Посібник
.pdf
4 Моделювання СМО за схемою марківських випадкових процесів
для кожного стану системи сума усіх вихідних інтенсивностей,
помножених на імовірність цього стану, дорівнює сумі усіх вхідних інтенсивностей, помножених на імовірності станів, з
яких здійснено відповідний перехід
4.3Контрольні питання
1.Дати визначення марківському ланцюгу з дискретним часом.
2.Навести правило запису СДР Колмогорова.
3.Дати визначення граничним імовірностям.
4.Навести умову існування усталеного режиму.
5.Навести правило запису системи алгебраїчних рівнянь для граничних імовірностей.
4.4Завдання для самостійної роботи
1.В системі відбувається марківський процес з дискретним часом.
Визначити імовірності усіх станів системи, якщо на початку система знаходилась у першому стані.
2 |
|
0.3 |
|
0.5 |
|
|
|
0.4 |
0.1 |
0.4 |
4 |
1 |
0.2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
2.В системі відбувається марківський процес з безперервним часом.
Визначити, чи існує в ній усталений режим. Записати систему
алгебраїчних рівнянь для граничних імовірностей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S 0 |
|
S 1 |
|
S 2 |
S 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Теорія телетрафіку
5СИСТЕМИ З ЯВНИМИ ВТРАТАМИ
5.1Система M /M /V /L. Перший розподіл Ерланга
Розглядається наступна модель: на вхід -канальної системи з явними втратами надходить найпростіший потік викликів з параметром . Час обслуговування викликів – випадкова величина, розподілена за експоненціальним законом, з середнім часом обслуговування, прийнятим за 1
умовну одиницю часу h 1у.о.ч. В цьому разі можна параметр потоку,
виражений у викликах за 1 умовну одиницю часу, трактувати як інтенсивність навантаження, що надходить в систему:
h,Ерл .
Виклик, що надійшов в систему в момент зайнятості усіх каналів,
отримує відмову і втрачається для системи.
Поставимо задачу:
знайти імовірності зайнятості будь-якого числа каналів системи.
Розглянемо всі можливі стани системи і переходи між ними. За стан системи приймемо кількість зайнятих каналів i 0,1,... . Переходи в системі здійснюються під впливом надходження потоку викликів з постійною інтенсивністю (кількість зайнятих каналів збільшується) та закінчення їх обслуговування (кількість зайнятих каналів зменшується). Оскільки (п. 2.8)
інтенсивність потоку звільнень зв |
i |
, а ми прийняли |
h 1 у.о.ч., то |
|
|||
|
h |
|
|
зворотні переходи в системі здійснюються з інтенсивністю, рівною кількості зайнятих каналів i. Граф станів системи має вигляд (рис.5.1):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S 0 |
S 1 |
S 2 |
S v |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
v |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Рисунок 5.1 Граф станів системи з втратами
102
5 Системи з явними втратами
В даній системі діють найпростіший та примітивний (з простою післядією) потоки, таким чином випадковий процес, що відбувається в системі, являє собою марківський ланцюг з безперервним часом (п. 4.2). Крім того, в системі існує усталений режим (п.4.3). Отже можна записувати рівняння для граничних імовірностей.
Для стану S0
P 1 P |
P |
|
P . |
||
1 |
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
||
Для стану S1
P0 2 P2 1 P1 .
P0 2 P2 1 P1 P1 .
Скорочуючи на рівні складові з попереднього рівняння, отримуємо
2 P P |
P |
|
P |
2 |
P . |
||
2 |
2! |
||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
|||
Для стану Si
Pi 1 i 1 Pi 1 i Pi .
i 1 Pi 1 Pi . |
(5.1) |
Після відповідних перетворень:
P |
|
P |
|
i |
P . |
(5.2) |
|
i |
i! |
||||||
i |
i 1 |
|
0 |
|
Підставляючи (5.2) в умову нормування для цієї системи, яка має вид
P0 P1 P2 ... P 1,
отримуємо:
|
|
|
|
|
P0 |
P0 2 2! P0 ... |
|
P0 1 . |
|
1 |
v! |
Теорія телетрафіку
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P0 1 |
|
|
... |
|
1 . |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
v! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
v |
|
|
|
j |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j! |
|
||||||||||
|
1 |
2! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v! |
|
|
j 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи (5.3) в (5.2), отримуємо:
Pi v
i /i!
j / j!
j 0
(5.3)
(5.4)
Формула (5.4) дає перший розподіл Ерланга.
Приклад 5.1.
Для системи M /M /3/L обчислити імовірності усіх станів системи при інтенсивності вхідного потоку 5 викл/хв і середньому часі обслуговування
24 с.
Рішення Граф станів системи зображений на рис. 5.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S 0 |
S 1 |
S 2 |
S 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
Рисунок 5.2
Інтенсивність навантаження, що надходить:
h 5 24 5 2 2 Ерл .
60 5
Імовірності станів обчислюємо за першим розподілом Ерланга (5.4):
P |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
0,158 . |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
19 |
|||||||
0 |
|
|
8 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104
5 Системи з явними втратами
P |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,316 . |
||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
P2 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,316 . |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
8 |
|
19 |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
P2 |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,316 . |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
8 |
|
19 |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перевірка:
P P P P 3 6 6 4 19 1 . |
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
19 |
19 |
19 |
19 |
19 |
Графік розподілу приведено на рисунку 5.3. |
|||
p |
P1 |
P2 |
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
i |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
Рисунок 5.3.
Отриманий збіг значень P2 і P3 – не випадковість. Перший розподіл Ерланга має такі максимуми:
1.Якщо , то максимум один: Pmax P .Дійсно, якщо навантаження, що надходить в систему, виміряне в ерлангах,
перевищує кількість каналів, то максимальну імовірність буде мати стан зайнятості усіх каналів.
Теорія телетрафіку
2.Якщо , то залежно від того, ціле чи дробове , максимумів два або один:
a. |
при |
цілому маємо 2 максимуми Pmax1 , Pmax2 |
1 |
b. |
при |
дробовому маємо 1 максимум Pmax |
|
Приклад 5.2
Яку кількість каналів зайнято з максимальною імовірністю в системі
M /M /3/L, якщо виклики надходять у систему, в середньому, через 10 с і обслуговуються, в середньому, 20 с? Рішення:
Максимуми першого розподілу Ерланга залежать від :
h |
1 |
h |
h |
|
20 |
2 Ерл . |
z |
|
10 |
||||
|
|
z |
|
|||
Відповідь: з максимальною імовірністю (найчастіше) в такій системі зайнято
2або 1 канал.
5.2Характеристики якості системи M /M /v/L
5.2.1Імовірність втрат за часом
Згідно з визначенням (п.3.1.1) імовірність втрат за часом визначається як імовірність зайнятості усіх каналів, доступних виклику. Тобто, Pt Pv .
Використовуючи (5.4), отримуємо
|
|
v |
|
|
|
|
||
P |
|
v! |
|
|
E |
. |
(5.5) |
|
|
|
|
|
|||||
v |
v |
j |
|
v |
|
|
||
|
j 0 |
|
|
|
|
|
||
|
j! |
|
|
|
|
|||
Ця формула булла отримана Ерлангом в 1917 р. Вона відома під назвою першої формули Ерланга (B-формули Ерланга) і символічно позначається Ev . При її виводі Ерланг використовував допущення про пуассонівський (найпростіший) вхідний потік і екпоненціальний розподіл
106
5 Системи з явними втратами
тривалості обслуговування заявок. Пізніше Б.А. Севастьянов довів, що (5.5)
виконується для будь-якого закону розподілу тривалості обслуговування викликів.
Оскільки Ev – це імовірність, то, звісно, її значення знаходяться в межах:
0 Ev 1 .
Слід зазначити, що при |
v const Ev |
зростає по (чим більше |
||
навантаження надходить в систему, |
тим більші втрати). І навпаки, при |
|||
const Ev |
зменшується |
по v |
(чим |
більше каналів обслуговує |
навантаження, тим менші втрати). |
|
|
||
Формула |
Ерланга табульована |
(додаток 1). Ця таблиця дозволяє |
||
розрахувати одну зі змінних у (5.5) з певним дискретним кроком. Для ємності пучка це природно. Для інших величин (імовірність втрат і навантаження) це не завжди зручно. Тому іноді доцільно використовувати таке рекурентне співвідношення:
Ev( ) |
Ev 1( ) |
. |
|
v Ev 1( ) |
|||
|
|
5.2.2 Інтенсивність обслугованого навантаження
Згідно визначення (3.1), інтенсивність обслугованого навантаження:
v
Y t M i t iPi(t) .
i 1
Використовуючи рекурентні співвідношення (5.1), одержуємо
v |
v |
v 1 |
|
Y iPi Pi 1 Pi 1 Pv 1 Ev . |
(5.6) |
||
i 1 |
i 1 |
i 0 |
|
Теорія телетрафіку
5.2.3 Інтенсивність потенційного навантаження
Згідно визначення (п. 3.2) потенційне – навантаження розраховане для ідеальної системи, де кожному виклику надається негайне обслуговування.
Для цього кількість каналів обслуговування повинна дорівнювати кількості джерел викликів. Найпростіший потік створює безкінечна кількість джерел викликів. Отже:
|
|
|
|
A iPi Pi 1 Pi . |
(5.7) |
||
i 1 |
i 1 |
i 0 |
|
В(5.7) імовірності Pi визначаються за розподілом Пуассона.
5.2.4Інтенсивність втраченого навантаження
Рівність інтенсивностей потенційного навантаження та навантаження,
що надходить, призводить до рівності інтенсивностей втраченого та надлишкового навантаження:
Yвтр R Ev . |
(5.8) |
5.2.5 Імовірність втрати виклику
Для найпростішого потоку згідно (3.9):
Pв R Pv Pv Ev .
Таким чином, імовірність втрати виклику співпадає з імовірністю втрат за часом. Але ці імовірності визначені для усталеного процесу, тобто для безкінечного інтервалу часу. Для конечного інтервалу це співпадіння необов’язкове.
108
5 Системи з явними втратами
5.2.6 Імовірність втрат за навантаженням
Імовірність втрат за навантаженням (п.3.3) є відношення інтенсивностей втраченого та потенційного навантаження. За формулами
(5.8) та (5.7) маємо:
|
Yвтр |
|
R |
|
P |
|
. |
|
P |
|
|
|
|
v |
P E |
(5.9) |
|
|
|
|
||||||
н |
A |
|
|
|
|
v v |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, для найпростішого потоку усі три види втрат
дорівнюють між собою. Обумовлено це двома основними властивостями найпростішого потоку: стаціонарністю та відсутністю післядії.
Приклад 5.3
Розрахувати частку втрачених викликів в системі M /M /2/L при
L 1Ерл. Як зміниться це значення при збільшенні м на 50 %
Рішення
Частку втрачених викликів дає Ev L :
|
|
12 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|||
E2 1 |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
0,2. |
|||
|
|
|
12 |
|
|
|||||||
1 |
11 |
|
2,5 |
|
||||||||
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При збільшенні кількості каналів на 50 % отримуємо 3-канальну систему.
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
E3 |
1 |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
0,0625 . |
||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
16 |
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1! |
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Знайдемо, наскільки покращалась якість обслуговування при збільшенні кількості каналів на 50 %:
Теорія телетрафіку
E2 1 E3 1 0,2 0,0625 68,75% .
E2 1 0,2
Таке суттєве покращання якості обслуговування спостерігається при невеликій кількості каналів. Якщо збільшити v на 100 % (4 канали в системі), то якість обслуговування зміниться на 92,31%:
E4 |
1 |
0,01538 E2 1 E4 1 |
|
|
0,2 |
0,01538 |
92,31%. |
||
|
E2 1 |
|
0,2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо збільшити vна 200 % (6 |
каналів в системі), то якість |
||||||||
обслуговування зміниться на 99,75%: |
|
|
|
|
|
||||
E6 |
1 |
0,00051 E2 1 E6 1 |
|
|
0,2 |
0,00051 |
99,75%. |
||
E2 1 |
|
0,2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, залежність якості обслуговування від кількості каналів має вигляд, як приведено на рис. 5.4, де показано графіки Pв при 5 значеннях
:
1 10Ерл, 2 20Ерл, 3 30Ерл, 4 40Ерл, 5 50Ерл .
Звичайно, чим більше значення , тим більша кількість каналів
потрібна для |
забезпечення заданої якості |
обслуговування |
(на рис. 5.4 |
Pв 0,001). |
Крім того, з рисунку видно, |
що при невеликих значеннях v |
|
спостерігається суттєве зниження Pв при збільшенні v, |
а потім криві |
||
асимптотинчо наближуються до 0. |
|
|
|
110