т.е. вероятности pi (t) распределены по закону Пуассона с параметром λt . В связи с этим простейший поток называют пуассоновским потоком.

обслуживания, которая означает среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени. При этом под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых друг за другом одним непрерывно занятым каналом. Если Tобсл. представляет собой случайную величину,

имеющую показательное распределение, то поток обслуживания является

простейшим.

Если входящий поток и все потоки обслуживания простейшие, то процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом

(цепью) с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.

Практический интерес в теории массового обслуживания вызывают предельные средние характеристики системы, которые называются

показателями эффективности СМО. В качестве показателей эффективности для стационарного режима могут рассматриваться следующие:

А − среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени. Эту характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО;

Q − вероятность обслуживания поступившей заявки, или

относительная пропускная способность СМО. Очевидно, Q = λA;

Pот к. − вероятность отказа, т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена, Pот к.= 1 − Q ;

z − среднее число заявок в СМО ( имеются в виду все заявки, как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, если она есть);

r0 − среднее число заявок в очереди, если она есть;

tсист . − среднее время пребывания заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и в момент обслуживания;

tо − среднее время пребывания заявки в очереди;

k− среднее число занятых каналов.

8.16ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Годографом векторной функции r(t) называется кривая, которую описывает конец вектора r(t) при изменении параметра t.

Производной векторной функции r(t) называется

Основной трёхгранник кривой образован единичными векторами

Эти векторы называются τ – касательная, ν – нормаль, β – бинормаль.

Формулы Френе содержат скалярные величины k, κ.

Величина k называется кривизной кривой, а величина κ- кручением.

Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между их касательными в точке пересечения.

Кривая на поверхности называется геодезической линией, если в каждой точке главная нормаль к кривой и нормаль к поверхности коллинеарны.

Топология - раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. Топологическое пространство – это класс объектов (точек), если его можно представить как объединение некоторого семейства своих подмножеств, которое содержит пересечение любой пары своих множеств и содержит объединение любого множества своих множеств.

8.17 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Высказывание - это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или нет. Например, «3+4=8» или «после дождя иногда бывает радуга». Высказывания бывают истинными (И) или ложными (Л), простыми или составными. Построение из данных высказываний нового высказывания называется логической операцией. Простые высказывания внутри составных соединяются логическими знаками (связками, союзами):

− «или», + , дизъюнкция, логическая сумма.

&− «и», , , конъюнкция, логическое умножение.

− « если..., то», импликация.

− « тогда и только тогда», эквивалентность.

A − « не А» , отрицание.

Составные высказывания могут быть истинными или ложными в зависимости от истинности его компонент. Эту зависимость задаёт таблица истинности:

− квантор общности (читается: «любой», «для всех»).

− квантор существования (читается: «существует»).

Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами множества. Чтобы задать множество, нужно указать признак, по которому можно определить, является ли данный объект элементом множества.

Если а - элемент множества, то это обозначают так: a A - “а принадлежит

множеству А”; иначе записывают: a A- “а не принадлежит множеству А”. Два множества называются равными А = В, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А принадлежат множеству В. А В. Множество, не содержащее

элементов, называется пустым и обозначается . Множество называется конечным, если в нем конечное число элементов. Иначе множество называется бесконечным.

1. Объединение множеств А В. Элемент х принадлежит объединению множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству А или множеству В. х А В х А х В 2. Пересечение множеств А∩В. Элемент х принадлежит пересечению

множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит и множеству А, и

множеству В. х А∩В х А х В.

3. Разность множеств А\В. Элемент х принадлежит разности множеств А\В тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В.

х А\В х А х В.

Если в задаче есть некоторое универсальное множество М, то М\ А =

A называется дополнением (отрицанием) множества А .

Принцип двойственности: Если в тождестве с множествами, содержащими символы и ∩ поменять эти символы местами, то получим тоже тождество.

Для пояснения свойств операций над множествами используются диаграммы Эйлера - Венна, на которых множества изображаются в виде совокупностей точек на плоскости.

Числовое множество Х называется ограниченным сверху, если существует число К такое, что для любых х, принадлежащих множеству Х,

х меньше К. К: х Х х≤К. Наименьшая из верхних граней множества Х называется точной верхней гранью множества Х. Обозначается supX

(supremum).

Числовое множество Х называется ограниченным снизу, если существует число Р такое, что для любых х, принадлежащих множеству Х, х больше Р.

Р: х Х х≥Р. Наибольшая из нижних граней множества Х называется точной нижней гранью множества Х. Обозначается inf X (infimum).

Числовое множество называется ограниченным, если оно имеет верхнюю и нижнюю грани. Числовое множество называется открытым, если его точные грани ему не принадлежат. Числовое множество называется замкнутым, если его точные грани принадлежат множеству.

Множество называется упорядоченным, если задан порядок расположения его элементов. Множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать.

Прямым произведением А×В двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а,b), где a A и bΒ.

А×В= {(a,b) | a A & bΒ}

Мощность множества - это одно из поясняемых, но не определяемых понятий. Множества А и В имеют равную мощность, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Это

обозначается А В.

Для множеств с конечным числом элементов мощность равна числу элементов. Бесконечное множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным.

Булевой функцией называется функция f(x1, x2, ... xn), у которой аргументы принадлежат множеству {0,1} и которая принимает значения из того же множества {0,1}.

Булева алгебра определяется как множество {x, y, z, ...}, на котором

Элементарные булевы функции определяются с помощью таблицы:

Конечный автомат - математическая модель устройства с конечной памятью. Конечный автомат перерабатывает множество входных дискретных сигналов во множество выходных сигналов. Различают синхронные и асинхронные конечные автоматы.

Временной ряд – это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Если время непрерывно, временной ряд называется

непрерывным. Если время изменяется дискретно, временной ряд дискретен.

Графом называется множество элементов, связанных некоторым бинарным соотношением. На чертеже граф изображается в виде точек (вершин), соединённых между собой линиями (рёбрами).

Плоский граф можно изобразить без пересечений, для пространственного графа это невозможно. Вершины, соединённые ребром называются смежными. Степенью вершины называется число рёбер, сходящихся в ней. Матрицей смежности графа A = ||aij || называется матрица, у которой элемент aij равен числу рёбер, соединяющих вершины i, j.

Два графа называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множеством их вершин, что вершины соединены рёбрами в одном из графов тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Матрицы изоморфных графов одинаковы.

Две вершины в графе называются связными, если в графе существует путь, связывающий их. Граф называется связным, если каждые две его вершины связные.

Граф называется несвязным, если хотя бы две его вершины несвязны. Цикл – замкнутый маршрут в графе.

Эйлеровым циклом называется цикл, в котором каждое ребро графа участвует один раз. Гамильтоновым циклом называется цикл, проходящий через все вершины графа по одному разу.

Связный граф без циклов называется деревом.

8.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Математическое программирование представляет собой дисциплину,

изучающую задачи оптимизации и разрабатывающую методы их решения. В общем виде задача оптимизации состоит в нахождении экстремума

целевой функции f (x1, x2 , x3 ,...xn ) при условиях g j . Если функции f и g

линейные по своим переменным, то рассматриваемая задача является задачей

линейного программирования. Основной задачей линейного

программирования называется задача, ограничения которой являются уравнениями

f (x1, x2 ,..., xn ) = c1x1 +c2 x2 +...cn xn → max(min) .

xj ≥ 0, ( j = 1, n) .

Совокупность чисел удовлетворяющая условиям (ограничениям) задачи называется допустимым решением или планом. План, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется

оптимальным.

Метод, позволяющий перебор допустимых решений системы ограничений задачи при одновременной проверки решения на оптимальность называется симплекс методом.

Постановка транспортной задачи линейного программирования.

Пусть имеется m поставщиков некоторого однородного груза, сосредоточенного на станциях А1, А2, …, Аm и имеется n потребителей этого продукта, расположенные на станциях В1, В2, …, Вn. Известны также запасы этого груза (а1,а2,…,аm), которые должны быть вывезены в фиксированный период времени. Потребности получателей груза за этот же период времени составляют (b1, b2, …bn). Известны затраты сi j на перевозку единицы груза с любой станции Аi на каждую станцию Вj .

Требуется составить такой план перевозок, чтобы весь груз был вывезен, все потребности были удовлетворены, а суммарные затраты на перевозки были минимальны.

Обозначим величину перевозки со станции Аi на станцию Bj как xi j .

Тогда условия полного вывоза груза со всех станций Аi можно записать в виде системы уравнений

С другой стороны, станции Вj должны получить необходимое количество груза , что тоже записывается в виде системы уравнений

При этом выполняется условие неотрицательности для переменных xi j

xi j ≥ 0,(i =1,2,...m; j =1,2,...n)

Функция цели задачи по критерию минимума суммарных затрат –

m n

F(x) = ∑∑Ci j xi j → min

i=1 j=1

8.19 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Имитационным моделированием (ИМ) называется воспроизведение поведения изучаемой системы на основе анализа ее структуры и наиболее существенных взаимосвязей элементов в целях получения информации о функциональных свойствах этого объекта.

ИМ следует рассматривать как статистический эксперимент, а его результаты представляют собой наблюдения. Любое утверждение относительно параметров изучаемой системы является статистической гипотезой. Результаты моделирования обычно рассматривают как оценки средних значений характеристик системы.

Моделирование систем требует учета стохастических воздействий на систему (случайных событий в случайные моменты времени). Случайные события и случайные промежутки времени можно моделировать с помощью случайных чисел (СЧ). Необходимо иметь в виду, что любая алгоритмическая процедура использует для вычисления СЧ некоторую формулу и, следовательно, получаемая последовательность полностью определена начальными значениями параметров (детерминирована). Такие числа называют псевдослучайными. При дискретном моделировании в качестве базовой выбирают последовательность случайных чисел {xi } = x0 , x1, x2 ,...., xn , равномерно распределенных на интервале (0, 1).

Тестирование последовательности псевдослучайных чисел должно включать проверки на равномерность, стохастичность и независимость.

Одним из основных алгоритмов моделирования систем массового обслуживания является «просмотр активностей». Этот алгоритм заключается в том, что на каждом шаге моделирования сравниваются времена «механизмов», составляющих систему, и выбирается тот, время которого на текущий момент модельного времени наименьшее и который должен произвести действие.

Вычисление параметров эффективности системы по результатам прогона модели. Абсолютная пропускную способность А вычисляется как отношение числа пришедших в систему заявок к времени моделирования. Вероятность отказа − как число заявок, получивших отказ от обслуживания отнесенных к полному числу поступивших требований. Тогда относительная пропускная способность системы Q = 1− Potk (или отношение обслуженных

заявок к полному их числу). Среднее время пребывания требования в очереди легко подсчитать, разделив полное время пребывания в очереди на

полное число заявок, а среднее число заявок в очереди можно найти, используя формулу Литлла, справедливую для всех типов СМО. Аналогично можно поступить и для среднего времени в системе и среднего числа заявок в системе .