2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз.

2.2.2. Розподіли Больцмана. Барометрична формула.

2.2.3. Розподіл Максвелла молекул за швидкостями. Найбільш імовірна швидкість молекул. Середня і середньоквадратична швидкості газових молекул.

2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз

Класичний розподіл Максвелла ― Больцмана можна одержати скориставшись квантовим розподілом Фермі ― Дірака і густиною станів. Запишемо ці вирази :

(2.2.1)

де – імовірність заповнення квантових станів частинками;E– повна енергія частинок; ― хімічний потенціал;

(2.2.2)

де ― густина станів в енергетичній зоні;s― спін мікро- частинки;р― імпульс мікрочастинок;dV– об’єм мікростану в просторі координат;– похідна імпульсу за енергією;h– стала Планка.

Якщо Т >> 0, то >>1. В цьому випадку формула (2.2.1) переписується так:

(2.2.3)

Повну енергію Ев цьому випадку виразимо через кінетичну енергію і потенціальну енергіюU, тобто

(2.2.4)

З урахуванням (2.2.4) вираз (2.2.3) матиме вигляд

(2.2.5)

Знайдемо число частинок в системі, скориставшись таким співвідно-шенням

(2.2.6)

де А– деяка константа;g(E) – густина станів в енергетичній зоні; f(E) –імовірність заповнення цих станів мікрочастинки;dE – ширина енергетичного інтервалу.

Підставимо в (2.2.6) значення g(E) і f(E), одержимо

(2.2.7)

де враховано, що .

З правого боку виразу (2.2.7) чітко спостерігається поділ на дві частини, одна з яких залежить лише від потенціальної енергії частинок системи, а друга лише від кінетичної енергії. Вираз (2.2.7) називають класичним розподілом Максвелла ─ Больцмана.

2.2.2. Розподіл Больцмана. Барометрична формула

Ліву частину рівності (2.2.7) за аналогією з правою частиною запишемо так:

(2.2.8)

де dN(u)– число частинок системи, енергія яких є лише потенціальною енергією;dN( )– число частинок системи енергія яких є лише кінетичною.

Це дає право поділити рівність (2.2.7) на дві частини, а саме:

(2.2.9)

і

(2.2.10)

У виразі (2.2.9) dN(u)– означає кількість частинок системи, потенціальна енергія яких змінюється в межах відU до U + dU. У виразі (2.2.10)dN( )– визначає кількість частинок, кінетична енергія яких змінюється в межах від до  + d.

Вираз (2.2.9) називають класичним розподілом Больцмана частинок системи за потенціальними енергіями. Вираз (2.2.10) називають класичним розподілом Максвелла частинок за кінетичними енергіями.

Покажемо, що з розподілу Больцмана (2.2.9) легко одержати залежність концентрації частинок в потенціальному полі і барометричну формулу, тобто залежність тиску газової системи від висоти h.

Поділимо ліву і праву частини (2.2.9) на dV, одержимо :

Величина ― концентрація молекул газової системи. У випадку колиU = 0, тоn = n₀, тобто

З урахуванням цих позначень розподіл Больцмана матиме вигляд :

. (2.2.11)

З молекулярно-кінетичної теорії відомо, що p = nkT, а тому іp₀ = n₀ kT. Після підстановкиn і n₀ з цих формул в (2.2.11) одержимо барометричну формулу, залежність тиску газової системи від висоти у потенціальному полі

(2.2.12)

де p – тиск газу на деякій висотіh;p₀– тиск газу на рівні, колиh = 0; mgh = U– потенціальна енергія в деякому потенціальному полі.