Индивидуальное дз по Матану
.pdf
Домашнее задание № 2
удалить с поверхности Земли в бесконечность. Закон притяжения выражается формулой F = mg R2 / r2, где R − радиус Земли, r − расстояние тела от центра Земли, m − масса тела.
8. Плотина имеет форму равнобочной трапеции, длины двух горизонтальных сторон которой соответственно равны 150 м и 50 м, а высота − 10 м. Вычислить силу давления на плотину, если большее основание возвышается над поверхностью воды на 1 м.
Вариант 2.10
|
|
∞ |
dx |
||
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|||
|
. |
||||
(x +1)2 (x2 +1) |
|||||
2. |
|
0 |
|
|
|
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||
x2 + y −3 = 0, x + y −1 = 0.
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1+ cosϕ) .
4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY
|
фигуры, |
ограниченной линиями |
x = y, x = 2 y, |
y = 4. |
||
5. |
Найти длину дуги |
линии |
y = |
1− x2 + arcsin x |
на проме- |
|
|
жутке |
0 ≤ x ≤ 7 . |
|
|
|
|
6. |
|
9 |
|
|
|
|
Найти координаты |
центра |
тяжести плоской однородной фигуры, |
||||
|
ограниченной параболой |
2 y = x2 |
и прямой y = 2. |
|
||
7. Сжатие винтовой пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 6 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
8. Горизонтальная труба, поперечным сечением которой является круг диаметром 1 м, наполовину заполнена водой. Найти силу давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу.
50
Определенный интеграл
Вариант 2.11
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
x |
2 |
|
2 . |
|||
|
|
|
|
2 / |
2 |
|
1− x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||||||
|
y = (x +1)2, |
y2 = x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями |
|||||||||
|
r cosϕ = 5, |
r =10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОX |
|||||||||
|
фигуры, ограниченной линиями |
x2 + y2 =1, |
|
y2 = 3 x . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
5. |
Найти длину дуги параболы 4x = y2 |
от ее вершины до точ- |
||||||||
|
ки A(1; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||||||||
|
ограниченной линиями y = 0, |
y = cos x |
|
(− |
π |
≤ x ≤ |
π ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
7.Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из ямы, имеющей форму конуса с вершиной на дне. Высота конуса
H = 2 м, радиус основания R = 0,3 м.
8.Определить силу давления воды на прямоугольные ворота шлюза шириной 20 м и высотой 16 м, если их верхняя сторона лежит на поверхности воды.
Вариант 2.12
|
1 |
1. Вычислить несобственный интеграл |
∫ x (dxx +1) . |
|
0 |
2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями x + y = 7, x y = 6.
51
Домашнее задание № 2
3. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных линиями r = 2(1− cosϕ), r = 2 ( r ≤ 2 ).
4. Вычислить объем тела, образованного |
вращением вокруг оси |
ОX фигуры, ограниченной линиями |
x = 0,5, y = 0, y =1, |
y= 
x −1.
5.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения. Высота подъема 12 м. Определить длину траектории.
6.Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, имеющей форму треугольника, стороны которого лежат на
прямых x = 0, y = 0, x + y = 2.
7. Скорость движения материальной точки V = 6 t e−t 2 м/с. Какой
путь пройдет точка от начала движения t = 0 до полной остановки?
8. Пластинка треугольной формы погружена вертикально в воду так, что ее основание параллельно поверхности, а вершина лежит на поверхности воды. Определить силу давления воды на каждую из сторон пластинки, если основание пластинки равно a , высота равна h.
Вариант 2.13
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл ∫ |
|
2 |
. |
||
(x +1) |
x |
2 |
||||
|
0 |
|
|
+ 2x + 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||
|
y = 3x +7, y = 3x2 +1. |
|
|
|
|
|
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией
r= 3 +sin ϕ.
4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
ОX криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0,
52
Определенный интеграл
y =1 1+ x2 |
( −1 ≤ x ≤1). |
5. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы. Определить длину траектории струи, если она поднимается на высоту 5 м и падает на расстоянии 2 м от места выхода.
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями y = 0, y = 3 + 2x − x2 .
7.Какую работу надо затратить на выкачивание воды из сосуда, имеющего форму верхней половины сферы диаметром 20 м, через отверстие, расположенное в самой верхней ее точке?
8.Пластинка, имеющая форму параллелограмма, стороны которого равны 0,6 м и 1 м, а острый угол при вершине 60°, погружена вертикально в воду, причем большее основание лежит на поверхности воды. Определить силу давления воды на одну из сторон пластинки.
Вариант 2.14
|
2 |
|
dx |
|
|
1. Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
. |
||
x |
x |
2 |
|||
|
1 |
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 0, y = ln x (1/ e ≤ x ≤ e ).
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 2sin 3ϕ.
4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями |
x = 0, |
y = 0, |
y = e−x |
( x ≥ 0 ). |
|
|
|
5. Вычислить длину дуги линии |
x = 1 y2 |
− 1 ln y |
на промежут- |
|
4 |
2 |
|
ке 1 ≤ y ≤ e.
53
Домашнее задание № 2
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной линии (полуокружности), заданной уравнением y = − a2 − x2 .
7.Вычислить работу, которую надо затратить на выкачивание воды, заполняющей сосуд сферической формы, через отверстие, расположенное в самой верхней точке сосуда. Диаметр сферы равен
10 м.
8.Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму трапеции. Верхнее основание трапеции 8 м, нижнее 6 м, высота трапеции равна 3 м.
Вариант 2.15
|
|
|
∞ |
||
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
dx |
. |
|
x2(x +1) |
|||||
2. |
|
|
1 |
|
|
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||
|
y = 0, x +3y = 0, y2 = x + 4 |
( y ≥ 0 ). |
|||
3. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
||||
|
r = 3cosϕ, r =1+ cosϕ ( r ≥1+ cosϕ ). |
||||
4. |
Фигура, ограниченная дугами парабол |
y = 2x2, y2 = 4x , вра- |
|||
|
щается вокруг оси ОХ. Вычислить объем полученного тела вра- |
||||
|
щения. |
x =10 cos3 t, y =10sin3 t , |
|||
5. |
Вычислить длину дуги линии |
||||
0 ≤ t ≤ π / 2.
6.Найти координаты центра тяжести дуги однородной окружности, стягивающей центральный угол α . Радиус окружности равен R .
7.Вычислить работу, которую надо затратить на выкачивание жидкости удельного веса d из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна H , а ра-
диус основания − R .
54
Определенный интеграл
8. Резервуар, вертикальная стенка которого имеет форму нижней половины эллипса, доверху наполнен водой. Вычислить силу давления на стенку резервуара, если ее высота и ширина равны 2 м.
Вариант 2.16
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
2 |
. |
|
|||||||
x |
x |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
6 y = x2 , |
|
|||||||||
|
x2 + y2 =16 ( y ≥ 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
||||||||||||
|
r =1, r = 2 cosϕ |
( r ≥1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
||||||||||||
|
фигуры, ограниченной линиями |
x = a, |
|
y2 = 4a x . |
|
||||||||
5. |
Определить длину дуги кривой |
y =1− ln (x2 −1) |
|
на промежут- |
|||||||||
|
ке |
3 ≤ x ≤ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
||||||||||||
|
ограниченной линиями |
y = 0, |
y = 2x − x2 . |
|
|
|
|
||||||
7. |
Два |
тела движутся |
в одинаковом направлении по одной прямой |
||||||||||
|
линии со скоростями |
v |
= 3t 2 + 2t |
м/с |
и |
v |
2 |
= 8 t +10 м/с. |
Если |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в начальный момент времени t = 0 |
они находились в одной |
точ- |
||||||||||
|
ке, определить, когда и на каком расстоянии от этого места они |
||||||||||||
|
снова встретятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее − 50 м, а высота − 20 м. Найти силу, с которой вода давит на плотину.
55
Домашнее задание № 2 |
|
|
|
|
|
Вариант 2.17 |
∞ |
|
|
|
|
arctg x |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
x2 |
dx . |
|
|
1 |
|
y = 4 − x2 , |
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|||
y= x2 − 2x .
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 4 cos3ϕ .
4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
фигуры, ограниченной линиями |
y = 0, y = 2x − x2. |
5. Определить длину дуги кривой |
y = arccos(e−x ) на проме- |
жутке 0 ≤ x ≤ ln 2. |
|
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями y = 0, y = −
R2 − x2 .
7. Котел имеет форму поверхности, полученной вращением парабо-
лы y = x2 вокруг своей оси. Определить работу, которую надо затратить на выкачивание жидкости с удельным весом γ из наполненного котла, если его высота равна 4 м.
8. Треугольная пластина с основанием равным a погружена вертикально в воду. Определить силу давления воды на сторону пластины, если ее вершина находится на глубине h, основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 2 h.
Вариант 2.18
|
|
|
0 |
arctg1+ 4x22x dx . |
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
||
|
|
|
−∞ |
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, |
|||
|
y = arcsin x, |
y = arccos x . |
|
|
56
Определенный интеграл
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
|
r = 2, |
r = 2(1+sin ϕ) |
( r ≥ 2 ). |
|
|
|
|
|
||||
4. |
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OХ |
|||||||||||
|
фигуры, |
ограниченной линиями |
x y = 4, |
2x + y −6 = 0. |
||||||||
5. |
Определить длину замкнутой кривой |
|
x2/ 3 + y2/ 3 = a2/3. |
|||||||||
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной |
фигуры, |
||||||||||
|
ограниченной |
координатными осями |
|
x = 0, y = 0 |
и дугой |
|||||||
|
эллипса |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1, |
лежащей в первой четверти. |
|
||||
|
|
a2 |
b2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Два тела одновременно в момент времени |
t = 0 начинают дви- |
||||||||||
|
жение из одной точки вдоль одной и той же прямой. Скорость пер- |
|||||||||||
|
вого тела v |
= 5t − 4 м/с, |
другого |
v |
2 |
= 3t 2 м/с. На каком рас- |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стоянии друг от друга они окажутся через 10 с ?
8. Вычислить силу давления воды на стороны пластинки, вертикально погруженной в воду. Пластинка имеет форму параллелограмма, с верхним основанием равным 5 м, которое параллельно поверхности воды и находится на глубине 1 м. Высота параллелограмма равна 2 м.
Вариант 2.19
|
|
∞ |
x − 2 |
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
dx . |
x (x2 +1) |
||||
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x − x2, |
|||
y= −x .
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
r = 2, r = 2 cos 2ϕ |
(r ≥ 2). |
4. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
57
Домашнее задание № 2 |
|
фигуры, ограниченной кривой |
x = cos3 t, y = sin3 t . |
5. Определить длину дуги кривой |
x2 + y2 − 4x + 2 y = 0, лежащей |
над осью ОХ. |
|
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной осью ОХ и одной полуволной синусоиды y = sin 2x .
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы поднять воду, наполняющую цилиндрический бак, на высоту 10 м над верхним краем бака. Радиус основания бака равен 3 м, высота равна 5 м.
8. Треугольная пластина с основанием a и высотой h погружена вертикально в воду так, что ее основание находится на поверхности воды. Определить силу давления воды на стороны пластины.
Вариант 2.20
|
|
−3 |
x +1 |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
dx . |
|
(x + 2) |
4 |
||||
|
|
−∞ |
|
y = (x −1)2 , |
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
||||
y2 = x −1.
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
|
r = 2 cosϕ, |
r = 2 |
(r ≥ 2) . |
|
4. |
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OХ |
|||
|
фигуры, ограниченной кривой |
x2 +( y − 2)2 =1. |
||
5. |
Определить |
длину |
дуги кривой |
y = ex при изменении аргу- |
мента на промежутке 0 ≤ x ≤1.
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, лежащей во втором квадранте и являющейся четвертью круга, центр которого находится в начале координат, а радиус равен R .
58
Определенный интеграл
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса. Высота конуса H = 3 м, радиус основания R = 2 м.
8. Вычислить силу давления на каждую из сторон прямоугольной пластины, вертикально погруженной в воду, если ее основание равно a , высота − h, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине H .
|
Вариант 2.21 |
∞ |
|
|
|
|
dx |
||
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
. |
x3 +1 |
||||
|
|
0 |
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , |
|||
|
y = x +sin2 x ( 0 ≤ x ≤ π ). |
|
|
|
3. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||
|
r =1, r = 2sin ϕ ( r ≥1). |
|
|
|
4. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
фигуры, ограниченной линией |
(x −3)2 + y2 = 4. |
5. Определить длину дуги линии |
x = t −sin t, y =1− cos t при |
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
6.Найти координаты центра тяжести дуги однородной окружности, лежащей во второй четверти. Центр окружности находится в начале координат, а радиус равен R .
7.Какую работу надо затратить на выкачивание воды из сосуда, имеющего форму верхней половины сферы, через отверстие, рас-
положенное в ее верхней точке? Радиус полусферы равен R .
8.Пластина, имеющая форму параллелограмма, вертикально погружена в воду. Вычислить силу давления на каждую сторону пластины, если стороны параллелограмма равны 1 м и 2 м, а острый
59