- •8.1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •8.2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •8.3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •8.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •8.6 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •8.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •8.8 РЯДЫ
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •8.9 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
- •8.10 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •8.11 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
- •Функция распределения имеет вид
- •8.14 МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •8.16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
- •8.17 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
распределений, |
в виде |
k |
(m |
−np |
)2 |
где pi – вероятность |
|
U 2 = ∑ |
i |
i |
, |
||||
попадания в |
i −ый |
i=1 |
|
npi |
|
|
|
частичный |
интервал |
случайной |
величины, |
||||
распределенной |
по |
предполагаемому |
теоретическому |
закону. |
|||
Рассматриваемая величина U 2 – случайная, так как в различных опытах принимает неизвестные заранее значения, и, если выполняется гипотеза
H0 , имеет распределение χ2 (хи-квадрат), которое зависит только от
числа степеней свободы r = k −1 − l, где l – число параметров
предполагаемого теоретического распределения, k – количество интервалов.
По данным статистического ряда вычисляем наблюдаемое значение
Uнабл2 = χнабл2 , где |
вероятности |
pi |
находят по формуле |
pi = F (xi+1 )− F (xi ). |
Здесь F (x) – функция распределения случайной |
||
величины предполагаемого теоретического закона. Критическое значение
χкрит2 = χкрит2 |
(r,α) ищем из специальных таблиц в зависимости от числа |
||
степеней свободы и |
уровня |
значимости α (вероятность отвергнуть |
|
правильную |
гипотезу |
H0 ). |
Если χнабл2 < χкрит2 , то нулевая гип отеза |
принимается, значит, можно принять при заданном уровне значимости теоретическое распределение исследуемого количественного признака. Иначе, нулевая гипотеза отвергается.
8.14 МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пусть физическая система S находится в одном из состояний, образующих конечное множество {S1,...,Sn}, и переходит из одного
состояния в другое Si → S j случайным образом только в фиксированные
моменты времени t1, t2 ,... Тогда говорят, что в этой системе происходит
случайный процесс.
Важным классом случайных процессов являются марковские процессы (или процессы без последействия). Это значит, что при известном
состоянии системы в данный момент времени прогноз о ее будущем поведении не зависит от состояний, в которых находилась эта система в прошлом.
Поскольку множество состояний {S1,...,Sn}конечно, а множество моментов времени {t1, t2 ,...}состоит из изолированных точек, такой
случайный процесс называется марковской цепью с дискретным временем и конечным числом состояний.
Обозначим символом pij , i, j =1, 2,....n вероятность перехода системы из состояния Si в состояние S j за один шаг. Такие вероятности образуют
матрицу Р вероятностей переходов за один шаг:
p11 |
p12..... |
||
P = p21 |
p22..... |
||
p |
p |
..... |
|
|
n1 |
n2 |
|
p1n p2n pn3
.
Если вероятности pij не зависят от номера шага, на котором осуществляется переход Si → S j , то такие цепи называютмя однородными
марковскими цепями.
Рассмотрим матрицу-строку Q (k )= (p1 (k ), p2 (k ),...pn (k )), где pi(k)− вероятность того, что после k шагов система находится в состоянии Si ,
При k = 0 имеем матрицу
распределение вероятностей состояний.
Состояние Si называется существенным, если, выйдя из этого состояния, система может в него вернуться за один или несколько шагов : pij (n) > 0 и существует k такое, что p ji (k) > 0.
Состояние Si называется несущественным, если, выйдя из Si , система
не может вернуться в него: pij (n) > 0, p ji (k) = 0, для любого k.
Распределение вероятностей состояний марковской цепи называется стационарным, если оно не изменяется во времени.
Стационарное распределение Q удовлетворяет матричному уравнению
Q = Q P .
Для получения единственного решения к уравнениям (1.1.4) или (1.1.5) всегда необходимо добавить условие нормировки:
p1 + p2 +....pn =1.
Марковская цепь называется регулярной, если из любого существенного состояния можно попасть в любое другое существенное состояние за конечное число шагов.
Вероятности pi = lim |
pi (n) называются предельными (или |
~ |
|
n→∞ |
|
финальными) вероятностями состояний системы.
Если физическая система S может находиться в одном из состояний {S1, S2,..., Sn}, и переход из одного состояния в другое возможен в любой
случайный момент времени t, причем множество таких моментов перехода является непрерывным то, если, как и ранее, выполняется марковское свойство, такой случайный процесс называется марковской цепью с конечным числом состояний и непрерывным временем.
Обозначим |
символом |
Q(t) = ( p1(t),..., pn(t)) |
матрицу |
вероятностей |
состояний |
системы S в момент |
времени t, |
pi (t)−вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии Si .
Интенсивностью λij перехода системы Si → S j называется предел
λij = lim |
pij(∆t) |
, где |
pij (∆t)−вероятность перехода Si → S j (i ≠ j) на |
|
∆t |
||||
∆t→0 |
|
|
интервале времени [t, t + ∆t],если λij = const при i ≠ j, то марковская цепь называется однородной.
Элементы матрицы интенсивностей Λ удовлетворяют условиям: λij ≥ 0 при i ≠ j; λii < 0; при i = j .
Матрица вероятностей состояний Q(t)= (p1 (t), p2 (t),.....pn (t))
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Колмогорова. Эта система может быть записана в виде
Q`(t) = ΛQ .
Для решения системы (1.2.5) или (1.2.6) необходимо, как обычно, задать начальные условия:
p1(0)= p10 , p2(0)= p20,… pn (0)= pn0 ,
где pi0, i = 1, 2, 3… −заданные числа, причем p10 + p20 +....pn0 |
=1 |
||||
Распределение вероятностей называется стационарным, если |
|||||
вероятности pi |
состояний Si не зависят от времени . |
|
|||
Для стационарного распределения |
|
|
|||
~ |
|
0 = ΛQ . |
|
|
|
pi(t), |
~ |
называются |
предельными |
(финальными) |
|
pi = lim |
pi |
||||
t→∞ |
|
|
|
|
|
вероятностями системы.
Система, для которой существуют предельные вероятности состояний,
называется эргодической и возникающий в ней случайный процесс −
эргодическим.
Процессом гибели и размножения называется однородная марковская цепь с непрерывным временем, если за малое время ∆t система практически может перейти только в соседнее состояние (или остаться на месте), но не может перескочить через одно или несколько состояний.
8.15 СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Математический аппарат, изучающий закономерности функционирования систем, удовлетворяющих массовый спрос, в том числе образование очередей в такого рода системах, называется теорией массового обслуживания.
Заявкой (требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности. Удовлетворение спроса называется обслуживанием заявки.
Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система,
предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени. Устройство, непосредственно обслуживающее заявку, называется каналом обслуживания. СМО может содержать одно такое устройство, тогда она называется одноканальной. Если СМО содержит несколько обслуживающих устройств, то она называется многоканальной.
Поступление заявки в СМО назовем событием. Последовательность событий, состоящих в поступлении заявок в СМО, назовем входящим потоком заявок. Последовательность событий, состоящих в выходе заявок из СМО, назовем выходящим потоком заявок.
Взависимости от поведения заявки в СМО различают СМО с отказами
иСМО с очередью (или с ожиданием). В СМО с отказами заявка,
поступившая в момент занятости всех каналов, получает отказ и покидает СМО. В СМО с очередью (или ожиданием) заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов обслуживания.
Возможны СМО смешанного типа. Например, СМО с ограниченной очередью. В такой СМО заявка становится в очередь при занятости всех каналов, если очередь невелика и, скажем, не достигла длины m. Если все m мест в очереди заняты, заявка покидает СМО. К СМО смешанного типа относятся СМО с ограниченным временем ожидания. Заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но уходит из СМО необслуженной, если время ожидания слишком велико.
Поток заявок назовем простейшим, если он удовлетворяет трем условиям:
1. Отсутствие последействия. Это условие означает, что заявки поступают в СМО независимо друг от друга, т.е. поступление заявки после момента времени t не зависит от того, когда и в каком количестве
появлялись заявки до момента t .
2. Стационарность. Это условие означает, что вероятность поступления некоторого числа заявок в СМО за время ∆tзависит лишь от
длины интервала ∆t = (t + ∆t)− t и не зависит от точки t отсчета этого
интервала на оси времени.
3. Ординарность. Это условие означает, что одновременное поступление в СМО двух и более заявок маловероятно, т.е. вероятность появления за бесконечно малое время ∆t более чем одной заявки есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆t .
Величина λ называется интенсивностью потока заявок и
представляет собой среднее число (математическое ожидание числа) заявок, поступающих в систему за единицу времени.
Можно показать, что для простейшего потока вероятность pi (t)
поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле