1 Синтез комбінаційних схем

Функцією алгебри логіки (ФАЛ) Y=f (X₁,X₂,…,X_N) називається функція, яка приймає, як і її аргументи X₁,X₂,…,X_N, два значення, котрі позначаємо через 0 та 1. Поняття ФАЛ є базовим у алгебрі логіки – математичному апараті, який використовується для опису умов функціонування, а також при перетворенні структур дискретних автоматів.

Бульова алгебра базується на кількох аксіомах, з яких одержують основні закони для перетворень ФАЛ. Кожна аксіома може бути представлена у двох формах, що пов'язано із принципом дуальності (двоїстості) логічних операцій, згідно з яким операції кон'юнкції (логічного множення) та диз'юнкції (логічного складання) дозволяють взаємну заміну, якщо одночасно замінити логічну 1 на 0, 0 на 1, знак "+" на "•", а "•" на "+".

Головні аксіоми алгебри логіки, а також тотожні співвідношення, отримані на їх основі, дозволяють перетворювати логічні формули, не порушуючи еквівалентності ФАЛ.

Основні закони алгебри логіки:

Переставний закон (комутативний) ;
Сполучний закон (асоціативний) ;
Розподільний закон (дистрибутивний) ;
Закон інверсії. Правило де Моргана, який дає можливість перейти від логічного множення до логічного складання або навпаки.

Існує декілька способів задання ФАЛ:

Табличний (таблиця істинності) ;
Геометричний ;
Числовий ;
Координатний (Карта Карно) ;
Аналітичний (у вигляді алгебраїчного виразу) .

Одним із основних способів подання логічних функцій являється їх представлення у вигляді аналітичних виразів (формул). Перевагою такого способу задання є можливість проведення еквівалентних перетворень логічних функцій. Основними аналітичними формами представлення ФАЛ являються диз’юнктивна та кон’юнктивна форми.

Виділяють декілька нормальних форм подання ФАЛ. Ми розглянемо тільки дві з них: досконалу диз’юнктивну нормальну форму (ДДНФ) та досконалу кон’юнктивну нормальну форму (ДКНФ).

ДДНФ логічної функції називається диз’юнкція (логічне складання) будь-якої скінченої кількості елементарних кон’юнкцій, для тих наборів незалежних змінних, на яких функція дорівнює 1.

ДКНФ – це кон’юнкція або логічне множення всіх елементів диз’юнкцій, для тих наборів незалежних змінних, на яких функція дорівнює 0.

При числовому способі задання в фігурних дужках вказують двоїчний або десятковий номер рядка таблиці істинності, на яких функція дорівнює 1.

Мінімізацією ФАЛ називається процес скорочення числа входження незалежних змінних та операцій в аналітичному виразі ФАЛ. При розв’язанні задач мінімізації ФАЛ, які залежать від невеликої кількості змінних (і≤6), знаходить широке застосування метод карт Карно.

Карта Карно являє собою двокоординатну таблицю, в якій кожній клітинці поставлені у відповідність набори значень змінних логічної функції. Набори, подані сусідніми клітинками, відрізняються значенням тільки однієї змінної. Прийнято називати клітинки карти Карно, у яких подані одиничні значення функції, одиничними, а клітинки, відповідні нульовим і невизначеним значенням функції, – нульовими і невизначеними.

Властивість сусідства у карті Карно зручно використовувати для групування окремих одиничних наборів у так звані «підкуби». Підкуби утворюються з метою виключення однієї, двох або кількох змінних одиничного набору. Утворення підкубів для отримання мінімального значення функції проводиться за таким

правилом:

утворити двоклітинкові підкуби з наборів, які мають тільки одного сусіда;
із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру (величини), які не перетинаються (якщо це можливо);
із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру (величини), які перетинаються;

4) із наборів, які не мають жодного сусіда, утворити одноклітинкові підкуби;

5) закінчити утворення підкубів, якщо всі набори задіяні.

При утворенні одиничних підкубів у карті Карно мінімальне значення отримується у вигляді мінімальної диз’юнктивної нормальної форми (МДНФ), а при утворенні нульових підкубів отримується мінімальна кон’юнктивна нормальна форма (МКНФ).

У пристроях залізничної автоматики та телемеханіки, обчислювальної техніки, в тому числі у мікропроцесорах, існує багато комбінаційних схем. Під комбінаційними схемами розуміють логічні схеми, сигнал на виході яких у кожний момент часу визначається комбінацією вхідних сигналів у той же момент часу.

Синтез комбінаційних схем полягає у визначенні таких способів поєднання деяких найпростіших схем, названих логічними елементами, при яких побудований пристрій реалізує поставлену задачу з перетворення вхідної двійкової інформації.

Синтез комбінаційних схем проходить за 4 етапи:

Утворення таблиці істинності для ФАЛ, яка описує роботу проектованої логічної схеми.
Утворення математичної формули для ФАЛ, що описує роботу схеми, яку синтезують, у вигляді ДДНФ або ДКНФ (на підставі таблиці істинності).
Аналіз отриманої ФАЛ з метою побудови різних варіантів її

математичного виразу (на основі законів бульової алгебри ) та знаходження найкращого з них у відповідності з тим чи іншим критерієм. На цьому етапі здійснюється мінімізація ФАЛ.

Утворення функціональної (логічної) схеми пристрою з елементі, які складають вибраний базис.

Синтез комбінаційних схем у базисі

Маючи аналітичний вираз ФАЛ можна побудувати відповідну йому комбінаційну схему. Для побудування комбінаційних схем використовують логічні елементи, як конструктивно оформлені у вигляді інтегральних мікросхем. Для того, щоб визначити, що всередині мікросхем, використовують математичні теореми. Широко використовується теорема про функціональну повноту, яка визначає набір елементарних функцій, які мають функціональну повноту.

Сукупність логічних елементів, що реалізують функції, відповідаючи вимогам теореми про функціональну повноту, називається базисом.

Схему можна реалізувати в базисах І, АБО, НІ, в базисах Шеффера (І-НІ) та Пірса (АБО-НІ).

В даному випадку ми будемо синтезувати схему в базисі Шеффера, відповідно цей базис побудований із логічних елементів Шеффера.

Нехай задана функція F₄₀={ 1,2,3,5,9,10,11,15,16,18,25,26}x₁x₂x₃x₄x₅

Так як ФАЛ задана числовим способом, а в фігурних дужках вказані номера рядків, на яких функція приймає значення, яке дорівнює 1, то на основі цього складаємо таблицю істинності:

Таблиця 1.1-Таблиця істинності