Посібник

2 Моделі потоків викликів

Рішення

Враховуючи, що сумарний потік буде найпростішим з параметром

10 викл/с, потрібну імовірність можна визначити за (2.20):

P 3 1 P0 P1 P2 P3 1 0,3679 0,3679 0,184 0,0613 0,019

2.5 Нестаціонарний пуассонівський потік

Якщо потік має властивості ординарності та відсутності післядії, але не має стаціонарності, - це нестаціонарний пуассонівський потік. Для нього в будь-який момент часу існує кінцевий параметр t . Якщо t – визначена функція часу, маємо потік із змінним параметром, якщо t – випадкова функція, маємо потік з випадковим параметром.

Функція t може бути безперервною або східчастою. В останньому випадку параметр потоку змінюєится стрибками в заздалегідь визначені або випадкові моменти часу залежно від виду потоку (детермінованого або випадкового).

Пуассонівський потік зі змінним параметром, як нестаціонарний,

задається сімейством імовірностей Pi t0, надходження i викликів за час

t0,t0 :

Теорія телетрафіку

нестаціонарний потік, наприклад, процес надходження викликів на телефонну станцію протягом доби.

Клас пуассонівських потоків з випадковим параметром доволі широкий, оскільки можливо використання різних випадкових функцій для

розподілена за експоненціальним законом з параметром . Як показано

вище (п. 2.4.3), в цьому випадку середня тривалість стану i дорівнює 1 .

Тобто величина характеризує частоту змінення параметру потоку i : чим більше , тим швидше змінюється параметр потоку. Імовірності p і q, в

свою чергу, визначають, як часто зустрічаються різні значення i .

2.6 Неординарний пуассонівський потік

Стаціонарний однородний потік без післядії називається неординарним

(груповим) пуассонівським. Моменти надходження викликів такого потоку формують найпростіший потік з параметром . Тому імовірність

надходження i викличних моментів в інтервалі t визначається згідно

називається характеристикою неординарності потоку. Можливі потоки з постійною або випадковою характеристикою неординарності.

Позначимо al pl . Тоді імовірність надходження k викликів в інтервалі t:

42

2 Моделі потоків викликів

для усіх j , відповідающих співвідношенню k j1 2 j2 3j3 ... kjk

Тобто будь-який неординарний потік можна подати як суперпозицію k

незалежних неординарних пуассонівських потоків з постійною характеристикою неординарності l, а також відповідними параметром al та

інтенсивністю la. Величину al , таким чином, можна визначити як

інтенсивність надходження груп викликів з l викликами в кожній. Параметр та інтенсивність неординарного потоку відповідно дорівнюють:

Звичайно, .

Дещо подібний до розглянутого потоку пуассонівський потік з неординарними викликами. Під неординарним будемо розуміти виклик, який

потребує для своєго обслуговування з l l 1,r, r приладів. В цьому випадку l є характеристикою неординарності виклику. Якщо інтервали між

такими неординарними викликами розподілені за експоненціальним законом,

то маємо пуассонівський потік з неординарними викликами.

Цей потік також має властивості стаціонарності та відсутності післядії.

прилади за час t – виразом (2.28). Параметр потоку викликів та інтенсивність вимог визначаються за (2.29).

Розглянуті потоки, незважаючи на багато спільних властивостей,

мають суттєві відмінності. В неординарному пуассонівському потоці кожний виклик з групи може бути обслугований окремо, його час обслуговування суворо індивідуальний та не залежить від часу обслуговування інших, навіть

Теорія телетрафіку

тих викликів, що надійшли одночасно з ним. При пуассонівському потоці з неординарними викликами усі прилади, необхідні для обслуговування одного неординарного виклику, занімаються і звільняються одночасно.

Обидва потоки слід розглядати як безпосереднє узагальнення властивостей найпростішого потоку.

Слід відзначити, що неординарні потоки в системах комутації зустрічаються досить рідко. В основному, вони мають місце при передачі телеграм та у мережах поштового зв’язку. Потоки з неординарними викликами виникають при роботі мереж інтегрального обслуговування та інтелектуальних мереж, де для передачі різних видів повідомлень може займатися різне число каналів або канали з різною смугою пропущення

(швидкістю передачі). Крім того неординарні виклики можливі у деяких телефонних станціях при здійсненні двохта чотирьохпроводних з’єднань,

якщо у другому випадку передбачено зайняття двох двохпроводних входів і виходів.

2.7 Потік з простою післядією

Ординарний потік, параметр якого r t визначається станом r t

обслуговуючої системи в момент t, називається потоком з простою

післядією або пуассонівським потоком з умовним параметром. Більшість реальних потоків відносяться до цієї групи.

r t визначається: числом зайнятих каналів обслуговування; числом вільних джерел; числом джерел, які повторюють виклики; довжиною черги.

2.7.1 Примітивний потік

Окремим випадком ППП є примітивний потік (енгсетовський, потік чистої випадковості ІІ роду).

44

2 Моделі потоків викликів

Ординарний потік, параметр якого i пропорційний кількості вільних джерел Ni у стані обслуговуючої системи i, називається примітивним:

Де параметр (інтенсивність) джерела у вільному стані;

N - загальне число джерел; i — число зайнятих джерел.

Примітивний потік описує надходження викликів у замкнутій системі.

Модель примітивного потоку ураховує так званий ефект обмеженого числа джерел: нові виклики можуть надходити тільки від вільних джерел. Це визначає стрибкоподібне змінювання параметра потоку, причому найбільшого значення параметр досягає, коли всі джерела вільні i 0 і

найменшого, коли число зайнятих джерел сягає максимуму i N . Ця властивість примітивного потоку суттєво впливає на процес обслуговування і помітно підвищує пропускну здатність обслуговуючої системи.

Математичне очікування параметра потоку

iPi .

N

визначає середню інтенсивність джерела.

Розглянемо різницю між і : Якщо від якогось джерела за інтервал

T надійшло n викликів,

то інтенсивність джерела у вільному стані дорівнює відношенню числа викликів, що надійшли, до сумарного “вільного” часу

Теорія телетрафіку

n

tз j

де tз j 1 . n

Таким чином, інтенсивність джерела у вільному стані зворотно пропорційна середньому вільному часу, а середня інтенсивність джерела – середньому інтервалу між викликами.

Тобто v

Інтервал вільності має експоненціальний розподіл з параметром

P tсв 1 e t

Це означає, що нові виклики від джерела надходять випадково,

незалежно від моментів виникнення та закінчення обслуговування попередніх викликів.

Приклад 2.6.

Система обслуговує 20 джерел середньою інтенсивністю 2 викл/хв.

Визначити середнє, мінімальне і максимальне значення параметра потоку при середній тривалості зайняття 10 с.

Рішення:

46

2 Моделі потоків викликів

Середнє значення обчислюємо згідно з (2.31):

N 2 20 40викл/ хв.

Мінімальне та максимальне значення параметру примітивного потоку знаходимо:

min 0

max N

Для обчислення скористаємось формулами (2.32) і (2.33):

3викл/хв

(безумовно, значення інтенсивності та часу треба спочатку узгодити – виразити, наприклад, у хвилинах).

max N 3 20 60викл/ хв.

Примітивний потік є більш загальним випадком, порівняно з найпростішим. Зі зростанням числа джерел N і відповідним зменшенням післядія примітивного потоку скорочується. Якщо N , а 0, але так,

що N const, примітивний потік переходить в найпростіший з параметром

N . Практично уже при N 300 500 (залежно від та i) можна користуватися більш простою моделлю найпростішого потоку.

Приклад 2.7.

Потік генерується групою з 300 джерел, кожне з котрих потребує обслуговування, в середньому 2 рази за годину. Визначити імовірність відсутності викликів за 6 с. Обґрунтувати допущення.

Рішення:

Параметр одного джерела незначний (порівняно з інтервалом часу, що нас цікавить), а кількість їх велика, отже можна вважати даний потік найпростішим з параметром

Теорія телетрафіку

300 2 10викл/ хв. 60

t 10 6 1 60

P0 t e 1 0,3679.

2.8 Потік з повторними викликами

ППВ складається з потоку первинних викликів (найпростішого,

нестаціонарного пуассонівського або примітивного) та потоку повторних викликів, параметр якого визначається кількістю джерел, які повторюють виклики:

де j – число джерел, які повторюють виклики,

- інтенсивність такого джерела.

Параметр загального потоку, якщо потік первинних викликів

Якщо , то (2.35) переходить в (2.30), тобто маємо звичайний примітивний потік:

ij N i j j N i j j N i

збільшує дисперсію потоку та число втрачених викликів (як первинних, так і повторних). Причому існує тісна кореляція між величиною z та станом обслуговуючої системи: чим більше зайнято ліній, тим більше джерел повторюють виклики, зменшуючи інтервал між ними z. Ця обставина призводить до зростання втрат.

48

2 Моделі потоків викликів

При аналізі загального вхідного потоку викликів іноді доцільно відокремити повторні виклики від первинних, а також оцінити величини і.

Як тільки що було зазначено, повторні виклики мають коротші інтервали z,

отже саме величину z можна використовувати як ознаку потоку повторних викликів.

Нехай досліджується потік викликів від N джерел і відомі момент надходження кожного виклику та номер джерела, що його надіслало.

Задамося граничиним значенням zГ . Якщо для деякого виклику значення z zГ , вважатимемо його повторним, інакше – первинним. Значення zГ слід вибирати таким чином, щоб первинні виклики утворювали потік, близький за своїми властивостями до найпростішого або примітивного (залежно від значення N ). Така процедура використовувалась на практиці і дала добрі результати [1].

2.9 Потік звільнень

Послідовність моментів закінчення обслуговування викликів дає потік звільнень. Його властивості у загальному випадку залежать від властивостей потоку, що надходить, якості роботи СМО і закону розподілу часу обслуговування.

Найпростіший і найбільш розповсюджений закон розподілу часу обслуговування – це експоненціальний:

де h—середній час обслуговування.

Рисунок 2.3, на якому показано результати вимірювання часу зайняття абонентської лінії на АТС, підтверджує практичну прийнятність екпоненціальної моделі.

Теорія телетрафіку

Рис.2.3 – Гістограми вимірювань часу зайнять при h 60,3c, 84,4 та розмов при h 81,2c, 90,1

Основна властивість експоненціального розподілу зумовлює повну незалежність моментів закінчення обслуговування від моментів початку обслуговування викликів, що надходять. Тому властивості потоку звільнень в цьому випадку не залежать від властивостей потоку, що надходить, та якості роботи СМО, а повністю визначаються числом зайнятих каналів. Якщо в СМО зайнято k каналів (k викликів знаходяться на обслуговуванні), то імовірність звільнення i каналів за час t можна розглядати як i успішних випробувань із загального числа k незалежних випробувань і визначити згідно розподілу Бернуллі

P i, k,t Cki pi 1 p k i,

де p— імовірність звільнення одного каналу за час t.

Враховуючи (2.36), маємо:

Імовірність того, що за час t не звільниться жоден з зайнятих каналів,

а імовірність того, що звільниться хоча б один канал

50