Посібник

5 Системи з явними втратами

j 0

Формула (5.24) носить назву формули Енгсета. Значення цієї формули також табульовані у довідковій літературі [1].

Імовірність втрати виклику знаходиться згідно визначенню (3.9):

Порівняння формул (5.24) і (5.25) показує, що завжди має місце нерівність:

Pt Pв

Рівність досягається тільки у граничному випадку при N , коли примітивний потік переходить у найпростіший. Вираз (5.25) можна отримати безпосередньо з (5.24), керуючись наступними міркуваннями: виклик, що надійшов від конкретного N го вільного джерела, буде втраченим, якщо в цей момент зайняті усі v канали. Ця зайнятість забезпечується рештою N 1

джерелом. Тобто

Pв N,v, Pt N 1,v,

Інтенсивність обслугованого навантаження:

j 0

Інтенсивність вхідного навантаження (математичне очікування параметру примітивного потоку викликів):

Теорія телетрафіку

Інтенсивність потенційного навантаження

де імовірність Pi визначається за розподілом Бернуллі (5.22). Таким чином, f – інтенсивність потенційного навантаження від одного джерела.

Імовірність втрат за навантаженням знаходимо з урахуванням (5.28) і (5.26):

З (5.29) випливає, що при кінцевому завжди має місце нерівність:

Pн Рв

Рівними ці види втрат можуть бути тільки у граничному випадку, коли

0 і примітивний потік переходить у найпростіший. Враховуючи вищенаведене співвідношення між Рt і Pв, можна записати загальний вираз:

Pн Рв Рt

Розглянемо різницю:

Ця різниця між інтенсивностями потенційного та вхідного навантаження обумовлена наступною особливістю розглянутої моделі. При отриманні відмови у з’єднанні джерело одразу стає вільним і разом з іншими вільними джерелами може надсилати нові виклики. Параметр потоку і,

відповідно, інтенсивність вхідного навантаження зростають на величину

122

5 Системи з явними втратами

При цьому добуток АРн визначає інтенсивність втраченого навантаження або середнє число джерел, що стали вільними після отримання відмови, а є інтенсивність потоку від одного вільного джерела. Якщо припустити, що джерело після отримання відмови блокується на час обслуговування, то збільшення інтенсивності вхідного навантаження не відбудеться і буде мати місце рівність А.

Характерно, що в цьому випадку імовірності кількості зайнятих джерел

(тих, що обслуговуються і блокуються) розподілені за законом Бернуллі, а

розподіл імовірності кількості зайнятих ліній відрізняється від розподілу Енгсета.

Таким чином, при обслуговуванні примітивного потоку взаємодія джерела з системою обслуговування характеризується чотирма типами навантаження, фізичний зміст яких треба чітко розрізняти, оскільки їх чисельні значення неоднакові. Розглянемо ці типи:

1.Інтенсивність потоку викликів від вільного джерела в одну умовну одиницю часу (0, ), викл/у.о.ч. Ерл

2.Середня інтенсивність потоку викликів в одну умовну одиницю часу або інтенсивність навантаження, що надходить від джерела (0, ), викл/у.о.ч. Ерл . З (5.27):

3.Інтенсивність потенційного навантаження від джерела f (0,1),

Ерл.

4.Інтенсивність обслугованого навантаження, віднесена до одного джерела y (0,v/N), Ерл. З (5.26):

Теорія телетрафіку

Порівнюючи (5.30) – (5.32), маємо:

y f v

Для зручності розрахунків, крім вищенаведених формул можна використовувати також наступні:

Y

v 1 y Y v 1 Pв f 1 Pн Рн vPв 1 Y 1 Pв

Отже, якщо при заданих значеннях кількості каналів v та одного з вищенаведених параметрів навантаження відома одна з характеристик якості обслуговування, наприклад Рв, то решту характеристик досить легко визначити.

Приклад 5.7

Розрахувати основні характеристики якості для системи Мі /М /v/L,

для якої відома імовірність втрати виклику Рв 0,03, якщо:

N 30, v 6, 3викл/год, h 120c

Рішення Виразимо інтенсивність джерела у вільному стані в ерлангах:

h 3 120 0,1Ерл. 3600

Інтенсивність обслугованого навантаження за (5.26):

Інтенсивність потенційного навантаження для одного джерела (5.31):

А fN 2,73Ерл .

Інтенсивність вхідного навантаження за (5.27):

124

5 Системи з явними втратами

Середня інтенсивність джерела(5.30):

Таким чином, виконується співвідношення

y f v

0,0884 0,0909 0,091 0,1

5.6 Імовірність зайнятості визначених каналів

Знайдемо тепер імовірність зайняття визначених, заздалегідь обраних каналів обслуговування. Ця задача часто зустрічається при визначенні навантаження на певні виходи в комутаторах телефонних мереж, особливо при неповнодоступному включенні або при визначені способу зайняття каналів. Будемо виходити з того, що в результаті використання моделей

Ерланга (Енгсета або Бернулі) знайдені імовірності зайняття будь-яких k

ліній Pk .

Зафіксуємо певні i каналів з v доступних. Вважаємо, що зайняття каналів відбувається рівноімовірно. Тоді якщо в системі з імовірністю Pi j

Теорія телетрафіку

Для системи M /M /v/L (модель Ерланга) тоді отримаєм:

Для системи Mi /M /v/L (модель Енгсета) формула буде відрізнятися:

k0

Уформулі (5.35) N – кількість джерел викликів у примітивному потоці, – інтенсивність одного джерела, виражена в ерлангах.

Для системи Mi /M /v/LL з однаковим числом входів і виходів

(джерел викликів та каналів обслуговування) має місце модель Бернуллі та

формула:

5.7 Порівняння моделей M /M /v/L та Mi /M /v/L для

рішення задачі структурного синтезу

Розглянемо вузол мережі з комутацією каналів, наприклад телефонної мережі загального користування. Це може бути транзитна АТС, яка комутує з’єднувальні лінії різних напрямків, кінцева АТС, вхідні лінії якої є як з’єднувальними, так і абонентськими. Це може бути також відомча АТС або виносний концентратор міської станції.

Як було показано вище, моделлю такого вузла є система масового обслуговування з втратами, причому час обслуговування можна вважати розподіленим за експоненціональним законом (рис.2.3).

Вважатимемо, що комутатор має N вхадних та v вихідних ліній.

126

5 Системи з явними втратами

Опишемо потік викликів наступними параметрами. Нехай кожний абонент в середньому здійснює 1 виклик що 30 хвилин, занімаючи лінію в середньому на 3 хвилини.

Приймемо загальне число абонентів N 120. Основною задачею при проектуванні є визначення числа v вихідних ліній, достатнього для забезпечення заданого рівня якості обслуговування – тобто задача структурного синтезу.

Для систем з втратами найважливішою характеристикою якості є імовірність втрат за часом (п.3.4).

Одним з підходів до рішення задачі структурного синтезу в цьому випадку може бути використання моделі Ерланга, тобто системи M /M /v/L.

Будемо розглядати усі виклики, що надходять від абонентів, як загальний найпростіший потік з параметром:

N 120 1 4викл/ хв. 30

Знайдемо вхідне навантаження:

h 4 3 12(Eрр)

Скориставшись першою формулою Ерланга (5.6), можна знайти наступні значення імовірність втрат (або блокування) при різній кількості вихідних ліній для розрахованого навантаження:

користуватися наближеними формулами:

Теорія телетрафіку

Рв 1%,v 5,5 1,17 .

Іншим підходом є використання моделі Енгсета, тобто вхідний потік розглядається як примітивний. При цьому імовірність блокування

Як видно з вищенаведених таблиць, різниця у використанні моделей Ерланга й Енгсета несуттєва при незначному питомому вхідному навантаженні, розходження стають помітними лише для великих значень.

Звичайно на практиці розглядаються пучки вихідних каналів, причому виклики на кожний з пучків вважають найпростішими потоками. Відповідно,

до кожного пучка приміняють формулу Ерланга. А імовірності станів цих пучків описують розподілом Енгсета.

5.8Контрольні питання

1.Що характеризує перший розподіл та перша формула Ерланга?

2.Які максимуми має перший розподіл Ерланга?

3.Від чого залежить імовірність втрати виклику в системі M /M /v/L?

4.Чому дорівнює обслуговане навантаження в системі M /M /v/L?

5.Чому дорівнює потенційне навантаження в системі M /M /v/L?

128

5 Системи з явними втратами

6.Чому дорівнює надлишкове навантаження в системі M /M /v/L?

7.Чому дорівнює втрачене навантаження в системі M /M /v/L?

8.Навести приклад задачі структурного синтезу системи з втратами.

9.Навести приклад задачі параметричного синтезу системи з

M /M /v/L//R?

12.Для якого типу зайняття каналів пропускна здатність 1 каналу в системі з втратами не змінюється при збільшенні числа каналів?

13.Для якого типу зайняття каналів пропускна здатність 1 каналу в системі з втратами не залежить від номеру каналу?

5.9Завдання для самостійної роботи

1.Розрахувати долю втрачених викликів в системі M /M /4/L при

2Ерл.

2.Розрахувати долю простою в системі M /M /2/L при 1Ерл.

3.Визначити 1при випадковому і послідовному занятті каналів в

4.Визначити пропускну здатність першого каналу і імовірність заняття 1 каналу в системі M /M /4/ L//S. 120викл/год, h 30c.

Який середній час обслуговування має бути в системіM /M /1/L,

щоб при обслуговуванні потоку з параметром 10 викл/хв в ній втрачалось щонайбільше 5 % викликів?

Теорія телетрафіку

5. Яку кількість каналів зайнято з максимальною імовірністю в системі

M /M /3/L, якщо виклики надходять у систему, в середньому, через

10 с і обслуговуються, в середньому, 20 с?

130