Индивидуальное дз по Матану
.pdf
Домашнее задание № 1
lim |
3 |
1 − x |
3 |
|
, |
lim |
sin(a + x) +sin(a − x) − 2sin a |
. |
|
|
+ x |
x2 |
|||||
x →∞ |
|
|
|
|
x →0 |
|
||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
|
−1, |
x < −5, |
|
|
|
||
y = − 21/ (x−1) +3, |
y = |
|
3 + x , |
−5 ≤ x ≤ −3, |
|
||||
|
|
|
|
−3 < x ≤ 3. |
|
|
− 9 − x2 , |
||
|
|
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
|
sin 2x + |
0,25 − x2 = 0. |
|
Вариант 1.22
1.Периметр осевого сечения цилиндра равен 6 p . Найти функцио-
нальную зависимость площади полной поверхности цилиндра от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: |
y = arcsin |
2x |
, |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y = |
1 |
21/ (1+x) , |
y = |
1 |
+ 4 − x2 . |
||
|
|
x + 2x2 |
|
1 |
− tg2 x |
|
|
|
3. |
Даны функции |
f (z) = z3 − z, |
ϕ(z) = sin 2z . |
Найти |
f (2) , |
|||
|
ϕ(3π / 4), |
f (ϕ(π / 4)), ϕ( f (1)) . |
|
|
|
|
||
|
Решить уравнение f [ϕ(z) ] |
= f (1). |
|
|
|
|
||
4. |
Построить графики функций: |
y = x −sin( x / 2), |
|
|||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
|
y = |
|
x |
|
|
y = log2 (2 − x), |
y = 1 − x2 + 4x + 3. |
|
|
, |
||||||
x +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = e4x3 +x2 −1 +(3 1 + 2x −1 )+ arctg2 (x3 + x4 ).
6. Вычислить пределы:
lim |
x2 |
|
−9 |
, |
lim |
x + 4 − 2 |
, |
lim (1 − z) tg |
π z |
, |
|
|
|
x + 25 −5 |
2 |
||||||
x →−3 3x2 + |
2x − 21 |
x →0 |
|
z →1 |
|
|||||
lim |
1 + x |
4 + x2 |
, |
lim |
x [ln(x + a) − ln x]. |
|
|
|||
3 4 + 2x + x2 |
|
|
||||||||
x →∞ |
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
y = 4 1/ (x+3) |
2 |
y = |
|
2 + 1 − x , |
x ≤1, |
, |
|
||||
|
|
|
sin(x −1) , |
1 < x . |
|
8. Решить графически уравнение |
|
2x +log2 x = 0. |
|||
Вариант 1.23
1. Из сектора круга с радиусом R свертывается коническая воронка. Найти функциональную зависимость объема воронки от центрального угла сектора. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
31
Домашнее задание № 1 |
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти области определения функций: |
|
|
|
|||||
|
y = |
x −1 |
|
, |
|
y = log3 x +1 |
, |
y = |
ctg x . |
|
|
x2 − x −12 |
|
|
x |
|
|
16 − x2 |
|
3. |
Дана функция |
f (x) = tg x . Найти |
|
f (3π / 4), |
f (−π / 6) , |
||||
|
f (x2 |
x + |
π |
|
|
|
|
||
|
+π), f |
|
|
. |
Решить уравнение |
|
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 f (x) |
|
2 |
π |
|
|
π |
|
|
|
|
−[ f (2x) ] f |
− 2x |
= |
f . |
||||
1 −[ f (x) ] 2 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||
4. Построить графики функций: |
|
y = ex / 2 + e−x / 2 , |
|||||||
y = sin(2x − 4) , |
y = 5 + 2 |
|
− x2 + 6x −1, |
|
y = lg 3x . |
||||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β( x) = 3sin2 ( x + x3 ) −arctg(4x3 + x4 ) − cos(2x3 + x5 ) +1.
6.Вычислить пределы:
|
x4 |
+ 2x2 −3 |
|
|
x2 +16 −5 |
|
|
|
2x −3 |
x+1 |
|
lim |
, |
lim |
, |
lim |
2 |
, |
|||||
|
|
x −3 |
|
|
|
||||||
x →1 x3 − 2x2 − x + 2 |
|
x →3 |
|
x →∞ |
2x +1 |
|
|
||||
lim |
sin 2x −sin x |
, |
lim |
|
x |
2 |
|
1 − cos x |
x |
|
+1 − x . |
||||
x →0 |
|
x →±∞ |
|
|
|
|
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их гра-
32
|
|
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
|
фики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1/ x |
+3 |
|
|
x / (x |
+ 2), |
x < −2 , |
|
y = |
|
, |
y = |
|
|
|
|
||
2 |
1/ x +1 |
|
+ x2 , |
− 2 ≤ x . |
|||||
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
sin x |
+ |
1 − x2 = 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Вариант 1.24
1. В шар, радиус которого равен R , вписан цилиндр. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности цилиндра от длины его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. Найти области определения функций: |
y = e1/ x arcsin |
x |
, |
2 |
|
|
y = |
ln (20 + 2x) |
, |
|
y = |
9 |
− x2 |
. |
|||
|
|
2 |
+ 3 x |
|
2 cos x |
+1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Дана функция f (x) = lg x . |
Найти |
f (0,1), |
f (100), f (x2 ) , |
||||||||
|
f (1 / x). |
Решить уравнение |
|
2 f (x) |
= f (10). |
|||||||
|
f (5x − 4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Построить графики функций: |
y = arctg 3x , |
|
y =1 + cos(x −1) , |
||||||||
|
|
|
y = 4 + 5 − x , |
|
|
y = |
3x +1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
5. |
Найти при |
x →0 |
главную часть степенного вида бесконечно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 1
малой функции
β(x) = 3x2 − 4x5 + ( 23x3 +x6 −1) + 7 1 + 7x4 −1 .
6.Вычислить пределы:
lim |
x2 − 6x +8 |
, |
|
|
lim |
x (ln(2 + x) − ln x ), |
|
lim |
|
tg x − tg 5x |
, |
|||||
x →4 x2 −5x + 4 |
|
|
x →+∞ |
|
|
|
x →0 |
arcsin 2x |
|
|||||||
lim |
|
x |
2 |
−3x |
− |
x |
2 |
|
, |
lim |
1 − x − |
1 |
+ x |
. |
|
|
|
|
|
−5x |
x |
|
|
|
|
||||||||
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
y = 5 −x |
−2 |
−3, |
y = |
|
1 −(x +1) |
2 |
, |
x ≤1, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ln(x −1) , |
|
|
1 < x . |
8. Решить графически уравнение |
|
log3 x + x2 = 0. |
|
|||||
Вариант 1.25
1.Объем конуса равен V . Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности конуса от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2.Найти области определения функций:
y = |
lg x |
, |
y = log3 x +5 |
, |
y = |
1 |
. |
|
x2 − 6x +8 |
|
3 − x |
|
|
tg x + ctg x |
|
34
|
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
3. |
Дана функция |
ϕ(x) = |
2x −1 |
. |
Найти |
ϕ(−1), ϕ(0,5) , |
|
|
|||||||
|
ϕ(1 + a), ϕ(1 / x). |
|
4x2 −1 |
|
ϕ(sin x) =ϕ(0). |
||
|
Решить уравнение |
||||||
4. |
Построить графики функций: |
y = x +3 / x , y = 3 +sin(x / 2), |
|||||
|
x =1− |
|
− y2 +3y , |
y = log2 (3x + 2). |
|||
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = 4e3x4 −x − 4 + arcsin 2 (x − x3 ) +(1+ 4x5 )2/ 7 −1.
6.Вычислить пределы:
|
|
2x2 +8x −90 |
|
|
|
2x +9 −3 |
|
|
3x +1 |
|
x−1 |
|
|
lim |
, |
lim |
|
, |
lim |
4 |
, |
||||||
|
|
|
x +5 − 5 |
|
|
|
|||||||
x →5 3x2 −36x +105 |
|
x →0 |
|
x →∞ 3x +5 |
|
|
|
||||||
lim |
|
x sin 3x |
, |
|
lim |
4x3 − 6x2 +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
− cos3 x |
|
|
+3x − 7x3 |
|
|
|
|
|
||||
x →0 1 |
|
|
x →∞ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
|
|
|
|
|
|
2−x , |
x ≤ 0, |
||
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y = |
+ arctg |
, |
y |
= |
|
2 |
, |
0 < x <1, |
|||
2 |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 − 2x, |
1 ≤ x . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
|
2x x2 − 1 = 0 . |
|||||||||
35
Домашнее задание № 1
Вариант 1.26
1. Объем конуса равен V . Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности конуса от его высоты. Указать область определения полученной функции.
2. Найти области определения функций: |
y = arccos |
5 − 2x |
, |
|
|
4 |
|
|
y = 16 − x2 + |
x2 −1, |
y = log3(x + 3) + ln x − 4 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
||||
3. |
Дана функция |
f (x) = cos x . Найти f ( 3π / 2 ), |
f (2π / 3 ), |
||||||||
|
f (x +π / 2), |
f (π − 2x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить уравнение |
[ f (π / 2 − x) ]4−[ f (x) ]4= f (14x). |
|||||||||
4. |
Построить графики функций: |
y = (x +1)3 +1, |
y = |
|
log3 2x |
|
, |
||||
|
|
||||||||||
|
y = 2 + x2 + 2x + 2 , |
y = |
3 |
2x |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-
лой функции β(x) = 7 ln3(1 + 2x2 ) −5 24x2 + 5 − 2 tg(5x3 ).
6.Вычислить пределы:
lim |
2x3 |
+ x2 −3x |
, |
lim |
|
49 − x2 |
, |
|
lim |
1 − 3 cos x |
, |
||
|
x3 −1 |
1 |
− |
8 − x |
|
sin 2 |
2x |
||||||
x →1 |
|
|
x →7 |
|
|
x →0 |
|
||||||
lim (1 +sin x)3ctg x , |
lim |
|
|
3x − |
1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x →0 |
|
|
|
x →±∞ |
|
16x2 + 2x −5 |
|
|
|
||||
36
Введение в анализ
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
|
sin 2x , |
x ≤ 0, |
|||
y = 2 +31/ (4−x) , |
y = |
|
− x , |
0 < x <1, |
||
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
+1, |
1 ≤ x . |
|
|
|
|
|||
8. Решить графически уравнение |
|
x arctg x − 2 = 0. |
||||
Вариант 1.27
1. Через точку M (3;5) провести прямую с отрицательным угловым
коэффициентом. Найти функциональную зависимость площади треугольника, образованного прямой и осями координат, от углового коэффициента. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. |
Найти области определения функций: y =arcsin |
4x −1 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
y = |
1 |
|
+ x + 2 , |
y = ln (5 − 2x) + 21/ (x−1) . |
|
||||
|
3 |
x2 −5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Дана функция |
f (x) = 3x. Найти f (1), f ( log3 7), |
f (1 / x), |
|||||||
|
f (1 − x2 ). |
|
f (2x +1) −[ f (3) +1] f (x) = − f (2) . |
|
||||||
|
Решить уравнение |
|
||||||||
4. |
Построить графики функций: |
y = 2sin(x +1) +1, |
y = |
|
2x −3 |
|
||||
|
, |
|||||||||
|
x +1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = 3 − 2 |
x2 + 2x + 2 , |
y = 0,5 (3x + 3−x ) . |
|
|
|
|
||
37
Домашнее задание № 1
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = 8e3x2 −x4 −8 + 2sin3(x + x2 ) − cos(4x3 ) +1.
6.Вычислить пределы:
lim |
x3 −3x2 − 2x + 6 |
, |
lim |
x3 −8 |
|
, |
lim |
|
3x −1 x |
||
x2 −5x + |
6 |
14 + x − |
4 |
|
, |
||||||
x →3 |
|
x →2 |
|
x →∞ |
4x +5 |
||||||
lim |
sin(x − 2) |
, |
lim |
3x2 − 4x +1 |
|
|
. |
|
|
||
x3 −8 |
2 + x4 + 2x2 + 3 |
|
|
||||||||
x →2 |
|
x →∞ |
|
|
|
||||||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
y = |
5 |
− 21/ (x−1) |
, |
y |
= |
log2 (3 − x), |
x < 3, |
1 |
+ 21/ (x−1) |
|
3 ≤ x . |
||||
|
|
|
|
− x − 2 , |
|||
8. Решить графически уравнение |
|
(1 + x) arctg x −2 = 0 . |
|||||
Вариант 1.28
1. Объем прямого кругового цилиндра равен V . Найти функциональную зависимость площади полной поверхности цилиндра от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. Найти области определения функций: |
y = arccos 2 − x |
, |
|
|
|
3 |
|
y = 4 4 − x2 +ln(tg x) , |
y = |
2x +5 . |
|
|
x2 − 6x +5 |
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
|
3. |
Дана функция f (x) = x2 − 7x . |
Найти f (0), |
f (1), f (x +1) , |
|
|
f (t 2 ) . |
Решить уравнение |
f (x) +[ f (x) +18 ] 0,5 = −2 f (3). |
|
4. |
Построить графики функций: |
y = 3x +3−x , |
y = log4 (x −1) , |
|
|
|
y =1 + 2 cos(x / 3) , |
y = 5 − 2 1 − x . |
|
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = 5 arctg2 (x + 2x2 ) − arcsin(4x + x3 ) − 2 3 1 + 2x4 + 2.
6.Вычислить пределы:
lim |
20 |
− |
5 |
|
, |
lim |
|
5x +3 |
2x |
lim |
x +1 |
−3 |
, |
|
|
− x2 |
x + |
|
|
|
, |
2 − 3 |
x |
||||||
x →−2 |
4 |
|
2 |
|
x →∞ |
2x −1 |
|
x →8 |
|
|||||
lim ( π / 4 − x ) tg 2x, |
lim |
6x −5 |
. |
|
|
2 +8x3 |
|||
x →π/ 4 |
x →∞ x + 3 |
|
||
7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
2 |
|
|
|
5 + 4 − x |
2 |
, |
− 2 ≤ x |
≤ 2, |
||
y = 31/ (x+2) |
, |
y = |
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− 4 + x |
, |
|
|
2 |
< x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Решить графически уравнение |
2−x − arctg x = 0. |
|
|||||||||
Вариант 1.29
1. Объем цилиндра равен V . Найти функциональную зависимость площади полной поверхности цилиндра от радиуса его основания.
39