- •8.1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •8.2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •8.3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •8.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •8.6 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •8.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •8.8 РЯДЫ
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •8.9 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
- •8.10 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •8.11 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
- •Функция распределения имеет вид
- •8.14 МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •8.16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
- •8.17 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
|
|
|
|
|
|
|
∆x z |
|
|
∆ |
y |
z |
|
|
Если |
существует |
предел |
lim |
|
|
|
|
|
называется |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
∆x |
lim |
|
|
|
|
, то он |
||||||||
частной производной функции |
∆x→0 |
∆y→0 ∆y |
|
|||||||||||
z = f (M ) |
в точке М по переменной х (по |
|||||||||||||
переменной |
|
у) и |
обозначается |
одним |
из |
|
|
следующих |
символов: |
|||||
z′x , f x′, ∂f |
, |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′y , f y′, ∂f , ∂z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
z = f (M ) |
называется дифференцируемой в точке М, если ее |
||||||||||||
полное |
приращение |
в этой точке |
может быть представлено в виде |
|||||||||||
∆z = A∆x + B∆y +α(∆x, ∆y)∆x + β(∆x, ∆y)∆y, |
где |
А и В – некоторые независящие от |
∆х и ∆у числа, а α(∆х,∆у) и β(∆х,∆у) – бесконечно малые при ∆õ → 0 , ∆ó → 0 функции.
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции z = f (M )
называется линейная относительно приращений ∆х и ∆у часть полного приращения этой функции в точке М, т е. dz = A∆x + B∆y.
Предел отношения |
∆z |
при ∆l → 0 (M |
1 |
→ M ), если он существует, |
|
∆l |
|
|
называется производной функции z = f (M ) в точке М(х; у) по направлению
|
|
и обозначается |
∂z |
т е. lim |
∆z |
= |
∂z . |
вектора l |
|||||||
|
|
|
∂l |
∆l→0 |
∆l |
|
∂l |
Градиентом функции |
z = f (M ) |
в точке М(х; у) называется вектор, |
координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z и
∂x
∂∂yz , взятым в точке М(х; у) .
Говорят, что функция z = f (M ) имеет в точке М(х; у) локальный
максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М0, в которой для любой точки М(х; у) выполняется неравенство
f(x, y) ≤ f (x0 , y0 )( f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ))
8.6ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F ′(x) = f (x).
Если функция F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫ f (x)dx = F(x) + C.
Если существует конечный предел I интегральной суммы
σ = f (ξ |
)∆x |
+ f (ξ |
|
)∆x |
|
+... + f (ξ |
|
)∆x |
|
n |
|
)∆x |
|
при λ = max ∆xi → 0, |
2 |
2 |
n |
n |
= ∑ f (ξ |
i |
|||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
i |
то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по
отрезку [a, b] и обозначается следующим образом |
b |
|
|
|
I = ∫ f (x)dx , то есть |
||||
|
|
a |
|
|
b |
n |
|
|
|
∫ f (x)dx =lim∑ f (ξi )∆xi . |
|
|
|
|
a |
λ→0 i=1 |
|
|
|
Пусть функция F(x) определена на промежутке [а, + ∞) |
и интегрируема |
|||
|
|
|
R |
f (x)dx при |
по любому отрезку [a, R], т е существует определенный интеграл ∫ |
||||
|
|
|
a |
|
любом R>a. Тогда если существует конечный предел |
R |
f (x)dx, то его |
||
lim ∫ |
||||
|
|
R→+∞ a |
|
|
называют несобственным интегралом первого рода и обозначают |
+∞ |
|||
∫ f (x)dx . |
||||
|
|
|
|
a |
Пусть функция F(x) определена на промежутке [а, b). Точку x=b будем
называть особой, если функция f(x) неограниченна в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке [а, b −ε], заключенном в [à, b). Пусть
на любом отрезке [а, b −ε] функция f(x) интегрируема, т е существует
b−ε
определенный интеграл ∫ f (x)dx
a
при любом ε>0 таком, что b-ε>0. Тогда, если
существует |
конечный |
предел |
lim |
b−ε |
f (x)dx, |
то |
его |
называют |
||
∫ |
||||||||||
|
|
|
ε→0+ |
a |
|
|
|
|
|
|
несобственным интегралом второго рода и обозначают |
b |
|
||||||||
∫ f (x)dx . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Если интегральная сумма σ = ∑ f (ξi ;ηi )∆si |
при λ → 0 |
имеет предел I, то |
||||||||
этот предел |
называется |
двойным |
интегралом |
от |
функции |
f (x, y) по |
||||
области G |
и обозначается |
одним |
|
из |
следующих |
символов: |
||||
I = ∫∫ f (x, y)ds =∫∫ f (x, y)dxdy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
при λ → 0 имеет предел I, то |
|
Если интегральная сумма σ = ∑ f (ξi ;ηi ;ςi )∆vi |
|||
|
i=1 |
|
f (x, y, z) по |
этот предел |
называется тройным интегралом от функции |
||
области V |
и обозначается одним из следующих |
символов: |
|
I = ∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz . |
|
|
|
V |
V |
|
|
8.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y′) = 0, где х – независимая переменная; у – искомая
функция; y′ – ее производная.
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у=φ(х), х (а,b) , которая при подстановке в уравнение обращает его
в тождество.
Общим решением уравнения y′ = f (x, y) в некоторой области G
плоскости Оху называется функция у=φ(х,С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения y′ = f (x, y) при любом
значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (x0 , y0 ) G , существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что
функция у=φ(х,С) удовлетворяет данным начальным условиям у=φ(х,С)=у0 |
||||
Частным решением уравнения |
y′ = f (x, y) в некоторой области G |
|||
называется функция |
у=φ(х,С), которая получается |
из |
общего решения |
|
y′ = f (x, y) при определенном значении постоянной С=С0. |
|
|||
Уравнение вида |
y′ = f1 (x) f2 (y) |
где f1(x) и |
f2 (y) |
– непрерывные |
функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение вида y′+ p(x)y = f2 (x) где p(x) и f (x) – непрерывные
функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,где левая часть
представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x, y) в
некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение вида |
F(x, y, y , у ) = 0 , |
где х |
– независимая переменная; у – |
|
|
′ |
′′ |
|
|
искомая функция; |
y′и |
у′′ |
– |
ее производные, называется |
дифференциальным уравнением второго порядка.
Уравнение вида y′′+ p(x)y′+ q(x)y = f (x), где у – искомая функция,
p(x), q(x) и f(x) непрерывные функции на некотором интервале (a, b),
называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Уравнение вида y′′+ py′+ qy = 0 (где p и q – вещественные числа)
называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом.
Уравнение вида y′′+ py′+ qy = f (x) (где p и q – вещественные числа)
называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом.
8.8 РЯДЫ
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, …, аn, … Выражение вида
∞
a1 + a2 + a3 +... + an +... = ∑an
n=1
называется числовым рядом или просто рядом.
Суммы конечного числа членов ряда
S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , Sn = a1 + a2 + a3 +...+ an
∞
называются частичными суммами ряда a1 + a2 + a3 +... + an +... = ∑an .
n=1
∞
Ряд a1 + a2 + a3 +... + an +... = ∑an называется сходящимся, если
n=1
последовательность его частичных сумм
S1 = a1, S2 = a1 +a2 , S3 = a1 +a2 +a3 , Sn = a1 +a2 +a3 +...+an
сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда.
Символически |
это |
записывается |
так: |
S = a1 + a2 + a3 +... + an +... |
или |
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∑an . |
Если же последовательность частичных сумм расходится, то ряд |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если lim Sn равен бесконечности или |
не существует, то ряд называется |
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходящимся. |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Числовой ряд вида ∑ |
, где |
p – постоянная, называется обобщенным |
|||||||||
p |
|||||||||||
гармоническим рядом. |
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
Ряд вида u1 − u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ u3 − u4 + (−1)n+1 un +... = ∑(−1)n+1 un ,где un > 0, |
называется |
||||||||||
знакочередующимся рядом. |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знакочередующийся |
ряд |
∑(−1)n+1 un |
называется |
абсолютно |
|||||||
сходящимся, если ряд, |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||
составленный из модулей его членов, сходится. |
|||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знакочередующийся ряд |
∑(−1)n+1 un |
называется условно сходящимся, |
если |
||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сам он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
Ряд |
u1(x) + u2 (x) +... + un (x) +... = ∑un (x) , |
членами которого являются |
n=1
функции аргумента x , определенные на некотором множестве D, называется
функциональным рядом.
Если в этот ряд подставлять определенное значение x0 D , то будут
получаться различные числовые ряды.
Значение x0 , при подстановке которого получается сходящийся
числовой ряд, называется точкой сходимости функционального ряда. Если при x = x0 ряд расходится, то точка x0 называется точкой
расходимости функционального ряда.