Скачиваний:
107
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
372.22 Кб
Скачать

В сапр преимущественно используются формулы вида

zR=RUR + R, (5.9)

где Rзависит от порядка метода интегрирования и ве­личины шага дискретизации переменной t(шага интег­рирования); Rзависит также от значений подвектора фазовых переменных Uна одном или нескольких преды­дущих шагах. Например, простейшая формула численно­го интегрирования имеет вид zR=(URUR-1)/hR,гдеhR=tRtR-1шаг интегрирования.

Систему алгебраических уравнений (5.6)—(5.8)нуж­но решать для каждого выделенного момента времени tR. Поскольку известны начальные условияt0и Uo,сначала решается система уравнений для момента времени t1с неизвестнымиz1и V1,далее для момента времени t2и т. д. На каждом очередном шаге значения Uот предыду­щих шагов известны и, следовательно, определены коэф­фициентом Rи Rв формуле (5.9).

Таким образом, исходное описание задачи на входном языке при наличии подпрограмм моделей элементов, подпрограмм численных методов и программ, формирую­щих топологические уравнения, означает задание ММС в виде исходной системы алгебраических уравнений (5.6)—(5.8).Дальнейшие преобразования этой модели обычно направлены на снижение порядка системы урав­нений и приведение ее к виду, принятому в выбранном численном методе решения алгебраических уравнений. Для этих целей используются методы формирования ММС.

5.4.5 Постановки и подходы к решению задач анализа

Требования к методам и алгоритмам анализа. При выборе или разработке метода (алгоритма) анализа, прежде всего, устанавливается область его применения. Чем шире круг задач и ММ, ко­торые объявлены как допустимые для решения данным методом, тем этот метод универсальнее.

В большинстве случаев четкая и однозначная форму­лировка ограничений на применение метода затрудни­тельна. Возможны ситуации, когда оговоренные заранее условия применения метода выполняются, однако удов­летворительное решение задачи не получается. Следова­тельно, вероятность Р успешного применения метода в оговоренном заранее классе задач меньше единицы. Эта вероятность является количественной оценкой важного свойства методов и алгоритмов, называемого надеж­ностью.

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо­димости итерационного процесса, в превышении погреш­ностями предельно допустимых значений и т. п. Причи­нами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных алгебраиче­ских уравнений сходятся только в случае выбора началь­ного приближения в достаточно малой окрестности корня.

В САПР должны применяться надежные методы и алгоритмы. Для повышения надежности часто применя­ют комбинирование различных методов, автоматическую параметрическую настройку методов и т. п. В конечном счете добиваются значений Р, равных или близких к единице. Применение методов с Р<1 хотя и нежелатель­но, но допускается в отдельных частных случаях при обязательном условии, что некорректное решение рас­познается и отсутствует 'опасность принять такое реше­ние за правильное.

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точности и экономичности. Точностьхарактеризуется степенью совпадения точного решения уравнений заданной модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, аэкономичностьзатратами вычислительных ресурсов на реализацию метода (алгоритма).

Оценки точности и экономичности могут быть теоре­тическими и экспериментальными.

Теоретические оценки погрешностей, трудоемкости требуемых вычислений и объемов участвующих в пере­работке массивов обычно выполняются при принятии ряда упрощающих предположений о характере использу­емых ММ. Примерами могут служить предположения о гладкости или линейности функциональных зависимос­тей, некоррелированности параметров и т. п. Несмотря на приближенность теоретических оценок, они представ­ляют значительную ценность, так как обычно характери­зуют эффективность применения исследуемого метода не к одной конкретной модели, а к некоторому классу мо­делей. Например, именно теоретические исследования позволяют установить, как зависят затраты машинного времени от размерности и обусловленности ММ при при­менении методов численного интегрирования систем ОДУ.

Однако теоретические оценки удобны, для опреде­ления характера таких зависимостей, но числовые зна­чения показателей эффективности для конкретных слу­чаев могут быть весьма приближенными.

Поэтому находят применение также эксперименталь­ные оценки, основанные на определении показателей эф­фективности на наборе специально составляемых ММ, называемых тестовыми. Тестовые ММ должны отражать характерные особенности моделей того класса объектов, которые являются типичными для рассматриваемой предметной области. Результаты тестирования использу­ются для сравнительной оценки методов и алгоритмов при их выборе для реализации в программном обеспече­нии САПР.

Математическая постановка типовых задач анализа. Рассмотрим математическую формулировку типовых проектных процедур анализа.

Анализ динамических процессов функци­онирования объектов выполняется путем решения систем ОДУ. В общем случае эта система представляется в не­явном виде (5.4) F(dU/dt, U, W, t)=0с известными на­чальными условиями; здесьV= (U,W)—вектор фазо­вых переменных. Для решения системы могут приме­няться как неявные методы, выражаемые формулами типа (5.9),так и явные методы численного интегрирова­ния, для которых связь ZR-1= (dU/dt)R-1сURдается формулами типа ZR-1= RUR +R гдеR зависит от ве­личины шагаhR,aR от величины шага hRи значений вектора U,вычисленных на одном или нескольких пре­дыдущих шагах интегрирования. Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых переменных Vот t в табличной форме.

Большинство выходных параметров Yпроектируемых объектов являются функционалами зависимостей V(t), например, определенными интегралами, экстремальными значениями, моментами пересечения заданных уровней фазовых переменных. Решение системы (5.4)и расчет выходных параметров-функционалов составляют содер­жание процедуры анализа переходных процессов.

Анализ статических состояний объек­тов также может быть выполнен путем интегрирования уравнений (5.4),но, поскольку в статике dU/dt=0,та­кой анализ может быть сведен к решению систем алге­браических уравнений

F(V)=0. (5.10)

Для решения (5.10)применяют различные итераци­онные методы.

В ряде областей техники часть выходных параметров объектов определяется на основе анализа частот­ных характеристик. При таком анализе, как пра­вило, допустима линеаризация ММ, т. е. система (5.4) может быть представлена в виде

AdU/dt +BU +CW +DUBx(t)=0, (5.11)

где А, В, С, D—матрицы с постоянными или зависимыми от времени коэффициентами; UBx(t)—заданная вектор-функция, отражающая внешние воздействия на анализи­руемый объект.

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объекта и используя для алгебраизации системы (5.11)преобразование Фурье, приходим к сис­теме линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

jAŪ+BŪ+CŴ+D=0, (5.12)

где Uи W—преобразованные по Фурье векторы Uи W.

Решение системы (5.12)обычно производится мето­дом Гаусса для ряда значений частоты. Полученные зависимости Ũ() представляют собой частотные харак­теристики объекта, по которым определяются такие вы­ходные параметры, как резонансные частоты, полоса пропускания и т.п.

При проектировании систем автоматического управ­ления важное значение имеет задача анализа устойчиво­сти. Анализ устойчивости может быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или ее исследованием в соответствии с известными кри­териями устойчивости.

Анализ чувствительности заключается в определении влияния внутренних и внешних параметров Xiна выходные параметры yj,где i= 1, 2,...,n; j= 1, 2,..., m. Количественная оценка этого влияния представляется матрицей чувствительности А с элементамиаji=дуi/дхi называемымикоэффициентами чувствительности (влия­ния).Сравнительная оценка влияния различных пара­метров более удобна с помощью относительных коэффи­циентов чувствительности влиянияbji=ajixi ном /yi ном, где xi ном иyi ном—номинальные значения параметровxiи yjсоответственно.

Следует отметить, что j-я строка Аjматрицы чувстви­тельности А есть градиент функции yj(x), т. е. Аj=grad yj(X) =(дуj/дх1, дуj/дх2 ..., дуj,/дхп).

Наиболее универсальный метод анализа чувствитель­ности—метод приращений—основан на численном диф­ференцировании функцийyj(X).

Статистический анализ выполняется с целью получения тех или иных сведений о распределении па­раметров yjпри задании статистических сведений о па­раметрах xi.Результаты статистического анализа могут быть представлены в виде гистограмм распределенияyj , оценок числовых характеристик распределений (матема­тического ожидания, дисперсии, квантилей и интерквантильных широт). Основной метод статистического ана­лиза в САПР—метод статистических испытаний (метод Монте—Карло).

Выбор численных методов для решения задач анализа.Как видно из рисунке 5.12,большинство задач анализа в САПР сводится к решению систем уравнений алгебраи­ческих и обыкновенных дифференциальных.

Для решения систем нелинейных алгеб­раических уравнений применяют итерационные методы. Главными показателями эффективности этих ме­тодов являются вероятность и скорость сходимости ите­раций к корню системы.

Наибольшей скоростью сходимости среди применяе­мых в САПР методов обладает метод Ньютона,основан­ный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы. Однако метод Ньютона име­ет ограниченную область сходимости—итерации сходятся, если начальное приближение было выбрано в доста­точно малой окрестности корня. Но заранее не известны ни положение корня, ни размеры области сходимости.

Поэтому в САПР находят применение также итера­ционные методы, для которых имеются сравнительно про­стые способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов —меньшая скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. Основны­ми представителями этих методов являютсярелаксаци­онные методы.

Среди других методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений в САПР находят применение:

метод установления,заключающийся в сведении задачи(5.10)к системе ОДУ, решаемой методами численного интегрирования;метод продолжениярешения но пара­метру, заключающийся в многократном решении задачи(5.10),например методом Ньютона при управлении по­ложением области сходимости с помощью некоторого параметра;методы оптимизации,заключающиеся в ми­нимизации нормы вектора навязок ||F(V)||,так как оче­видно, что в точке корня эта норма минимальна и равна нулю.

Основным методом решения нелинейных алгебраиче­ских уравнений в САПР следует считать метод Ньюто­на, используемый в рамках метода установления или ме­тода продолжения решения по параметру.

Для решения систем линейных алгебраиче­ских уравнений (ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования в основном ис­пользуется метод Гаусса,заключающийся в последова­тельном исключении неизвестных исходной системы. В задачах автоматизированного проектирования, харак­теризующихся большой размерностью, метод Гаусса следует применять при учете свойства разреженности матриц коэффициентов, иначе затраты машинных вре­мени и памяти могут оказаться чрезмерно большими, В первую очередь это относится к системам уравнений, получаемым в результате дискретизации и алгебраизации дифференциальных уравнений в частных производ­ных, поскольку порядокрсистемы алгебраических урав­нений здесь может достигать значений 103и выше. Так, при р=103полная матрица коэффициентов состоит изI06элементов. Однако разреженность матриц в таких системах, оцениваемая количеством нулевых элементов, отнесенным к общему числу элементов, близка к единице. Благодаря этому учет разреженности позволяет ре­шать системы ЛАУ порядка 103…104с приемлемыми за­тратами вычислительных ресурсов.

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Боль­шинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интег­рирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результа­тов, колебанию числового решения вокруг истинного с нарастающей амплитудой, что обычно приводит к пере­полнению разрядной сетки ЭВМ и прекращению вычис­лений.

Явные методынаиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на од­ном шаге интегрирования. Однако для соблюдения усло­вий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что увеличившееся число шагов может сделать недопус­тимо большими общие затраты машинного времени. По­этому явные методы, к которым относятся известные ме­тоды Адамса —Башфорта и явные варианты метода Рунге—Кутта, оказываются малонадежными и в САПР находят ограниченное применение.

Основными методами численного интегрирования сис­тем ОДУ в САПР стали неявные методы.Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычисле­ний при любом шаге h>0.Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется применять неявные методы второго порядка точности или методы с автоматически меняющимся порядком, так как именно эти методы обеспечивают наилучшее компромис­сное удовлетворение противоречивых требований к точ­ности и быстроте вычислений.

Особенности постановки и решения задач анализа на метауровне. На метауровне используется укрупненное математическое описание исследуемых объектов.

Одним из наиболее общих подходов к анализу объ­ектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем ав­томатического управления. В рамках этого подхода при­нимается ряд упрощающих предположений. Во-первых, на метауровне, как и на макроуровне, объект представ­ляется в виде совокупности элементов, связанных друг с другом ограниченным числом связей. При этом для каждого элемента связи разделяются на входы и выходы. Во-вторых, элементы считаются однонаправленными, т. е. такими, в которых входные сигналы могут переда­ваться к выходам, но сигналы на выходах не могут вли­ять на состояние входов через внутренние связи элемен­та. Сигналами при этом называют изменения фазовых переменных. В-третьих, состояния любого выхода не за­висят от нагрузки, т. е. от количества и вида элементов, подключенных к этому выходу. В-четвертых, состояние любой связи характеризуется не двумя, а одной фазо­вой переменной (типа потенциала или типа потока), что непосредственно вытекает из предыдущего допущения.

Принятие подобных допущений приводит к упроще­нию математических моделей элементов и методов полу­чения математических моделей систем.

Математическая модель системы при функциональном моделировании представляет собой систему ОДУ, полу­чаемую непосредственным объединением математических моделей элементов. Такое объединение выражается в отождествлении фазовых переменных у соединяемых вхо­дов и выходов. Численные методы решения ОДУ приме­нительно к моделям мета- и макроуровня аналогичны.

Функциональное моделирование широко использует­ся для моделирования и анализа аналоговой радиоэлект­ронной аппаратуры; систем автоматического управления и регулирования с элементами не только электрической, но и иной природы; энергетических систем, функциони­рование которых связано с передачей между частями систем энергии, количества движения, давления и т. п.

Другим достаточно общим подходом к анализу объ­ектов на метауровне является их представление моде­лями систем массового обслуживания (СМО). Модели СМО применимы во всех тех случаях, когда исследуемый объект предназначен для обслужива­ния многих заявок, поступающих в СМО в нерегуляр­ные моменты времени. Особенностью моделей СМО яв­ляется наличие в них элементов двух различных типов:

обслуживающих аппаратов, иначе называемых ресурса­ми, и заявок, называемых также транзактами.

Примеры технических систем, представимых моделями СМО.

К техническим системам, представимым моделями СМО относят:

цехи и производственные участки, в которых обслуживающими аппаратами являются рабочие места и единицы оборудования, а заявками — отдельные детали, партии деталей, порции про­дукта и т. п.;

автоматизированные системы управления;

вычислительные сети и системы, в том числе структуры технического обеспечения САПР (здесь в качестве обслуживающих аппаратов могут выступать отдельные ЭВМ и их устройства, а в качестве заявок — решаемые задачи).

Модели СМО должны описывать процессы прохож­дения заявок через СМО. Состояние системы в каждый момент времени выражается совокупностью переменных (аналогов фазовых переменных), имеющих преимущест­венно дискретный характер. Так, состояние обслуживаю­щего аппарата описывается переменной v,которая мо­жет принимать одно из двух возможных значений —«сво­боден», «занят», а также длинами очередей на входах обслуживающего аппарата. Очередей может быть не­сколько, если в СМО фигурируют заявки нескольких раз­личных типов (приоритетов). Состояние каждой заявки описывается переменной, значениями которой могут быть «обслуживание», «ожидание». Результатом анализа СМО должны быть значения выходных параметров (типичны­ми выходными параметрами являются производитель­ность СМО, среднее и максимальное времена обслужива­ния заявок, средние длины очередей и коэффициенты загрузки обслуживающих аппаратов, вероятности обслу­живания заявок за время не выше заданного и т. п.). Исходные данные при моделировании выражаются па­раметрами обслуживающих аппаратов и параметрами ис­точников заявок. Обычно модели обслуживающих аппа­ратов и источников заявок представляют собой законы распределения таких величин, как время обслуживания заявки, интервал времени между появлениями заявок. Поэтому внутренними и внешними параметрами, значе­ния которых указываются в исходных данных, являются параметры этих законов распределения. Получение ис­ходных данных и обеспечение их достоверности —важ­ная проблема анализа объектов на метауровне.

Математические модели СМО могут быть аналитиче­скими и имитационными.

Аналитическая модельСМО представляет собой со­вокупность явных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Однако получение аналитических моделей оказывается возможным лишь в отдельных частных случаях сравнительно простых СМО. В общем случае используются имитационные модели, не­смотря на значительные затраты вычислительных ресур­сов, связанные с их реализацией.

Имитационная модельСМО представляет собой ал­горитм, описывающий изменения переменных состояния на моделируемом отрезке времени. Предполагается, что изменение состояния любой переменной, называемое со­бытием, происходит мгновенно в некоторый момент вре­мени. Имитационное моделирование СМО —воспроизведение последовательности событии в системе при вероят­ностном характере параметров системы. Имитация функ­ционирования системы при совершении большого числа событий позволяет произвести статистическую обработку накопленных результатов и оценить значения выходных параметров, примеры которых указаны выше.

Алгоритм имитационного моделирования СМО мож­но кратко описать следующим образом. Опрашиваются входные источники заявок, в результате определяются моменты появления заявок на входах СМО. Сведения об этих событиях заносятся в список событий, который упорядочен по моментам наступления событий. Далее процесс имитации управляется списком событий. Из это­го списка выбирается ближайшее по времени совершения событие и имитируется продвижение в СМО заявки, свя­занной с этим событием. Продвижение имитируется до тех пор, пока заявка не окажется задержанной в неко­тором обслуживающем аппарате. Если при этом заявка входит в состояние «обслуживание», то по математиче­ской модели обслуживающего аппарата определяется длительность обслуживания и, следовательно, становит­ся предвидимым момент наступления очередного собы­тия, связанного с этой заявкой. Сведения об этом буду­щем событии заносятся в список событии. Далее анало­гичным образом выбирается ближайшее событие из спис­ка событий и производится имитация поведения заявки, связанной с этим событием, и т. д. В процессе прохож­дения заявок по СМО накапливаются данные, необходи­мые для последующего расчета выходных параметров.

С помощью имитационного моделирования инженер, проектирующий систему, может подобрать удовлетворя­ющий его вариант, изменяя дисциплины обслуживания заявок, варьируя параметры обслуживающих аппаратов, их количество, способы соединения в систему.

Соседние файлы в папке Автоматизация технологического проектирования (пособие)