- •Расчет частотных фильтров по рабочим параметрам
- •15.1 Основные понятия
- •15.2 Характеристики фильтров низких частот.
- •Фильтр низких частот с характеристикой Баттерворта.
- •Фильтр низких частот с характеристикой Чебышева.
- •Фильтр с характеристикой Золотарева.
- •Понятие о каталоге нормированных схем.
- •Описание таблиц.
- •Пересчет схемы на новую нагрузку и ширину полосы пропускания.
- •Синтез фнч с помощью каталога схем.
- •Пример синтеза фнч
- •Фильтр нижних частот.
- •Пример расчета фвч.
Фильтр низких частот с характеристикой Чебышева.
В отличие от фильтра Баттерворта фильтр Чебышева в полосе пропускания (0≤ω≤1) график рабочего затухания имеет не монотонный, а колебательный характер, причем размах (амплитуда) колебаний на всем протяжение полосы пропускания остаются одинаковыми. По этой причине характеристику Чебышева называют равномерно-колебательной в полосе пропускания.
За пределами полосы пропускания рабочее затухание фильтра с характеристикой Чебышева монотонно возрастает по мере увеличения частоты.
Формула частотной зависимости рабочего затухания фильтра с характеристикой Чебышева имеет вид
где ε - некоторая постоянная величина, как правило, не превышающая единицы; Tn(ω) – так называемый полином (многочлен) Чебышева (назван по имени великого русского математика II. Л. Чебышева, который создал теорию таких полиномов); ω - независимая переменная или аргумент полинома (в нашем случае круговая частота), а индекс п обозначает порядок полинома. Порядок п численно равен высшей степени переменной ω в составе полинома и количеству реактивных элементов в схеме фильтра.
Полиномы Чебышева нулевого, первого и второго порядков соответственно имеют вид: T0(ω) = 1; T1(ω) = ω; T2(ω) = 2ω2-1. Полиномы более высоких порядков можно найти с помощью формулы Tn+1(ω) = 2ω Tn(ω) – Tn-1(ω).
Например, T3(ω) = 2ω T2(ω) – T1(ω)=2ω(2ω2-1)-ω=4ω3-3ω.
Графики полиномов Чебышева первого, второго и третьего порядков для интервала -1≤ω≤1 приведены ниже:
Легко заметить, что при изменении круговой частоты ω от 0 до 1 численное значение квадрата полинома Чебышева будет изменяться в пределах от 0 до 1, оставаясь все время положительной величиной. Максимальное значение выражения под знаком логарифма в полосе пропускания будет (1+ε2), а максимальная величина рабочего затухания в полосе пропускания соответственно равна:
aр макс = ∆ aр = 10lg(1+ε2).
Таким образом, от численного значения ε зависит величина неравномерности рабочего затухания фильтра в полосе пропускания. При уменьшении величины ε неравномерность рабочего затухания фильтра в полосе пропускания уменьшается, т. е. характеристика фильтра становится лучше. Но улучшение характеристики достигается не даром: уменьшение ε при заданном п приводит также к уменьшению рабочего затухания фильтра в полосе задерживания [при ω>1 функция T2n(ω) по мере увеличения частоты быстро возрастает и затухание фильтра практически определяется величиной выражения ε2T2n (ω)].
От численного значения порядка характеристики п зависит количество «всплесков» (максимумов) характеристики затухания в полосе пропускания, а также величина затухания в полосе задерживании. Чем больше порядок п при заданных ε и ω, тем больше рабочее затухание фильтра в полосе задерживания. Влияние порядка п на характеристику затухания поясняется в рисунке выше.
Фильтр с характеристикой Золотарева.
Мы установили, что рабочее затухание фильтра НЧ с характеристикой Баттерворта монотонно возрастает как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Затухание фильтра с характеристикой Чебышева изменяется по равномерно-колебательному закону в полосе пропускания и монотонно - в полосе задерживания.
Еще более сложный вид имеет график рабочего затухания фильтра с характеристикой Золотарева. У такого фильтра характеристика рабочего затухания является равномерно-колебательной не только в полосе пропускания, но и в рабочей полосе задерживания, где рабочее затухание на некоторых частотах становится бесконечно большим, а в промежутках между этими частотами уменьшается до некоторой величины aр.мии.
При одном и том же количестве элементов в схемах фильтров Баттерворта, Чебышева и Золотарева и при одинаковой неравномерности затухания в полосе пропускания фильтр Золотарева обеспечивает наибольшую крутизну графика рабочего затухания в переходной полосе от полосы пропускания к полосе задерживания. Следовательно, при заданном значении граничной круговой частоты рабочей полосы задерживания ω3 фильтр Золотарева обеспечит при ω = ω3 наибольшую величину затухания по сравнению с двумя другими фильтрами. Фильтр Чебышева обеспечивает меньшую величину затухания, чем фильтр Золотарева, а фильтр Баттерворта—меньшую, чем фильтр Чебышева.
В то же время фильтр Золотарева имеет более сложную схему, а его характеристика затухания более чувствительна к отклонениям величин элементов от их номинальных (расчетных) значений, нежели характеристики двух других фильтров.
В свою очередь, при заданном порядке передаточной функции n фильтр Баттерворта обеспечивает наименьшие искажения формы импульсов при их передаче.
Фазовые характеристики фильтров НЧ.
Формула частотной зависимости рабочей фазовой постоянной фильтра НЧ имеет более сложный вид, чем формула рабочего затухания.
Рабочая фазовая постоянная фильтра НЧ при нулевой частоте равна нулю, а по мере увеличения частоты монотонно растет, достигая при ω->∞ величины радиан, где n - порядок передаточной функции.
При граничной частоте рабочей полосы пропускания величина bp составляет примерно половину указанного выше значения.
Каталоги нормированных схем фильтров НЧ.
Понятие о синтезе схемы фильтра. Все задачи расчета электрических цепей, с которыми встречаемся в теории связи по проводам, можно разбить на две группы: определение электрических характеристик некоторой заданной цепи, или задача анализа цепи, и получение (разработка) схемы электрической цепи по заданным ее электрическим характеристикам, или задача синтеза цепи. В частности, процедура получения схемы электрического частотного фильтра (включая численные значения ее элементов) по заданной частотной зависимости рабочего затухания называется синтезом фильтра.
Решение задачи синтеза фильтра основано на сложном математическом аппарате и выходит за рамки данного курса. Однако сама идея синтеза достаточно проста, и ее можно отразить в виде следующей условной записи:
Основы синтеза фильтра по рабочей передаточной функции были разработаны в конце 30-х годов прошлого столетия, накануне второй мировой войны. Один метод был предложен немецким ученым В. Кауэром, а другой - американским специалистом в области теории цепей С. Дарлингтоном. В обоих случаях для реализации передаточной функции n-го порядка требуется находить корни вспомогательного алгебраического уравнения степени 2n, причем корни должны быть найдены не менее чем с шестью и даже восемью значащими цифрами. Метод синтеза, не требующий вычисления корней вспомогательного уравнения, был предложен только в 1973 г А.Поповым, не требующим вычисления корней вспомогательных уравнений.
Решение алгебраического уравнения высокой степени представляет собой очень трудоемкую задачу, поэтому синтез фильтров по рабочей передаточной функции не получал распространения в инженерной практике до тех пор, пока были изобретены быстродействующие электронные вычислительные машины (ЭВМ). Но даже после появления и широкого распространения ЭВМ синтез фильтров по рабочей передаточной функции оставался практически недоступным широкому кругу инженеров и техников по причине отсутствия специальных знаний и программ машинного счета.
Между тем было замечено, что в инженерной практике находит применение довольно ограниченное количество типов передаточных функций. Возникла идея: раз и навсегда рассчитать схемы наиболее употребительных фильтров с помощью ЭВМ и представить результаты расчета в виде каталога схем.
Один из первых в мировой практике каталогов схем был составлен советским инженером М.Е.Альбацем и издан в нашей стране и 1963 г.