5 Случайные погрешности измерений

5.1 Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдения х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения xj – результаты отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности Р того, что результат наблюдения х_i в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х

F(x) = P{x_i≤x} = P{-∞<x_i≤x} (5.1)

Если рассматривать результат отдельного наблюдения x_i как случайную точку на оси О_х (рисунок 5.1), то значение интегральной функции распределения в точке х численно равно вероятности того, что случайная точка х_i в результате i-го измерения займет некоторое положение левее точки х. Эти вероятности отличаются друг от друга для различных точек х. При перемещении точки х вправо вдоль числовой оси вероятность того, что в результате измерения точка х_i расположится левее х, не может уменьшаться. Следовательно, интегральная функция распределения результатов наблюдений является неубывающей функцией аргумента. При увеличении координаты х событие x_i ≤ x становится все более и более достоверным, а его вероятность приближается к единице. При перемещении точки х влево вдоль числовой оси О_х вероятность события х_i ≤ х может только уменьшаться или оставаться постоянной в некоторых интервалах значений х. При х→∞ вероятность события стремится к нулю.

Рисунок 5.1

Обычно график интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности (рисунок 5.2). Часто при х=х_ср интегральная функция распределения имеет точку перегиба. Тогда, если в точке перегиба интегральная функция распределения принимает значение, равное 0,5, говорят о симметричности (равносторонности) распределения результатов наблюдений.

Рисунок 5.2

Случайная погрешность рассматривается как случайная величина, принимающая в различных опытах различный значения Δ_i. Ее интегральную функцию распределения получаем переносом начала координат в точку х=х_ср

F( ) = P{ _i≤Δ}= p{x_i–x_ср≤x–x_ср}. (5.2)

Более наглядным является описание свойств результатов случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей и обозначаемой через p(Δ). Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной по своему аргументу

. (5.3)

График дифференциальной функции распределения, который называют кривой распределения, чаще всего, имеет колоколообразную форму и обладает максимумом при х=х_ср или, соответственно =0 (рисунок 5.3). От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования первой:

. (5.4)

Рисунок 5.3

Поскольку F(+∞)=1, то справедливо следующее равенство

. (5.5)

Иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице. Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (5.3), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность − величина безразмерная. Используя понятия функций распределения, легко получить выра­жения для вероятностей того, что случайная погрешность примет при проведе­нии измерения некоторое значение в интервале ( ).

В терминах интегральной функции распределения имеем

, (5.6)

т.е. вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения соответствующими плотностями распределения вероятностей согласно выражению (5.4), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения

(5.7)

Таким образом, вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала.

Произведение называют элементом вероятности. Оно равно вероятности того, что случайная величина примет некоторые значения в интервале , и поэтому по форме кривой распределения можно судить о том, какие интервалы значений случайных величин более, а какие менее вероятны. Для кривой распределения случайных погрешностей, изображенной на рисунке 5.3, более вероятны малые значения погрешностей, лежащие вокруг А=0. Вероятность появления больших погрешностей значительно меньше.

Таким образом, результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это даёт основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения и называемой математическим ожиданием результатов наблюдений

. (5.8)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины

Δ_s=M[x]–Q, (5.9)

а случайной погрешностью – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием:

= х-М[х]. (5.10)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = x-Δ_s- . (5.11)