2.1.3. Фазовий простір. Комірка фазового простору. Число станів у просторі імпульсів. Густина станів для вільної частинки

Фазовим простором окремого мікростану називають сукупність узагальнених координат і проекцій узагальнених імпульсів на ці координати. Якщо частинки системи розглядати як матеріальні точки, то розмірність фазового простору одного мікростану дорівнює 6, тобто визначається числом трьох координат х, y,zі трьох проекцій імпульсів р_x, р_y, р_z. В цьому випадкутобто вектори всіх цих параметрів взаємно перпендикулярні. Для системи ізNчастинок розмірність фазового простору визначається числом 6N.

Фазовий простір, який відповідає мікростану частинки в одновимірному випадку можна зобразити точкою М (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Фазовий простір квантової частинки в одновимірному випадку з урахуванням хвильових властивостей можна зобразити площинкою, сторони якої відповідають невизначеностям Δх і Δр_х(рис. 2.3).

Рис. 2.3

Найменша частина фазового простору, яка відповідає одному мікростану, називається елементарною коміркою фазового простору. В тривимірному випадку елементарна комірка фазового простору має вигляд шестивимірного паралелепіпеда, об’єм якого з урахуванням співвідношень невизначеностей ,,, дорівнює

, (2.1.8)

де – об’єм простору, в межах якого перебуває частинка;– об’єм фазового простору в просторі імпульсів.

В загальному випадку фазовий простір одного мікростану має об’єм . Однак в одному мікростані може перебувати кілька квантових частинок. Їх число визначається спіном, тобто в одному мікростані може перебувати 2s+1 частинка (s– спін частинки).

Об’єм фазового простору одного квантового стану менший в 2s+1 рази від об’єму комірки фазового простору

, (2.1.9)

де s– спін квантової частинки.

В залежності від спіну квантової частинки в одній елементарній комірці фазового простору одночасно можуть перебувати два електрони (s=½), або три дейтрони (s=1), або один фотон (s=0).

Відомо, що більшість властивостей твердих тіл визначається станом валентних електронів і їх розподілом за енергіями. Розглянемо деяку енергетичну зону валентних електронів. Кількість електронів dN(E), енергія яких перебуває в межах від довільного значення Е до Е+dEпрямо пропорційна кількості квантових станівdГ, які відповідають даному інтервалу енергій

, (2.1.10)

де f(E) – функція розподілу, яка відповідає імовірності заповнення відповідних квантових станів частинками.

В свою чергу кількість квантових станів dГ (рис 2.4) пропорційна інтервалу енергійdЕ, тобто

,(2.1.11)

де g(E) – густина квантових станів, яка визначає число квантових станів на одиничний інтервал енергії.

В цьому випадку з урахуванням (2.1.10) і (2.1.11) одержуємо:

(2.1.12)

Рис 2.4

Для визначення числа електронів у виділеній частині енергетичної зони від Е до Е+dЕ слід знати функцію розподілуf(E) і густину квантових станів в цій частині енергетичної зониg(E). З функцією розподілу квантових станівf(E) ознайомимось трохи пізніше.

Густина квантових станів g(E) в загальному вигляді поки не знайдена. Однак для тієї частини енергетичної зони, для частинок якої відомі прості залежності між їх імпульсами й енергіями, густину квантових станівg(E) знаходять із співвідношення (2.1.11)

.(2.1.13)

Рис. 2.5

Число квантових станів dГ можна знайти, скориставшись простором імпульсів (рис. 2.5), в якому роль радіуса вектора відіграє вектор імпульсу. Якщо в такому просторі виділити сферичну поверхню радіусомз центром в точці0, то ця поверхня стане геометричним місцем частинок з енергіями Е.

Всі квантові стани з енергіями від Е до Е+dЕ перебуватимуть у тонкому сферичному шарі товщиноюdP. Для одержання числа квантових станівdГ слід розділити об’єм виділеного сферичного шару в просторі імпульсів 4πр²dр на об’єм одного квантового стану в просторі імпульсівdV_P(2.1.9), тобто

. (2.1.14)

Густина квантових станів у цьому випадку буде дорівнювати:

, (2.1.15)

де s– спін частинки; р – імпульс частинки;dV– об’єм простору, в якому перебуває частинка;– проста залежність імпульсу частинок від їх енергії.

Приклади:

а). Густина квантових станів електронного газу в металі.

Для металу і ,тому:

.

б). Густина квантових станів фотонного газу.

Для фотонів s=0і, де с – швидкість світла, тому:

.

Лекція 2. Класичні розподіли