Тема 2.8. Цилиндрические и конические поверхности

Литература: [1], гл.15, § 8, стр. 385–390, гл. 18, § 2, 3, стр. 478–482; [2], гл. 4, §5, стр. 132–140; гл. 7, § 2, 3, стр. 197–201; [27], гл.9, §76-77, стр. 262-271.

Основные определения, теоремы и формулы

Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой она содержит всю прямую, проходящую через точку, параллельную данному ненулевому векторуназываетсяцилиндрической поверхностьюилицилиндром. Прямые, параллельные векторуи принадлежащие цилиндрической поверхности, называютсяобразующимиэтой поверхности.

Теорема. Пусть в пространстве дана прямоугольная система координати в плоскостизадана линиясвоим уравнением. Тогда уравнениев пространстве определяет цилиндрическую поверхность с направляющей линиейи образующими, параллельными оси

Например, на плоскости уравнениеопределяет эллипс, а в пространстве – это уравнение эллиптического цилиндра.

Конической поверхностьюиликонусомс вершиной в точкеназывается поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой, отличной от точки, эта поверхность содержит прямуюПрямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называютсяобразующимиэтого конуса.

Уравнение конической поверхностис вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс, заданный уравнениями

имеет вид

Пример. Написать уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны векторуесли его направляющая задана уравнениями

Решение. Пустьпроизвольная точка искомой поверхностиПо определению цилиндрической поверхности существует образующая, проходящая через точкуи целиком принадлежащая поверхностиОбозначим– точку пересечения прямойс направляющей. Так как по условию образующие параллельны векторутогде – некоторое действительное число, то есть,Откуда получимА так как точкапринадлежит направляющей, тоИсключив из уравнений параметр, получим уравнение цилиндрической поверхности

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение цилиндрической поверхности. Что называется направляющей и образующей цилиндрической поверхности? Можно ли назвать цилиндром: 1) прямую, 2) плоскость?

2. Как может быть задана аналитически поверхность?

3. Перечислить все виды цилиндрических поверхностей второго порядка и написать соответствующие им канонические уравнения.

4. Пусть Ф– поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линиипараллельно вектору. Что можно сказать о поверхностиФ`, образованной всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линиипараллельно вектору –?

5. Дать определение конической поверхности. Что называется вершиной и образующей конической поверхности? Можно ли назвать конусом: 1) прямую, 2) плоскость?

6. Существует ли поверхность, которая является одновременно и цилиндрической и конической?

7. Как записывается каноническое уравнение:

а) конической поверхности второго порядка; б) кругового конуса?

8. Что называется коническим сечением? Какими линиями могут быть:

а) конические сечения, б) сечения конуса второго порядка плоскостями, проходящими через его вершину?

9. Существуют ли поверхности второго порядка, обладающие тем свойством, что:

а) если некоторые точки АиВпринадлежат этой поверхности, то прямаяАВцеликом принадлежит поверхности,

б) вместе с любыми двумя своими точками АиВповерхность содержит все точки прямойАВ ?

10. Верно ли утверждение, что:

а) любое сечение поверхности второго порядка есть линия второго порядка, б) любую линию второго порядка можно рассматривать как сечение некоторой поверхности второго порядка?

11. Линии иявляются сечениями круговой конической поверхностиФдвумя параллельными плоскостями. Что можно сказать о линии, еслиявляется:

а) эллипсом, б) гиперболой, в) параболой?

12. Сколько прямых, лежащих на поверхности, можно провести через точку:

а) цилиндрической поверхности второго порядка,

б) конической поверхности второго порядка?

13. Приведите пример поверхности, которая: а) является поверхностью вращения, но не является ни цилиндром, ни конусом; б) является цилиндром, но не является ни поверхностью вращения, ни конусом; в) является конусом, но не является ни цилиндром, ни поверхностью вращения; г) является поверхностью вращения и цилиндром, но не является конусом; д) является одновременно и поверхностью вращения, и цилиндром, и конусом.

Задачи

1. Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны её ось и точка А этой поверхности:

а) ,А(1, 1, 1), б)А(2, -, 13).

2. Написать уравнение цилиндрической поверхности, у которой:

а) направляющая лежит в плоскости 0xyи имеет уравнения:

x² + 2xy + 3y² – x = 0, z = 0, а образующие параллельны вектору(1, 0, 1),

б) направляющая задана уравнениями

а образующие параллельны вектору (1, –1, 2).

3. Написать уравнения прямолинейных образующих поверхности x² + y² = 4, проходящих через её точкуА(0, 2, 3).

4. Написать уравнение конической поверхности, если известно, что её:

а) направляющая лежит в плоскости 0xyи задана в этой плоскости уравнениемx² + y² – y = 0, а вершиной является точкаS(1,0,1); б) направляющая задана уравнениями,x + y= 0, а вершиной является точка S(1,0,–1).

5. Написать уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси и координаты одной из ее точек.

6. Написать уравнения прямолинейных образующих поверхности , параллельных плоскости 3x – y+ 10 = 0.

7. Найти проекцию на плоскость 0xyлинии пересечения конуса, заданного уравнениемс плоскостью, имеющей уравнение

Домашнее задание

1. а) Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси и точка(18,5, –1), принадлежащая этой поверхности,

б) написать уравнение цилиндрической поверхности, если известно, что ее направляющей является гипербола , z = 0, а образующие параллельны вектору(1, 2, –1).

2. Написать уравнения прямолинейных образующих поверхности пересекающих прямую

3. Написать уравнение:

а) круговой конической поверхности, вершиной которой является точка S(1,2,3), ось перпендикулярна к плоскостиа образующие составляют с осью угол, равный 30°,

б) множества всех точек пространства, удаленных от данной прямой на расстояние, равное 2.

4. Написать уравнения прямолинейной образующей поверхности , проходящей через ее точкуА(2,0,1).

5. Найти первые две координаты точки В, если ее третья координата равна –13 и известно, что прямаяАВ, гдеА(0,2,3) , всеми своими точками лежит на поверхности, заданной уравнением

Задачи повышенной трудности

1. Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если известны уравнения трех ее образующих

2. Найти множество всех точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух пересекающихся прямых постоянно.

3. В пространстве даны три линии уравнениями:

(парабола),

(гипербола),

(эллипс).

Доказать, что эти линии лежат на одной конической поверхности с вершиной (1, 1,1) и написать уравнение этой поверхности.

4. Найдите множество точек пространства, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.