В сапр преимущественно используются формулы вида

z_R=_RU_R + _R, (5.9)

где _Rзависит от порядка метода интегрирования и ве­личины шага дискретизации переменной t(шага интег­рирования); _Rзависит также от значений подвектора фазовых переменных Uна одном или нескольких преды­дущих шагах. Например, простейшая формула численно­го интегрирования имеет вид z_R=(U_R—U_R-1)/h_R,гдеh_R=t_R—t_R-1 —шаг интегрирования.

Систему алгебраических уравнений (5.6)—(5.8)нуж­но решать для каждого выделенного момента времени t_R. Поскольку известны начальные условияt₀и Uo,сначала решается система уравнений для момента времени t₁с неизвестнымиz₁и V₁,далее для момента времени t₂и т. д. На каждом очередном шаге значения Uот предыду­щих шагов известны и, следовательно, определены коэф­фициентом _Rи _Rв формуле (5.9).

Таким образом, исходное описание задачи на входном языке при наличии подпрограмм моделей элементов, подпрограмм численных методов и программ, формирую­щих топологические уравнения, означает задание ММС в виде исходной системы алгебраических уравнений (5.6)—(5.8).Дальнейшие преобразования этой модели обычно направлены на снижение порядка системы урав­нений и приведение ее к виду, принятому в выбранном численном методе решения алгебраических уравнений. Для этих целей используются методы формирования ММС.

5.4.5 Постановки и подходы к решению задач анализа

Требования к методам и алгоритмам анализа. При выборе или разработке метода (алгоритма) анализа, прежде всего, устанавливается область его применения. Чем шире круг задач и ММ, ко­торые объявлены как допустимые для решения данным методом, тем этот метод универсальнее.

В большинстве случаев четкая и однозначная форму­лировка ограничений на применение метода затрудни­тельна. Возможны ситуации, когда оговоренные заранее условия применения метода выполняются, однако удов­летворительное решение задачи не получается. Следова­тельно, вероятность Р успешного применения метода в оговоренном заранее классе задач меньше единицы. Эта вероятность является количественной оценкой важного свойства методов и алгоритмов, называемого надеж­ностью.

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо­димости итерационного процесса, в превышении погреш­ностями предельно допустимых значений и т. п. Причи­нами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных алгебраиче­ских уравнений сходятся только в случае выбора началь­ного приближения в достаточно малой окрестности корня.

В САПР должны применяться надежные методы и алгоритмы. Для повышения надежности часто применя­ют комбинирование различных методов, автоматическую параметрическую настройку методов и т. п. В конечном счете добиваются значений Р, равных или близких к единице. Применение методов с Р<1 хотя и нежелатель­но, но допускается в отдельных частных случаях при обязательном условии, что некорректное решение рас­познается и отсутствует 'опасность принять такое реше­ние за правильное.

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точности и экономичности. Точностьхарактеризуется степенью совпадения точного решения уравнений заданной модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, аэкономичность —затратами вычислительных ресурсов на реализацию метода (алгоритма).

Оценки точности и экономичности могут быть теоре­тическими и экспериментальными.

Теоретические оценки погрешностей, трудоемкости требуемых вычислений и объемов участвующих в пере­работке массивов обычно выполняются при принятии ряда упрощающих предположений о характере использу­емых ММ. Примерами могут служить предположения о гладкости или линейности функциональных зависимос­тей, некоррелированности параметров и т. п. Несмотря на приближенность теоретических оценок, они представ­ляют значительную ценность, так как обычно характери­зуют эффективность применения исследуемого метода не к одной конкретной модели, а к некоторому классу мо­делей. Например, именно теоретические исследования позволяют установить, как зависят затраты машинного времени от размерности и обусловленности ММ при при­менении методов численного интегрирования систем ОДУ.

Однако теоретические оценки удобны, для опреде­ления характера таких зависимостей, но числовые зна­чения показателей эффективности для конкретных слу­чаев могут быть весьма приближенными.

Поэтому находят применение также эксперименталь­ные оценки, основанные на определении показателей эф­фективности на наборе специально составляемых ММ, называемых тестовыми. Тестовые ММ должны отражать характерные особенности моделей того класса объектов, которые являются типичными для рассматриваемой предметной области. Результаты тестирования использу­ются для сравнительной оценки методов и алгоритмов при их выборе для реализации в программном обеспече­нии САПР.

Математическая постановка типовых задач анализа. Рассмотрим математическую формулировку типовых проектных процедур анализа.

Анализ динамических процессов функци­онирования объектов выполняется путем решения систем ОДУ. В общем случае эта система представляется в не­явном виде (5.4) F(dU/dt, U, W, t)=0с известными на­чальными условиями; здесьV= (U,W)—вектор фазо­вых переменных. Для решения системы могут приме­няться как неявные методы, выражаемые формулами типа (5.9),так и явные методы численного интегрирова­ния, для которых связь Z_R-1= (dU/dt)_R-1сU_Rдается формулами типа Z_R-1= _RU_R +_R где_R зависит от ве­личины шагаh_R,a_R —от величины шага h_Rи значений вектора U,вычисленных на одном или нескольких пре­дыдущих шагах интегрирования. Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых переменных Vот t в табличной форме.

Большинство выходных параметров Yпроектируемых объектов являются функционалами зависимостей V(t), например, определенными интегралами, экстремальными значениями, моментами пересечения заданных уровней фазовых переменных. Решение системы (5.4)и расчет выходных параметров-функционалов составляют содер­жание процедуры анализа переходных процессов.

Анализ статических состояний объек­тов также может быть выполнен путем интегрирования уравнений (5.4),но, поскольку в статике dU/dt=0,та­кой анализ может быть сведен к решению систем алге­браических уравнений

F(V)=0. (5.10)

Для решения (5.10)применяют различные итераци­онные методы.

В ряде областей техники часть выходных параметров объектов определяется на основе анализа частот­ных характеристик. При таком анализе, как пра­вило, допустима линеаризация ММ, т. е. система (5.4) может быть представлена в виде

AdU/dt +BU +CW +DU_Bx(t)=0, (5.11)

где А, В, С, D—матрицы с постоянными или зависимыми от времени коэффициентами; U_Bx(t)—заданная вектор-функция, отражающая внешние воздействия на анализи­руемый объект.

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объекта и используя для алгебраизации системы (5.11)преобразование Фурье, приходим к сис­теме линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

jAŪ+BŪ+CŴ+D=0, (5.12)

где Uи W—преобразованные по Фурье векторы Uи W.

Решение системы (5.12)обычно производится мето­дом Гаусса для ряда значений частоты. Полученные зависимости Ũ() представляют собой частотные харак­теристики объекта, по которым определяются такие вы­ходные параметры, как резонансные частоты, полоса пропускания и т.п.

При проектировании систем автоматического управ­ления важное значение имеет задача анализа устойчиво­сти. Анализ устойчивости может быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или ее исследованием в соответствии с известными кри­териями устойчивости.

Анализ чувствительности заключается в определении влияния внутренних и внешних параметров Xiна выходные параметры yj,где i= 1, 2,...,n; j= 1, 2,..., m. Количественная оценка этого влияния представляется матрицей чувствительности А с элементамиа_ji=ду_i/дх_i называемымикоэффициентами чувствительности (влия­ния).Сравнительная оценка влияния различных пара­метров более удобна с помощью относительных коэффи­циентов чувствительности влиянияb_ji=a_jix_{i ном} /y_{i ном}, где x_{i ном} иy_{i ном}—номинальные значения параметровx_iи y_jсоответственно.

Следует отметить, что j-я строка А_jматрицы чувстви­тельности А есть градиент функции y_j(x), т. е. А_j=grad y_j(X) =(ду_j/дх₁, ду_j/дх₂ ..., ду_j,/дх_п).

Наиболее универсальный метод анализа чувствитель­ности—метод приращений—основан на численном диф­ференцировании функцийy_j(X).

Статистический анализ выполняется с целью получения тех или иных сведений о распределении па­раметров y_jпри задании статистических сведений о па­раметрах x_i.Результаты статистического анализа могут быть представлены в виде гистограмм распределенияy_j , оценок числовых характеристик распределений (матема­тического ожидания, дисперсии, квантилей и интерквантильных широт). Основной метод статистического ана­лиза в САПР—метод статистических испытаний (метод Монте—Карло).

Выбор численных методов для решения задач анализа.Как видно из рисунке 5.12,большинство задач анализа в САПР сводится к решению систем уравнений алгебраи­ческих и обыкновенных дифференциальных.

Для решения систем нелинейных алгеб­раических уравнений применяют итерационные методы. Главными показателями эффективности этих ме­тодов являются вероятность и скорость сходимости ите­раций к корню системы.

Наибольшей скоростью сходимости среди применяе­мых в САПР методов обладает метод Ньютона,основан­ный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы. Однако метод Ньютона име­ет ограниченную область сходимости—итерации сходятся, если начальное приближение было выбрано в доста­точно малой окрестности корня. Но заранее не известны ни положение корня, ни размеры области сходимости.

Поэтому в САПР находят применение также итера­ционные методы, для которых имеются сравнительно про­стые способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов —меньшая скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. Основны­ми представителями этих методов являютсярелаксаци­онные методы.

Среди других методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений в САПР находят применение:

метод установления,заключающийся в сведении задачи(5.10)к системе ОДУ, решаемой методами численного интегрирования;метод продолжениярешения но пара­метру, заключающийся в многократном решении задачи(5.10),например методом Ньютона при управлении по­ложением области сходимости с помощью некоторого параметра;методы оптимизации,заключающиеся в ми­нимизации нормы вектора навязок ||F(V)||,так как оче­видно, что в точке корня эта норма минимальна и равна нулю.

Основным методом решения нелинейных алгебраиче­ских уравнений в САПР следует считать метод Ньюто­на, используемый в рамках метода установления или ме­тода продолжения решения по параметру.

Для решения систем линейных алгебраиче­ских уравнений (ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования в основном ис­пользуется метод Гаусса,заключающийся в последова­тельном исключении неизвестных исходной системы. В задачах автоматизированного проектирования, харак­теризующихся большой размерностью, метод Гаусса следует применять при учете свойства разреженности матриц коэффициентов, иначе затраты машинных вре­мени и памяти могут оказаться чрезмерно большими, В первую очередь это относится к системам уравнений, получаемым в результате дискретизации и алгебраизации дифференциальных уравнений в частных производ­ных, поскольку порядокрсистемы алгебраических урав­нений здесь может достигать значений 10³и выше. Так, при р=10³полная матрица коэффициентов состоит изI0⁶элементов. Однако разреженность матриц в таких системах, оцениваемая количеством нулевых элементов, отнесенным к общему числу элементов, близка к единице. Благодаря этому учет разреженности позволяет ре­шать системы ЛАУ порядка 10³…10⁴с приемлемыми за­тратами вычислительных ресурсов.

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Боль­шинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интег­рирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результа­тов, колебанию числового решения вокруг истинного с нарастающей амплитудой, что обычно приводит к пере­полнению разрядной сетки ЭВМ и прекращению вычис­лений.

Явные методынаиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на од­ном шаге интегрирования. Однако для соблюдения усло­вий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что увеличившееся число шагов может сделать недопус­тимо большими общие затраты машинного времени. По­этому явные методы, к которым относятся известные ме­тоды Адамса —Башфорта и явные варианты метода Рунге—Кутта, оказываются малонадежными и в САПР находят ограниченное применение.

Основными методами численного интегрирования сис­тем ОДУ в САПР стали неявные методы.Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычисле­ний при любом шаге h>0.Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется применять неявные методы второго порядка точности или методы с автоматически меняющимся порядком, так как именно эти методы обеспечивают наилучшее компромис­сное удовлетворение противоречивых требований к точ­ности и быстроте вычислений.

Особенности постановки и решения задач анализа на метауровне. На метауровне используется укрупненное математическое описание исследуемых объектов.

Одним из наиболее общих подходов к анализу объ­ектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем ав­томатического управления. В рамках этого подхода при­нимается ряд упрощающих предположений. Во-первых, на метауровне, как и на макроуровне, объект представ­ляется в виде совокупности элементов, связанных друг с другом ограниченным числом связей. При этом для каждого элемента связи разделяются на входы и выходы. Во-вторых, элементы считаются однонаправленными, т. е. такими, в которых входные сигналы могут переда­ваться к выходам, но сигналы на выходах не могут вли­ять на состояние входов через внутренние связи элемен­та. Сигналами при этом называют изменения фазовых переменных. В-третьих, состояния любого выхода не за­висят от нагрузки, т. е. от количества и вида элементов, подключенных к этому выходу. В-четвертых, состояние любой связи характеризуется не двумя, а одной фазо­вой переменной (типа потенциала или типа потока), что непосредственно вытекает из предыдущего допущения.

Принятие подобных допущений приводит к упроще­нию математических моделей элементов и методов полу­чения математических моделей систем.

Математическая модель системы при функциональном моделировании представляет собой систему ОДУ, полу­чаемую непосредственным объединением математических моделей элементов. Такое объединение выражается в отождествлении фазовых переменных у соединяемых вхо­дов и выходов. Численные методы решения ОДУ приме­нительно к моделям мета- и макроуровня аналогичны.

Функциональное моделирование широко использует­ся для моделирования и анализа аналоговой радиоэлект­ронной аппаратуры; систем автоматического управления и регулирования с элементами не только электрической, но и иной природы; энергетических систем, функциони­рование которых связано с передачей между частями систем энергии, количества движения, давления и т. п.

Другим достаточно общим подходом к анализу объ­ектов на метауровне является их представление моде­лями систем массового обслуживания (СМО). Модели СМО применимы во всех тех случаях, когда исследуемый объект предназначен для обслужива­ния многих заявок, поступающих в СМО в нерегуляр­ные моменты времени. Особенностью моделей СМО яв­ляется наличие в них элементов двух различных типов:

обслуживающих аппаратов, иначе называемых ресурса­ми, и заявок, называемых также транзактами.

Примеры технических систем, представимых моделями СМО.

К техническим системам, представимым моделями СМО относят:

цехи и производственные участки, в которых обслуживающими аппаратами являются рабочие места и единицы оборудования, а заявками — отдельные детали, партии деталей, порции про­дукта и т. п.;

автоматизированные системы управления;

вычислительные сети и системы, в том числе структуры технического обеспечения САПР (здесь в качестве обслуживающих аппаратов могут выступать отдельные ЭВМ и их устройства, а в качестве заявок — решаемые задачи).

Модели СМО должны описывать процессы прохож­дения заявок через СМО. Состояние системы в каждый момент времени выражается совокупностью переменных (аналогов фазовых переменных), имеющих преимущест­венно дискретный характер. Так, состояние обслуживаю­щего аппарата описывается переменной v,которая мо­жет принимать одно из двух возможных значений —«сво­боден», «занят», а также длинами очередей на входах обслуживающего аппарата. Очередей может быть не­сколько, если в СМО фигурируют заявки нескольких раз­личных типов (приоритетов). Состояние каждой заявки описывается переменной, значениями которой могут быть «обслуживание», «ожидание». Результатом анализа СМО должны быть значения выходных параметров (типичны­ми выходными параметрами являются производитель­ность СМО, среднее и максимальное времена обслужива­ния заявок, средние длины очередей и коэффициенты загрузки обслуживающих аппаратов, вероятности обслу­живания заявок за время не выше заданного и т. п.). Исходные данные при моделировании выражаются па­раметрами обслуживающих аппаратов и параметрами ис­точников заявок. Обычно модели обслуживающих аппа­ратов и источников заявок представляют собой законы распределения таких величин, как время обслуживания заявки, интервал времени между появлениями заявок. Поэтому внутренними и внешними параметрами, значе­ния которых указываются в исходных данных, являются параметры этих законов распределения. Получение ис­ходных данных и обеспечение их достоверности —важ­ная проблема анализа объектов на метауровне.

Математические модели СМО могут быть аналитиче­скими и имитационными.

Аналитическая модельСМО представляет собой со­вокупность явных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Однако получение аналитических моделей оказывается возможным лишь в отдельных частных случаях сравнительно простых СМО. В общем случае используются имитационные модели, не­смотря на значительные затраты вычислительных ресур­сов, связанные с их реализацией.

Имитационная модельСМО представляет собой ал­горитм, описывающий изменения переменных состояния на моделируемом отрезке времени. Предполагается, что изменение состояния любой переменной, называемое со­бытием, происходит мгновенно в некоторый момент вре­мени. Имитационное моделирование СМО —воспроизведение последовательности событии в системе при вероят­ностном характере параметров системы. Имитация функ­ционирования системы при совершении большого числа событий позволяет произвести статистическую обработку накопленных результатов и оценить значения выходных параметров, примеры которых указаны выше.

Алгоритм имитационного моделирования СМО мож­но кратко описать следующим образом. Опрашиваются входные источники заявок, в результате определяются моменты появления заявок на входах СМО. Сведения об этих событиях заносятся в список событий, который упорядочен по моментам наступления событий. Далее процесс имитации управляется списком событий. Из это­го списка выбирается ближайшее по времени совершения событие и имитируется продвижение в СМО заявки, свя­занной с этим событием. Продвижение имитируется до тех пор, пока заявка не окажется задержанной в неко­тором обслуживающем аппарате. Если при этом заявка входит в состояние «обслуживание», то по математиче­ской модели обслуживающего аппарата определяется длительность обслуживания и, следовательно, становит­ся предвидимым момент наступления очередного собы­тия, связанного с этой заявкой. Сведения об этом буду­щем событии заносятся в список событии. Далее анало­гичным образом выбирается ближайшее событие из спис­ка событий и производится имитация поведения заявки, связанной с этим событием, и т. д. В процессе прохож­дения заявок по СМО накапливаются данные, необходи­мые для последующего расчета выходных параметров.

С помощью имитационного моделирования инженер, проектирующий систему, может подобрать удовлетворя­ющий его вариант, изменяя дисциплины обслуживания заявок, варьируя параметры обслуживающих аппаратов, их количество, способы соединения в систему.