Индивидуальное дз по Матану
.pdf
Домашнее задание № 1
Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2. Найти области определения функций: y = log0,5(x −3) ,
|
y = |
1 |
1 |
+ arcsin x , |
y = arctg 1 + |
3 + 2x − x2 . |
||||||
|
|
− tg x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3. |
Дана функция |
|
f (x) = a2 + x2 . |
Найти |
f (0), f (a), |
|||||||
|
f (x2 ), [ f (x) ] 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решить уравнение |
x f (x) +[ f (x) ] 2 = [ f (2a) ] 2. |
||||||||||
4. |
Построить графики функций: |
y = 3 + |
2x +1, |
y = π + arctg x , |
||||||||
|
|
|
y = |
|
sin x −1 |
|
, |
|
y = 4x −1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x + 2 |
|
5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции
β(x) = 8x3 − 2x2 + 73x−4x3 −1 + ln 2 (1+ 4x5 ) + tg3(x6 ).
6.Вычислить пределы:
lim |
x3 |
+ 2x2 |
− x − 2 |
, |
lim |
sin x |
|
, |
lim |
e3x −1 |
, |
|
|
x2 −3x + 2 |
5 − x + 25 |
ln (1 + 6x) |
|||||||||
x →1 |
|
|
x →0 |
|
x →0 |
|
||||||
lim |
x6 + 2x4 |
−3 |
, |
|
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
+ 7 |
|
lim (3 − x) tg |
x . |
|
|
|
||||
x →∞ 2x3 −5x |
|
|
x →3 |
6 |
|
|
|
|
||||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их гра-
40
|
|
|
|
|
|
Введение в анализ |
|
фики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
− x |
2 |
, |
x ≤1, |
y = 2 1/ (5−x) +1, |
y = |
|
|
||||
|
|
− |
3 + x2 , |
1 < x . |
|||
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
(x − 2)2 − log2 x = 0. |
||||||
Вариант 1.30
1.Из проволоки длиной 120 см необходимо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Найти функциональную зависимость площади полной поверхности параллелепипеда от стороны его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.
2.Найти области определения функций:
|
y = ln (2x +1) |
, |
y = arcsin 1 − x , |
y = |
x −8 . |
|
|
arctg (x −3) |
|
|
2 |
|
x2 −1 |
3. |
Дана функция ϕ( x) = 3 1 − x3 . |
Найти |
ϕ(b), |
ϕ(1), ϕ(1 / x), |
||
|
ϕ(1 − x). |
|
|
|
|
|
|
Решить уравнение |
|
[ϕ(x) ]3 +ϕ[ϕ(x) ] −ϕ(0) = 0. |
|||
4. |
Построить графики функций: |
y = 2 +sin(x / 3), |
|
|||
|
y = log2 (3 − 2x) , |
|
y =1 − 0,5 − x2 + 6x , |
y = 0,5 arctg(x −1). |
||
5. Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно
41
Домашнее задание № 1
малой функции
β(x) = 4e3x2 +6x5 − 4 + 5 1+8x2 −1+ 3x + sin3(4x2 ).
6.Вычислить пределы:
|
1 |
|
|
2x2 |
|
|
|
1 − x −3 |
|
|
4x −3 x−6 |
|
||||
lim |
|
|
− |
|
|
|
, |
|
lim |
|
|
, |
lim |
|
|
, |
|
|
x2 |
− |
|
|
3 x + |
2 |
|||||||||
x →1 |
x −1 |
|
1 |
|
x →−8 |
|
x →∞ |
4x +5 |
|
|||||||
lim |
1 |
|
− |
|
1 |
|
, |
3 |
1 + x2 |
+ 6x |
. |
|
|
|||
|
2 4x |
4sin |
2 |
|
lim |
x2 −3x +1 |
|
|
||||||||
x →0 |
sin |
|
2x |
|
x →∞ |
|
|
|
||||||||
7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:
|
−2 |
|
|
|
2 − x, |
x ≤ 2, |
|
y = 4 −(x+1) |
+ 3, |
y = |
|
||||
|
|
x +1 , |
|
2 < x . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
8. Решить графически уравнение |
x2 − |
x +1 |
= 0. |
|
|||
42
2. Определенный интеграл
Вариант 2.1
|
∞ |
dx |
|
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл ∫ |
2 |
+1 |
. |
|
|
0 |
(x +1) x |
|
|
|
2. |
|
|
|
x =1, |
|
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
|||||
( y − x)2 = x3.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли r2 = 4 cos 2ϕ.
4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
|
фигуры, ограниченной линиями |
x = 0, y = 2x − x2, y = 2 − x . |
|||
5. |
Определить длину дуги линии |
y = ln x |
при изменении аргумен- |
||
|
та на промежутке |
3 |
≤ x ≤ 12 . |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
6. |
Найти координаты |
центра тяжести однородного полукруга, огра- |
|||
|
ниченного линиями |
|
y = 0, |
y = − |
9 − x2 . |
7.Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический котел. Радиус котла R = 
2 м.
8.Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20 м, нижним 10 м, высотой 6 м. Определить силу давления воды на плотину.
Вариант 2.2
|
|
∞ |
x +1 |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
dx . |
||
(x2 +1)3/ 2 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x + y = 0, |
||||
2x − y2 +3 = 0.
43
Домашнее задание № 2
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 4(1− cosϕ).
4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
фигуры, ограниченной линиями |
y = arcsin x, |
y = π / 2, |
x = 0. |
5. Определить длину дуги кривой |
x= −ln(cos y) |
между |
точками |
с ординатами y1 = 0 и y2 = π / 3. |
|
|
|
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 
x .
7.Какую работу надо затратить, чтобы поднять всю воду из цилиндрического бака диаметром 2 м и глубиной 4 м на высоту 15 м над верхним краем бака?
8.Горизонтальная труба, поперечным сечением которой является круг диаметром 6 м, наполовину заполнена водой. Найти величину силы давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу.
Вариант 2.3
|
|
∞ |
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл ∫ e− |
x dx . |
|
|
|
|
0 |
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной линиями x + 3y = 0, |
||
|
y2 = x + 4. |
|
|
|
3. |
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями |
r = 2a , |
||
|
r cosϕ = a . |
|
|
|
4. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ |
|||
|
фигуры, ограниченной линиями x = 4, y = x, |
y = 2 x . |
||
5. |
Найти длину дуги линии |
x = 5(t − sin t), |
y = 5(1 − cos t) , |
|
|
0 ≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
Определенный интеграл
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями 4 y = x2, y = 4.
7. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрического бака, имеющего радиус основания 2 м
ивысоту 5 м.
8.Определить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку,
|
имеющую форму трапеции, нижнее |
основание |
которой равно |
|
10 м, верхнее − 6 м, а высота − 5 м, |
если уровень погружения |
|
|
нижнего основания равен 20 м. |
|
|
|
Вариант 2.4 |
∞ |
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ lnx2x dx . |
|
|
|
1 |
x = 4 − y2 , |
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
||
x= y2 − 2 y .
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией
r= 2 − cosϕ .
4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
|
фигуры, ограниченной линиями |
y = 0, |
3x −10 y = 0, |
|||
|
9x2 −25y2 = 225 |
(x ≥ 0) . |
|
|
||
5. |
Найти длину |
дуги |
линии |
y = |
(3 − x) x |
между точками, ор- |
|
динаты которых равны нулю. |
3 |
|
|||
|
|
|
||||
6. |
Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды |
|||||
|
x = 2 cos3 t, |
y = 2sin3 t , |
расположенной в первом квадранте. |
|||
7.Резервуар, имеющий форму конуса с вершиной, обращенной вниз, до краев наполнен водой. Высота конуса равна 3 м, а радиус основания − 0,9 м. Какую работу нужно совершить, чтобы выка-
45
Домашнее задание № 2
чать из резервуара всю воду?
8. Определить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку, имеющую форму эллипса, большая ось которого равна 6 м и находится на поверхности воды. Малая ось эллипса равна 4 м.
Вариант 2.5
|
|
|
|
2 |
x2dx |
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл ∫ |
6 . |
||||
|
|
|
|
0 |
64 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной линиями |
y = 0 , |
|||
|
y = ln2 x, |
x =1 / e. |
|
|
|
|
3. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||
|
r2 =16sin 2ϕ, r = 2 2 |
(вне окружности). |
|
|||
4. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ |
|||||
|
фигуры, ограниченной линиями |
y = sin x, |
y = 3sin x , на про- |
|||
|
межутке |
0 ≤ x ≤ π . |
|
|
|
|
5. |
Найти длину дуги линии |
y = ln (2 cos x) между смежными точ- |
||||
|
ками пересечения ее с осями координат OX и OY. |
|||||
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||||
|
ограниченной линиями |
y =1, |
y = 5 − x2 . |
|
||
7. Скорость движения точки V = t e−0,01t м/с. Найти длину пути,
пройденного точкой от начала движения t = 0 до полной остановки.
8. Треугольная пластина с основанием 30 см и высотой 20 см погружена вертикально в воду так, что ее основание находится на поверхности воды. Определить силу давления воды на одну из сторон пластины.
46
|
|
Определенный интеграл |
|
|
Вариант 2.6 |
0 |
|
|
|
arctg x |
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
x2 +1 dx . |
|
|
−∞ |
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 −3y = 0, |
||
2x2 +3y −12 = 0.
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 2 + cosϕ.
4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линией x2 + y2 −8 y + 7 = 0.
5. Найти длину дуги линии y = ln (x2 −1) при изменении аргумента на промежутке 2 ≤ x ≤ 3.
6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигу-
ры, ограниченной кривой |
1 x2 |
+ 1 y2 |
=1 и осями координат |
|
4 |
9 |
|
( x ≥ 0, y ≤ 0 ).
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса. Радиус основания конуса равен 3 м, высота − 5 м.
8.Пластинка, имеющая форму эллипса, вертикально погружена в жидкость, с удельным весом d . Большая ось эллипса, равная 2a , параллельна уровню жидкости. Найти силу давления жидкости на
каждую сторону пластинки, если центр эллипса находится на глубине h, а малая ось равна 2b ( h > b ) .
Вариант 2.7
|
4 |
|
dx |
|
|
1. Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
. |
||
x |
x |
2 |
|||
|
2 |
|
− 4 |
||
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 2 |
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
y = 0 , |
||||||
|
y = x2, x + 2 y −3 = 0. |
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислить площадь фигуры, |
ограниченной линиями ϕ = π / 6, |
||||||
|
ϕ = π / 3, |
r = 4 cosϕ, |
r = 8 cosϕ |
(π / 6 ≤ϕ ≤ π / 3). |
||||
4. |
Вычислить объем тела, |
образованного вращением вокруг оси ОХ |
||||||
|
фигуры, |
ограниченной |
гиперболой |
1 x2 |
− 1 y2 =1 |
и |
прямы- |
|
|
ми x = ±4. |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти длину дуги линии, заданной параметрическими уравне- |
|||||||
|
ниями |
x = 4(cos t + t sin t), |
y = 4(sin t − t cos t) , |
0 ≤ t ≤ 2π . |
||||
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||||||
|
ограниченной линиями |
y = 0, y = sin x |
( 0 ≤ x ≤ π ). |
|
||||
7. Котел, имеющий форму полушара, частично заполнен водой. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать воду из этого резервуара, если радиус котла равен R , а уровень воды расположен ниже края сосуда на R /2 ?
8. Найти силу давления на каждую из сторон прямоугольной пластины, вертикально погруженной в воду, если ее основание равно 5 м, высота − 4 м. Верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.
Вариант 2.8
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ |
|
|
. |
|
||
x |
x |
2 |
+ x +1 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
y = |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y= 4 − 23 x2 .
3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
r = 4 cos3ϕ, r = 2 ( r ≥ 2 ) .
48
Определенный интеграл
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY
|
фигуры, ограниченной линиями |
x = 2, |
x = 2 4 − y2 . |
|
5. |
Найти длину дуги линии |
y = arcsin(e−x ), 0 ≤ x ≤1. |
||
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||
|
ограниченной линиями |
x = 2, |
y = 2, |
x + y = 2. |
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие резервуара, имеющего форму вертикально стоящего цилиндра, если удельный вес масла равен γ , высота цилиндра − H , радиус основания − R .
8. Пластинка, имеющая форму круга, вертикально погружена в воду. Найти силу давления воды на сторону пластинки, если центр круга находится на глубине 2 м, а его радиус равен 4 м.
Вариант 2.9
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1. |
Вычислить несобственный интеграл |
∫ x e−xdx . |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
||||||
|
x2 −3x − y = 0, 3x + y − 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
||||||
|
r = cosϕ, r = sin ϕ |
( 0 ≤ϕ ≤ π / 2 ). |
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОX |
||||||
|
фигуры, ограниченной линиями |
y = sin x, |
y = |
2 |
x . |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
5. |
Найти длину дуги линии y2 = x3 , |
отсекаемую прямой x = 4 . |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
||
6. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
||||||
|
ограниченной линиями |
y = 0, |
y = 4 − x2. |
|
|
|
|
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы тело
49