Индивидуальное дз по Матану

2.

Найти области определения функций:

y =

3

,

cos 2x

y = arcsin( x / 2) ,

y = log3(5 − 2x) +

x .

3x

x −1

x2 +1

3.

Дана функция

f ( x)

= tg x .

Найти

f (−π / 3),

f (−π / 4),

f (x −π / 2), f (x +π / 2).

Решить уравнение [ f (x ) ] 2 = 2 f (x) +3.

4.

Построить графики функций:

y = x −sin x ,

y = log4 (x −3) ,

x = 1 −

y2 − 4 y + 5 ,

y =

x + 2 .

x −3

5.

Найти при

x →0 главную часть степенного вида бесконечно

малой функции

β(x)

=3 ( 52x −1) − 2 3 1 + 4x2 + 2 + tg2 (3x3 ).

6.

Вычислить пределы:

lim

x3

+8x2

+ 7x

,

lim

2x sin 3x

,

lim

x +1 x + 2

,

x2 −

1

1 − cos x

x →−1

x →0

x →∞ 2x +1

lim

x − x

,

lim

x3 −3x

2 −1

.

x

+ 4 −

2

1 −5x3

+ x

x →0

x →∞

2

cos 2x ,

x ≤ 0,

y = 3 − 2 1/ x

,

y =

x

e

−1,

0 < x .

20

2.

Найти области определения функций:

y = lg[sin(x −π / 3) ],

y =

1

4 − x 2

y = 2 x −3 x

1

1 − 2 x

+

x2 − 2x + 2 ,

+ 1 + x .

3.

Дана функция

f (x) = 2x4 − 2x3 −5x2 + 6x −10.

Найти f (0) ,

f (0,5),

f ( x ),

f (1 / x).

Решить уравнение

f ( x ) = 0,5 ( f ( x) + f (−x)).

4.

Построить графики функций:

y = 2 log2 (x + 2),

y = 2x +

3

,

x

y = 2 cos(x +π / 4) ,

x = −1 − 2

− y2 + 6 y −8 .

lim

1

−

x

,

lim

sin 3x

,

lim

3x +5

x +1

,

x − 2

x3

tg 5x

x →2

−8

x →π

x →∞ 3x −1

3

x − 6 + 2

,

lim

3

+

x2 +1

.

lim

x + 2

1 − x2

x →−2

x →∞

1

1 − 1 − x ,

x ≤ 1,

y = π − arctg

,

y

=

x

1

,

1 < x .

1 − x

8. Решить графически уравнение

x 2 x −1 = 0.

y = 4

3x + 2

x

6x − 5

− x2

,

y = 2 + 4 sin x .

3.

Дана функция

f (x) = lg

1

+ x

.

Найти

f (0),

f (0,5),

1

f (1 + x), f (1 / x).

− x

f ( x ) − f (−x) = 2.

Решить уравнение

4.

Построить графики функций:

y = 2 x + 2−x ,

y = sin(2x − π / 3)

,

y = lg(3 − 2x) ,

y =

2x +1

.

1 − 2x

2

3

2

5

6

2x3

− 4

+ 1.

β(x) = ln (1 + 2x + x ) − 3

1 + x −3

6.

Вычислить пределы:

lim

1

−

1

,

lim

1

− cos

2x

,

2 x

(1 − x)2

− x3

lim 1 +

,

x →1

1

x →

0

cos

7x − cos 3x

x →∞

x

+1

lim

3 1 + x3

,

lim

2x +9 −5

.

3 x −

x →∞ x + x2

+1

x →8

2

7.

Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

x ,

x ≤ −1,

y = 5 − 41/ x ,

y =

−1 < x ≤1,5.

9 − 4x2 ,

8.

Решить графически уравнение

x lg x − 1 / x = 0.

2. Найти области определения функций: y =

log2 x

,

arcsin(x − 2)

y = 3 1 − x + tg x

,

y = x +9 + e1/ x .

4 − x2

2 + 3 x

2.

Найти области определения функций:

y = (log3 x − log2 x )−0,5,

y =

4

+

x ,

y = x2 − 7x +10 + arctg 1 .

ctg 3x −1

x

3.

Дана функция f ( x) = sin x .

Найти

f (π / 3), f (5π / 6),

f (x −π / 2),

f (x +π).

Решить уравнение

f (π / 2) − 0,5 f (2x) + f ( x) − f (π / 2 − x) = 0 .

4.

Построить графики функций:

x = 4 +

1 − y ,

y =

x + 4

,

y = arctg(x −1),

y =

log3(2 − x)

.

2 − x

β(x) = 2

2

+ arctg2 (3x)

−5

1 + 4x3 + x6 +1.

e3x−4x

−1

6. Вычислить пределы:

lim

x3

−8

,

lim

4 + 2x − 2

3x + 2

2x+1

x +1

−1

, lim

,

x →2 (x2 −5x + 6)(x −12)

x →0

x →∞ 3x −1

3

1

+ x

3 − x2

lim

cos

3x − cos

5x

.

lim

,

1

− cos 6x

x →∞ 3x

+ 4 x − 2

x →0

25

x2 +1,

x < 0,

−2

y = 4(x+2)

,

y =

1 − x2 ,

0 ≤ x <1,

x2 ,

1 ≤ x .

8. Решить графически уравнение

sin x − x = 0.

2.

Найти области определения функций:

y = arcsin(x −3) ,

ex+4

y = ln

1 − 2x ,

y = x2 −3x − 4 +

1

.

x +3

3

x2 − 25

3.

Дана функция ϕ(x) = x2 −5x .

Найти

ϕ(1),

ϕ(a),

ϕ(x −1),

ϕ( x / 2) .

Решить уравнение

ϕ(x2 ) =ϕ(1).

4.

Построить графики функций:

y = 2 −

− x2 + 6x ,

y = −cos 2x ,

y = log2 (x + 4) ,

y = e−2x + 2.

5.

Найти при

x →0 главную часть степенного вида бесконечно

26

lim

x3

− x2 − x − 2

,

lim

x −3 x/ 2

lim

sin 2x

,

x2 − 4

,

3 −

3 + x

x →2

x →∞

x + 2

x →0

lim

x

2

+1

−

,

lim

sin 3x −sin 2x

.

x

arctg 2x

x →+∞

x →0

31/ (x+2)

5

− 4 − x,

x ≤ 4,

y =

,

y

=

+31/ (x+

2)

1

,

4 < x .

2

4

− x

8. Решить графически уравнение

2x − log2 (x +3) = 0.

2. Найти области определения функций:

y =

4

6x − x2 −5 ,

y = 2 9−x2 +

6

,

y = arctg

1

+ lg(2x +5).

4 cos2 x −1

x +1

27

2.

Найти области определения

функций: y = arccos x

+

− x ,

7

y =

x2 + 6x +10

,

y =

6 − x +

1

.

x2 −

9x +14

lg (2x − 3)

3.

Дана функция

f ( x) = sin

x

+ cos

x

.

Найти

f (π / 2),

f (−π),

f (2x +π), f ( x − 2π).

2

2

Доказать, что

f ( x + 2π) + f ( x + 6π) = − 2 f (x).

4.

Построить графики функций:

y =1 +

x2 + 4x + 5 ,

y = x + 1 ,

y = −2 + cos

x

,

y =

lg(x − 2)

.

x

2

2x2 −3x +1

x2 −1

x2

/ 3

x3 +8

lim

,

lim

,

lim

,

+ 4x −5

x2

x − 6 + 2

x →1 x2

x →∞

x →−2

3