Индивидуальное дз по Матану
.pdf
Домашнее задание № 1
3. Дана функция |
f ( x) = sin x + cos |
x |
. Найти |
f (−π / 2), |
f (0), |
|||
|
||||||||
f (2x), |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f ( x −π). |
|
|
|
|
|
|||
Доказать, |
что |
f ( x + 2π) + f ( x +π) = − |
π |
− |
x |
|
||
2 cos |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4. Построить графики функций: |
y = −1,5 − x2 + 2x + 3 , |
|||||||||
y = sin |
x −1 |
|
+1, |
y = |
|
2x −1 |
|
y = ex + e− x . |
||
|
|
, |
||||||||
|
x +1 |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = tg3 2x − 2 arcsin 2 (x4 + 2x2 ) + 54x6 −x7 −1.
6.Вычислить пределы:
lim |
2x2 |
+3x −5 |
, |
lim |
4 + x − 2 |
, |
lim |
|
x −1 x+2 |
, |
|
|
tg 3x |
|
|
||||||
x →1 x2 − x |
|
x →0 |
|
x →∞ |
x +3 |
|
||||
lim |
sin 2x −sin x |
, |
lim |
x2 − x +1 |
. |
|
arctg x |
(x −1)2 |
|||||
x →0 |
|
x →∞ |
|
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
y = arctg |
1 |
, |
y = |
|
1 + 2 − x , x ≤ 1, |
|
(x − 2)2 |
|
ln(x −1), |
1 < x . |
|||
|
|
|
|
|||
8. Решить графически уравнение |
|
2x − log2 (−x) = 0. |
||||
|
|
|
10 |
|
|
|
Введение в анализ
Вариант 1.7
1. В окружность, радиус которой равен R , вписан прямоугольник. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от длины его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: |
y = |
5 − 4x − x2 , |
|
||||||||||||||
|
y = lg |
|
x2 |
−1 |
|
+ |
|
1 |
|
, |
|
y = arccos |
x +1 |
. |
|
|
||
|
x |
2 − |
4x +5 |
3 |
+ x |
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Даны функции: f ( x) = |
|
1− 4x2 |
и |
g(x) = 0,5sin x . |
Найти |
|
|||||||||||
|
f (0), g(−π / 6), |
f (1 / x), |
|
g(x +π / 2) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решить уравнение |
f ( g( x) ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Построить графики функций: y = log2 (2x +3), |
y = |
3x − 4 |
, |
||||||||||||||
x − 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = x + sin(x / 2), |
|
|
|
x = 5 − |
y + 2 . |
|
|
|
|||||||||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) =1 − cos(x + x2 ) + ex6 +3x3 −1 + 2 ln 2 (1 + 4x4 + x3 ).
6.Вычислить пределы:
lim |
1 + x − 1 + x2 |
, lim |
x4 |
+ 2x2 −3 |
, |
lim |
5x +1 |
x/ 3 |
|
1 + x −1 |
|
|
|
|
, |
||||
x →0 |
x →1 x2 −3x + 2 |
|
x →∞ 5x − 2 |
|
|
||||
lim |
sin [π(3 |
+ 2x) ] |
, |
lim |
2x3 −3x +10 |
. |
|||
tg[π(2 |
+ x) ] |
3x2 |
− |
100 |
|||||
x →0 |
|
x →∞ |
|
||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
Домашнее задание № 1
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
|
cos x, |
x ≤ 0, |
||
y = 21/ (3−x) −1, |
y = |
|
3x + 2, |
0 < x <1, |
||
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
+ 4x, |
1 ≤ x . |
|
|
|
|
|||
8. Решить графически уравнение |
x −sin x =1. |
|
||||
Вариант 1.8
1. Периметр прямоугольника равен 4a . Найти функциональную зависимость площади этого прямоугольника от длины его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. Найти области определения функций: y = lg cos x ,
|
y = |
|
1 |
, |
y = |
x − 2 |
+ |
3 |
1 |
. |
|
|
tg(2x +π / 4) |
|
|
x +3 |
|
x |
−5 |
|
|
3. |
Дана функция |
f ( x) = |
4x + |
1 . |
Найти |
|
f (1), |
f (1 + x), |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
f (x2 ), f (1 / x). |
Решить уравнение [ f (x) ] 2 = 5. |
|
|||||||
4. |
Построить графики функций: |
y = arctg 2x , |
y = −cos (x / 3), |
|||||||
|
y = 2 log2 (3 − x) , |
|
y =1 − 0,5 |
x2 + 2x − 3 . |
||||||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = 4sin 4 (2x3 ) − 2(43x2 −1) +3 7 1+ x3 + 4x4 −1 .
12
|
|
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
|||
6. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
3 x − 6 + 2 |
, |
lim |
sin πx |
, |
|
lim |
x2 |
− 4 |
, |
|
x3 + |
8 |
sin 3πx |
|
|
|
||||||
x →−2 |
|
x →1 |
|
|
x →2 3x2 − x −10 |
|
|||||
|
x −1 |
2x |
|
lim |
x2 −5x |
+1 |
. |
|
|
|
|
lim |
|
, |
3x + |
7 |
|
|
|
||||
x →∞ |
x +1 |
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
, |
y = |
1 − x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 (x−2) |
|
|
|
||||||||
3 |
+1 |
|
|
|
e |
x |
, |
|
1 ≤ x . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Решить графически уравнение |
x2 + |
1 |
+1 = 0. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Вариант 1.9
1. В сегмент, ограниченный параболой y2 = 4x и прямой x = 2,
вписан прямоугольник. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: y = ln(1 − x) + ln(1 + x) , |
||||||||
|
y = |
x2 |
− 2x + 7 |
, |
y = arcsin(2x −3) + |
|
1 |
|
. |
|
|
2x +5 |
4x −3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Дана функция |
f ( x) =tg x . |
Найти f (0), f (−π / 4), |
|
f (2x) , |
||||
13
Домашнее задание № 1
f ( x / 2). Решить уравнение
0,25 [ f (x) + f (π / 2 − x) ] 2 + f (x) f (π / 2 − x) = 2.
4. |
Построить графики функций: |
|
y =cos |
x +1 |
, |
y = |
|
lg(4 − x) |
|
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y = 3 − x2 − x , |
|
|
y = 0,5 ( ex + e− x ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Найти при x →0 |
главную часть степенного вида бесконечно ма- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
− arctg3 x +1 − cos(x + x3 ). |
|
||||||||||||
|
лой функции β(x) = 3 e2x |
|
−1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
3 − |
5 + x |
, |
|
|
lim |
1 − cos3 x |
, |
|
|
lim |
|
1 |
− |
3 |
|
|
, |
|||||
|
1 − |
5 − x |
|
|
tg2 4x |
|
|
|
1 − x |
|
|
|
||||||||||||
|
x →4 |
|
|
|
x →0 |
|
|
|
x →1 |
|
|
1 − x3 |
|
|||||||||||
|
|
x (ln(2x +1) |
− ln(2x +3) ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
lim |
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x + |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Исследовать функции на непрерывность и построить их графики: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 − x |
, |
|
x < 0, |
|
|
|
||||||
|
|
y = 2 −1/ (x−1) |
+3, |
|
|
y = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Решить графически уравнение |
log2 x −sin x = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вариант 1.10
1. В треугольник с основанием a и высотой H вписан прямоугольник так, что основание прямоугольника лежит на основании треугольника. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от его высоты. Указать область определения этой
14
Введение в анализ
функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: |
y = 2 |
(x−x2 )−0,5 |
|||||||
|
|
|
, |
|||||||
|
y = |
1 − x |
, |
( |
− 4 + |
6 − x |
) |
. |
|
|
|
x3 +5x2 + |
y = lg x |
|
|
||||||
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Дана функция f (x) = x2 +3x . |
Найти f (1), |
f (−2), f (2x) , |
|||||||
|
f (1 / x). Решить уравнение |
f ( x − 2 ) =0. |
|
|
|
|
|
|||
4. |
Построить графики функций: |
y = −sin(2x − 4), |
|
|
|
|||||
|
y = log3(2x +1) , |
y = (x −3)3 + 2, |
|
y = |
x +3 |
. |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-
лой функции β(x) = 2 ln3(1 + 2x) − 4 tg2 ( x2 ) + 2 (3x5 −1).
6.Вычислить пределы:
lim |
x2 |
− 2x |
, |
lim |
sin 7x |
, |
lim |
|
2x −3 |
4x |
|
|
|
|
|
, |
|||||
x →2 x2 − 4x + 4 |
|
x →0 tg(x2 +πx) |
|
x →∞ |
2x |
|
||||
lim |
3 x2 − 2 3 x +1 |
, |
lim |
3x5 +1 |
. |
||
(x −1)2 |
2x6 |
+ 7x2 |
|||||
x →1 |
|
x →∞ |
|
||||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
0, |
x < −2, |
|
y = 31/ x − 2, |
y = |
|
− 4 − x2 , |
− 2 ≤ x ≤ 2, |
|
||||
|
|
|
x +1, |
2 < x. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
15
Домашнее задание № 1
8. Решить графически уравнение log2 x − 2− x = 0.
Вариант 1.11
1. Образующая прямого кругового конуса равна L. Найти функциональную зависимость объема конуса от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: |
y = |
|
1 |
|
|
, |
|||||
tg 2x +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = |
1 − log2 (2 − x) , |
y = x2 − 4x + 3 + arctg 1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3. |
Дана функция |
f ( x) = sin 2x − cos 2x . |
Найти |
|
f (π / 2) , |
|||||||
|
f (−π / 4), |
f (x +π / 4), |
f (x −π / 2) . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Доказать, |
что |
f ( x +π) − f ( x −π / 2) = 2 f ( x). |
|
|
|
|
|||||
4. |
Построить графики функций: |
y = x +sin 3x , |
|
|
|
|
||||||
|
y = lg (1 +3x) , |
y = 2 − 1 + x , |
|
y = |
2x +1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции β(x) = ( e4x3 +x2 −1) + sin3(2x) − 7 1 + 2x4 +1.
6.Вычислить пределы:
lim |
x +13 −(x +1) |
, |
|
lim |
x3 |
−3x − 2 |
, |
lim |
1 − cos x |
, |
|||
x2 −9 |
|
|
|
|
− x − 2 |
x tg 3x |
|||||||
x →3 |
|
|
|
|
x → −1 x2 |
|
x →0 |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 + x |
|
|
|
, |
lim |
x [ ln(x +1) |
− ln x ]. |
|
|||
x |
|
− x |
|
||||||||||
x →±∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
16
Введение в анализ
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
3 |
1/ x |
|
|
|
− x |
|
|
y = |
|
|
|
, |
y = |
|
e , |
x ≤ −1, |
|
|
|
|
|
||||||
|
1/ x |
|
|||||||
3 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
ln(x +1), |
−1 < x . |
|
|
|
|
|
|
|||||
8. Решить графически уравнение |
|
(x −1)2 − log2 x = 0. |
|||||||
Вариант 1.12
1.Два поезда с интервалом в два часа отправляются со станции в направлениях, составляющих между собой угол α . Скорости поездов одинаковые и равны V . Найти функциональную зависимость расстояния между поездами от времени. Указать область определения этой функции.
2.Найти области определения функций:
|
|
x |
y = arccos |
1 |
, |
|
|
y = 3 1/ (x−1) + |
4 |
|
−1. |
||||
|
y = lg tg |
, |
x |
|
|
x2 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Дана функция f ( x) = x2 + 2. |
|
Найти f ( 3 ), |
f (a), |
|||||||||||
|
f ( x +1), |
f ( x3 ). |
Решить уравнение |
f [ f (x) ] =11. |
|
||||||||||
4. |
Построить графики функций: |
|
|
y = |
|
2 sin(x +π / 3) |
|
, |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y = lg(3 − x) , |
x = 2 − |
− y2 − 2 y + 8 , |
y = x + |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-
лой функции β(x) = tg3(2x4 ) −3 1 + x + 2x2 +1 + ( 32x4 +x5 −1).
17
Домашнее задание № 1
6. Вычислить пределы:
lim |
|
|
x |
3 +1 |
, |
|
|
+3x + 2 |
|||
x →−1 x2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
lim |
|
x |
|
+3x +1 − |
|
|
|
||||
x →∞ |
|
|
|
|
|
lim |
|
x +9 x + 2 |
, |
lim |
x +1 −1 |
, |
|
|
|
5 + x − |
5 |
||||
x →∞ |
x +8 |
|
x →0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
sin 2x + |
|
−sin x − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
x |
|
+ x − 2 |
, |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
3x +π |
|
||||||
|
|
|
|
x →−π/ 3 |
|
|
|
||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
, |
x <1, |
y = |
arctg |
|
|
, |
y |
= |
|
1 − x |
|||
x |
+ |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− x , |
1 ≤ x . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Решить графически уравнение |
|
2− x − x 3 = 0. |
|
||||||||
Вариант 1.13
1.Периметр равнобедренного треугольника равен 2 p . Треугольник
вращается вокруг основания. Найти функциональную зависимость объема тела вращения от длины основания треугольника. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. Найти области определения функций: |
y = |
|
x −1 |
, |
||||
x2 |
|
−3x − 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
y = logπ |
2x + 4 |
− x +5 , |
y = |
1 |
π / 4) |
+ x . |
|
|
|
x −3 |
|
|
sin(x + |
|
|
||
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
||
3. |
Дана функция f (x) |
= 2x . |
Найти |
f (0), |
f (2x +1), f (1 / x), |
||
|
f (log2 5). |
2[ f (x) ] 4 −17[ f (x) ] 2 +8 =0 . |
|
||||
|
Решить уравнение |
|
|||||
4. |
Построить графики функций: |
y |
= e2x + e−2x , |
|
|||
|
y = 1 + cos(x − 2), |
y = 2 − |
1 − 4x2 , |
y = |
3x . |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-
лой функции β(x) = 5ln(1 + 2x3 − x4 ) − 2 sin 4 (3x) + arctg3(4x2 ) .
6.Вычислить пределы:
lim |
x3 |
+8x2 +15x |
, |
|
lim |
1 − cos 3x |
, |
lim |
|
2x +1 |
x |
|
x3 + 27 |
|
sin 2 2x |
|
3x − 2 |
, |
|||||
x →−3 |
|
|
|
x →0 |
|
x →∞ |
|
||||
lim |
|
x |
|
, |
|
3 1 |
+ x3 |
|
|
|
|
2 |
+ x − 2 − x |
lim |
|
. |
|
|
|
||||
x →0 |
|
x |
→∞ x + x2 |
+ x |
|
|
|
||||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
1/ (1−x) |
|
|
|
x2 +3, |
x ≤2, |
||
y = |
4 + 2 |
, |
y = |
|
1, |
|
|
2 < x ≤ 3, |
|
|
|
|
|
||||||
1 + 21/ (1−x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
log |
2 |
(x −3) , |
3 <x . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
|
log2 x + x2 −1 = 0. |
|||||||
Вариант 1.14
1.Периметр осевого сечения цилиндра равен 6 p . Найти функциональную зависимость объема цилиндра от его высоты. Указать об-
19