•+∞∫ f (x)dx =1;

−∞

•P{ξ = x}= 0 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины ξ определяются формулами

Mξ = ∞∫ xf (x)dx , Dξ = ∞∫ (x − Mξ)2 f (x)dx .

−∞ −∞

Среднеквадратическое отклонение и свойства числовых характеристик непрерывной случайной величины ξ определяются

аналогично случаю дискретной случайной величины.

Равномерное распределение определяется плотностью распределения

a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b .

если x2 ≥ x1 ≥ 0.

Нормальное распределение определяется плотностью распределения

отклонения от математического ожидания на величину 3σ определяется по

правилу трех сигм: P{m −3σ < x < m +3σ}= 0,997.

Функцией от дискретной случайной величины ξ является новая дискретная случайная величина η =ϕ(ξ ) с законом распределения

объединяются, и соответствующая вероятность будет pi + pj .

Рассмотрим непрерывную случайную величину ξ , заданную плотностью распределения f (x). Непрерывная случайная величина

η =ϕ(ξ ) (или y =ϕ(x)) называется функцией от непрерывной случайной величины ξ , если ϕ(x) – строго монотонная дифференцируемая функция. Плотность распределения g (y) непрерывной случайной величины η определяется по формуле

можно вычислять и без нахождения плотности распределения g (y):

Mη = Mϕ(ξ) = +∞∫ϕ(x) f (x)dx,

−∞

Dη = Dϕ(ξ) = +∞∫ ϕ(x)− Mη 2 f (x)dx .

−∞

8.13 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Пусть необходимо изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты. Данная совокупность называется генеральной совокупностью.

Если число объектов (объем) генеральной совокупности достаточно большое, то из нее случайным образом выбираем ограниченное число объектов для изучения, называемое выборочной совокупностью или

выборкой.

Пусть произведена выборка объема n из генеральной совокупности, причем значение x1 наблюдалось m1 раз, значение x2 – m2 раз,…, значение

xk – mk раз (x1 < x2 < ... < xk ). Результаты наблюдений записываем в таблицу, называемую статистическим рядом (распределением) выборки:

В случае изучения непрерывно распределенного признака объектов выборки строим интервальный статистический ряд (распределение)

выборки

Здесь диапазон наблюдений разбиваем на интервалы (xi , xi+1 )

(желательно одинаковой длины h ), а mi – число наблюдений, попавших в соответствующий интервал. В качестве иллюстрации рисуем гистограмму – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями (xi , xi+1 )

и высотами bi = ωi / h.

Оценкой a параметра распределения генеральной совокупности

называется численное значение неизвестного параметра a , определенное по конечной выборке x1, x2 ,..., xn .

Для выборки объема n из генеральной совокупности оценкой математического ожидания случайной величины является выборочная

средняя

является оценкой среднеквадратического отклонения.

Теоретическим начальным моментом порядка s случайной

величины X называют математическое ожидание величины Xs

Ms = M(Xs ).

Эмпирический начальный момент порядка s определяется по

формуле Ms* = 1n ∑n xis = ∑k ωi xis . i=1 i=1

Центральным моментом порядка s случайной величины X

называют математическое ожидание величины (X − M(X))s ms = M[(X − M(X))s ].