.к.о. и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию S_k распределения:

. (5.20)

Для иллюстрации сказанного на рисунке 5.4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Рисунок 5.4

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением

. (5.21)

Число 3 вычитают из отношения, потому что для широко распространенного нормального распространения погрешностей . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плоско вершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные − положительным (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

5.3 Равномерное и нормальное распределение случайных погрешностей

Часто бывает заранее известно, что все возможные значения случайной по­грешности средства измерений равновероятны и лежат в пределах некоторого интервала. Распределение таких случайных погрешностей называется равномерным (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Значения дифференциальной функции распределения равномерно распределенной случайной погрешности в интервале [–α;+α] постоянны, а вне этого интервала равны нулю. Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде

(5.22)

Величину с находят из условия, что площадь, заключенная между кривой распределения и осью абсцисс, равна 1

(5.23)

Уравнение для интегральной функции распределения получаем интегрированием дифференциальной функции распределения. До тех пор пока , интеграл равен нулю и F( ) = 0. В пределах интервала [-α;+α]

.

Таким образом, интегральная функция распределения растет линейно со случайной погрешностью от F(A) = 0 при А = –а до F(A) = 1 при А = +а. При прохождении абсциссы через нуль интегральная функция равна 0,5. Этого и следовало ожидать, так как равномерное распределение симметрично. При увеличении случайной погрешности сверх А = +а площадь под кривой распределения сохраняет постоянное значение, равное единице. Окончательное выражение для интегральной функции равномерного распределения следующее

(5.24)

Найдем числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле (5.8)

.

Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле (5.17)

,

. (5.25)

В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю:

;

S_k=0 (5.26)

Для определения эксцесса найдем четвертый момент случайной погрешности:

(5.27)

поэтому

(5.28)

Найдем вероятность попадания случайной погрешности с равномерным законом распределения в заданный интервал [ , ]

(5.29)

В том случае, если интервал [ , ] полностью укладывается в интервале [-α;+α], в котором распределены возможные значения случайных погрешностей, искомая вероятность равна отношению длин этих интервалов. Если же интервал [ , ] находится за границами интервалов распределения [-α;+α], то эта вероятность равна нулю.

Наиболее часто при описании случайных погрешностей встречается распределение, близкое к нормальному, дифференциальная функция которого выражается уравнением

. (5.30)

На рисунке 5.5 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений с.к.о. результатов наблюдений (σ_1x>σ_2x>σ_3x). Из рисунка 5.5 видно, что по мере увеличения с.к.о. распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений. Определим вероятность попадания результата наблюдения в некоторый заданный интервал [х₁; х₂], произведя замену переменных

(5.31)

(5.32)

Интегралы, стоящие в квадратных скобках, не выражаются в элементарных функциях, поэтому их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального распределения дифференциальной функции

(5.33)

В литературе [1-6] приведены значения дифференциальной функции нормированного нормального распределения, а также интегральной функции этого распределения, определяемой

(5.34)

С помощью функции Ф(z) вероятность, определенную по формуле (5.32), находят:

(5.35)

При использовании формулы (5.34) следует иметь в виду тождество

Ф(z)≡1 – Ф(-z) (5.36)

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых знаменитых математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики: Р. де Лаплас, К.Ф.Гаусс, А.М.Ляпунов, П.Л.Чебышев и А. де Муавр. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

5.4. Точечные оценки истинного значения измеряемой величины и с.к.о. на основании ограниченного ряда

наблюдений

Выясним, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, и как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению.

Эта задача является частным случаем оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров:

– оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается к значению оцениваемого параметра;

– оценка называется несмещененной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру;

– оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше любой другой дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно всем этим требованиям, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения.

Получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблюдений состоит из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) х₁ х₂; ...; х_n, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как п независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающим с распределением F(x). Поэтому

М[х_i] = М[х]; D[_Xi] = D[x]; i = l,2,...,n.

В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеряемой величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений

. (5.37)

Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерения и может стать оценкой истинного значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей. Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое само является случайной величиной. Вычислим его математическое ожидание:

. (5.38)

Это значит, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой истинного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки, являющиеся линейными функциями результатов наблюдений

.

Покажем, что среди всех определенных таким образом оценок среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию. Для этого вычислим дисперсию

.

Но квадратичная форма достигает минимума, если все а_ш одинаковы и равны 1/n. Тогда из оценки мы получаем среднее арифметическое х, имеющее, таким образом, дисперсию

, (5.39)

которая меньше дисперсии любой другой линейной оценки. При некоторых определенных видах распределения результатов наблюдений, например, при нормальном распределении, среднее арифметическое является, кроме того, и эффективной оценкой истинного значения.

Таким образом, дисперсия среднего арифметического оказывается в п раз меньше дисперсии результатов наблюдений, или, в терминах с.к.о.,

, (5.40)

т.е. с.к.о. среднего арифметического в раз меньше с.к.о. результата наблюдений. По мере увеличения числа наблюдений стремится к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряда наблюдений сходится по вероятности к математическому ожиданию и является его состоятельной оценкой. Из этого, конечно, не следует, что среднее арифметическое ближе к истинному значению, чем результат каждого отдельного наблюдения. Напротив, некоторые из результатов наблюдений могут быть ближе к Q, но, к сожалению, мы не можем выбрать эти результаты из числа других результатов ряда. Именно поэтому приходится прибегать к определению среднего арифметического.

Логическим следствием оценки истинного значения измеряемой величины средним арифметическим ряда наблюдений является оценка фактических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего арифметического

. (5.41)

По мере увеличения числа наблюдений распределение случайных отклонений результатов наблюдений асимптотически сводится к распределению случайных погрешностей. В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности естественно выбрать величину

. (5.42)

Эта оценка состоятельна, однако она немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

Поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

(5.43)

а оценку с.к.о. результатов наблюдений - как

(5.44)

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, т.е. степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее, являясь случайной величиной, имеет дисперсию, в п раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение

(5.45)

где - с.к.о. результатов наблюдений.