Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СЛОВАРЬ PDF.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
422.23 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

x z

 

 

y

z

 

Если

существует

предел

lim

 

 

 

 

 

называется

 

 

 

 

 

x

lim

 

 

 

 

, то он

частной производной функции

x0

y0 y

 

z = f (M )

в точке М по переменной х (по

переменной

 

у) и

обозначается

одним

из

 

 

следующих

символов:

zx , f x, f

,

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zy , f y, f , z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

z = f (M )

называется дифференцируемой в точке М, если ее

полное

приращение

в этой точке

может быть представлено в виде

z = Ax + By +α(x, y)x + β(x, y)y,

где

А и В – некоторые независящие от

∆х и ∆у числа, а α(∆х,∆у) и β(∆х,∆у) – бесконечно малые при õ 0 , ó 0 функции.

Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции z = f (M )

называется линейная относительно приращений ∆х и ∆у часть полного приращения этой функции в точке М, т е. dz = Ax + By.

Предел отношения

z

при l 0 (M

1

M ), если он существует,

 

l

 

 

называется производной функции z = f (M ) в точке М(х; у) по направлению

 

 

и обозначается

z

т е. lim

z

=

z .

вектора l

 

 

 

l

l0

l

 

l

Градиентом функции

z = f (M )

в точке М(х; у) называется вектор,

координаты которого равны соответствующим частным производным z и

x

yz , взятым в точке М(х; у) .

Говорят, что функция z = f (M ) имеет в точке М(х; у) локальный

максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М0, в которой для любой точки М(х; у) выполняется неравенство

f(x, y) f (x0 , y0 )( f (x, y) f (x0 , y0 ))

8.6ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F (x) = f (x).

Если функция F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f (x)dx = F(x) + C.

Если существует конечный предел I интегральной суммы

σ = f (ξ

)∆x

+ f (ξ

 

)∆x

 

+... + f (ξ

 

)∆x

 

n

 

)∆x

 

при λ = max xi 0,

2

2

n

n

= ∑ f (ξ

i

1

1

 

 

 

 

i=1

i

 

i

то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по

отрезку [a, b] и обозначается следующим образом

b

 

 

I = f (x)dx , то есть

 

 

a

 

 

b

n

 

 

 

f (x)dx =limf (ξi )xi .

 

 

 

a

λ0 i=1

 

 

 

Пусть функция F(x) определена на промежутке [а, + ∞)

и интегрируема

 

 

 

R

f (x)dx при

по любому отрезку [a, R], т е существует определенный интеграл

 

 

 

a

 

любом R>a. Тогда если существует конечный предел

R

f (x)dx, то его

lim

 

 

R→+∞ a

 

 

называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

+∞

f (x)dx .

 

 

 

 

a

Пусть функция F(x) определена на промежутке [а, b). Точку x=b будем

называть особой, если функция f(x) неограниченна в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке [а, b ε], заключенном в [à, b). Пусть

на любом отрезке [а, b ε] функция f(x) интегрируема, т е существует

bε

определенный интеграл f (x)dx

a

при любом ε>0 таком, что b-ε>0. Тогда, если

существует

конечный

предел

lim

bε

f (x)dx,

то

его

называют

 

 

 

ε0+

a

 

 

 

 

 

 

несобственным интегралом второго рода и обозначают

b

 

f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

Если интегральная сумма σ = f (ξi ;ηi )si

при λ 0

имеет предел I, то

этот предел

называется

двойным

интегралом

от

функции

f (x, y) по

области G

и обозначается

одним

 

из

следующих

символов:

I = ∫∫ f (x, y)ds =∫∫ f (x, y)dxdy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

при λ 0 имеет предел I, то

Если интегральная сумма σ = f (ξi ;ηi ;ςi )vi

 

i=1

 

f (x, y, z) по

этот предел

называется тройным интегралом от функции

области V

и обозначается одним из следующих

символов:

I = ∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

 

 

V

V

 

 

8.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y) = 0, где х – независимая переменная; у – искомая

функция; y– ее производная.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у=φ(х), х (а,b) , которая при подстановке в уравнение обращает его

в тождество.

Общим решением уравнения y′ = f (x, y) в некоторой области G

плоскости Оху называется функция у=φ(х,С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения y′ = f (x, y) при любом

значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (x0 , y0 ) G , существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что

функция у=φ(х,С) удовлетворяет данным начальным условиям у=φ(х,С)=у0

Частным решением уравнения

y′ = f (x, y) в некоторой области G

называется функция

у=φ(х,С), которая получается

из

общего решения

y′ = f (x, y) при определенном значении постоянной С=С0.

 

Уравнение вида

y′ = f1 (x) f2 (y)

где f1(x) и

f2 (y)

– непрерывные

функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение вида y′+ p(x)y = f2 (x) где p(x) и f (x) – непрерывные

функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,где левая часть

представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x, y) в

некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение вида

F(x, y, y , у ) = 0 ,

где х

– независимая переменная; у

 

′′

 

 

искомая функция;

yи

у′′

ее производные, называется

дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнение вида y′′+ p(x)y′+ q(x)y = f (x), где у – искомая функция,

p(x), q(x) и f(x) непрерывные функции на некотором интервале (a, b),

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнение вида y′′+ py′+ qy = 0 (где p и q – вещественные числа)

называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом.

Уравнение вида y′′+ py′+ qy = f (x) (где p и q – вещественные числа)

называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом.

8.8 РЯДЫ

Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, …, аn, … Выражение вида

a1 + a2 + a3 +... + an +... = ∑an

n=1

называется числовым рядом или просто рядом.

Суммы конечного числа членов ряда

S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , Sn = a1 + a2 + a3 +...+ an

называются частичными суммами ряда a1 + a2 + a3 +... + an +... = an .

n=1

Ряд a1 + a2 + a3 +... + an +... = an называется сходящимся, если

n=1

последовательность его частичных сумм

S1 = a1, S2 = a1 +a2 , S3 = a1 +a2 +a3 , Sn = a1 +a2 +a3 +...+an

сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда.

Символически

это

записывается

так:

S = a1 + a2 + a3 +... + an +...

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = ∑an .

Если же последовательность частичных сумм расходится, то ряд

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется расходящимся.

 

 

 

 

 

 

 

Если lim Sn равен бесконечности или

не существует, то ряд называется

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расходящимся.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числовой ряд вида

, где

p – постоянная, называется обобщенным

p

гармоническим рядом.

n=1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд вида u1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

+ u3 u4 + (1)n+1 un +... = (1)n+1 un ,где un > 0,

называется

знакочередующимся рядом.

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знакочередующийся

ряд

(1)n+1 un

называется

абсолютно

сходящимся, если ряд,

 

 

 

n=1

 

 

 

 

составленный из модулей его членов, сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знакочередующийся ряд

(1)n+1 un

называется условно сходящимся,

если

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

сам он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд

u1(x) + u2 (x) +... + un (x) +... = un (x) ,

членами которого являются

n=1

функции аргумента x , определенные на некотором множестве D, называется

функциональным рядом.

Если в этот ряд подставлять определенное значение x0 D , то будут

получаться различные числовые ряды.

Значение x0 , при подстановке которого получается сходящийся

числовой ряд, называется точкой сходимости функционального ряда. Если при x = x0 ряд расходится, то точка x0 называется точкой

расходимости функционального ряда.